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厦门市2014~2015学年(下)高一数学质量检测


厦门市 2014~2015 学年第二学期高一质量检测
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1. 在空间直角坐标系 O-xyz,点 P(1,2,3)关于 xOy 平面的对称点是 ( )

A. (-1,2,3)
2. sin

B.(-1,-2,3)
)

C. (1,2,-3)

D.(1,-2,-3)

20? 的值为 ( 3

A.

3 2

B. -

3 2

C.

1 2

D. -

1 2
)

3.已知 e1 , e 2 是互相垂直的两个单位向量,若 a ? 2e1 ? e2 ,则 a 等于 (

A.1

B. 5

C.3

D.5

4.如图,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形, 那么这个几何体的体积为 ( )

A.1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6
)

5.已知 l 是一条直线, ?,? 是两个不同的平面,则以下十个命题正确 (

A.若 l ? ? , l // ? , 则?//? C. l ? ? , l ? ? , 则? ? ?

B. l ? ? , l ? ? , 则l//? D. ? ? ? , l ? ? , 则l ? ?
)

6.已知直线 ax ? y ? 1 ? 0与(a ? 2) x ? 3 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 等于 (

A.-3 或 1

B.1 或 3

C.-1 或-3

D.-1 或 3
)

7.为了得到函数 y ? sin 2x ? 3 cos2x 的图像,只要把函数 y ? 2 sin 2 x 的图像 (

A. 向左平移 C.向右平移

? 个单位长度 3

? 个单位长度 3

B. 向左平移 D. 向右平移
2

? 个单位长度 6

? 个单位长度 6

8.已知点 A(-2,0), B(0,4) ,点 P 在圆 C : (x - 3) + y-4

(

)2 = 5 ,则使∠APB = 900 的点 P 的个数为
D.3
0

(

)

A.0

B.1

C.2

9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠DAB = 60 .侧面 PAD 为正三角形, 且平面 PAD ⊥ 平面 ABCD,则下列说法错误的是( )

A.在棱 AD 上存在点 D,使 AD⊥ 平面 PMB C.二面角 P-BC-A 的大小为 450

B.异面直线 AD 与 PB 所成的角为 900 D.BD⊥ 平面 PAC

10.已知点 M (3,2) ,点 P 在 y 轴上运动, 点 Q 在圆 C : (x -1) + y + 2
2

(

)2 = 4 上运动,则 MP + MQ 的最小值为(
D. 2 5 + 1



A.3

B.5

C. 2 5- 1

二、填空题:本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答题卡相应位置。 11.已知向量 a= (1,2) , b= (m,-4) ,若 a//b ,则 m=______________; 12.如图,两个边长都为 1 的正方形并排在一起,则 tan( α + β ) =______________; 13.已知点 A(0,0), B(3,3), C (2,1) ,则 ΔABC 的面积为 .

14.如图,已知圆锥 S0 的母线 SA 的长度为 2,一只蚂蚁从点 B 绕着圆锥侧面爬回点 B 的最短 距离为 2,则圆锥 SO 的底面半径为 .

15.已知二次方程 x 2 + y 2 + x + 3 y + tanθ = 0 ( - 为 .

π π < θ < )表示圆在,则 θ 的取值范围 2 2

16.已知函数 f ( x) = tan x-sinx ,下列命题中正确的是 的序号) ① f ( x) 的周期为 π ; ③ f ( x) 在( 三、解答题 17. (本题满分 12 分) ② f ( x) 的图象关于点 (π ,0) 对称; ④ f ( x) 在( -

(写出所有正确命题

π , π )上单调递增; 2

π π , )上有 3 个零点. 2 2

如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2,E,F,G 分别是 B1C1 , AD 1, D 1 E 的中点. (1)求证:FG//平面 AA 1E ; (2)求 FG 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角的正切值.

18.(本小题满分 12 分) 如图,平行四边形 ABCD ( A, B, C , D 按逆时针顺序排列) , AB, AD 边所在直线的方程分别是

0) x ? 4 y ? 7 ? 0,3x ? 2 y ? 11 ? 0 ,且对角线 AC 和 BD 的交点为 M (2,
(1)求点 A 的坐标 (2)求 CD 边所在直线的方程

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知锐角 ? ,钝角 ? 的始边都是 x 轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于点 P( , ), Q(? , ) (1)求 sin ?POQ ; (2)设函数 f ( x) ? 2 3 cos2 x ? sin 2x, x ?[0,? ] ,求 f ( x) 的值域.

1 3 2 2

3 4 5 5

20.(本小题满分 12 分)

1 ?ABC 是边长为 3 的等边三角形, BF ? ? BC ( ? ? ? 1) ,过点 F 作 DF ? BC 交 AC 边于点 D ,交 BA 的延长线 2
于点 E . (1)当 ? ?

2 时,设 BA ? a, BC ? b ,用向量 a , b 表示 EF ; 3

(2)当 ? 为何值时, AE ? FC 取得最大值,并求出最大值.

21.(本小题满分 14 分) 如图,甲、乙两个企业的用电负荷量 y 关于投产持续时间 t (单位:小时)的关系 y ? f (t ) 均近似地满足函数

f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) .
(1)根据图象,求函数 f (t ) 的解析式; (2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过 4.5 ,现采用错峰用电的方式,让企业乙比企业甲推迟 m (m ? 0) 小时投产,求 m 的最小值. 2.5 1.5

y

O

6

12

t (小时)

(第 21 题图)

22. (本小题满分 14 分) 已知 A , B 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴的交点(A 在 B 上) ,过点 P(0, 4) 的直线 l 交圆 O 于 M , N 两点. (1)若弦 MN 的长等于 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)若 M , N 都不与 A , B 重合时,是否存在定直线 m ,使得直线 AN 与 BM 的交点恒在直线 m 上.若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,说明理由. M G N O

y
P A

x

B (第 22 题图)

厦门市 2014~2015 学年第二学期高一质量检测

数学试题参考答案
一、选择题: 1-5 C A B D C 6-10 A D B D A

10.方法 1:作 y 轴关于点 M 的对称直线 x ? 6 , P 关于 M 的对称点 P? 在直线 x ? 6 上运动, PM ? ? MP? ,故

MP ? MQ ? MQ ? MP? ? P?Q ,则 QP? 的最小值为 5 ? 2 ? 3 .
方法 2:设 P(0, a),Q( x0 , y0 ), M (3,2) , MP ? (?3, a ? 2), MQ ? ( x0 ? 3, y0 ? 2)

MP ? MQ ? ( x0 ? 6) 2 ? ? y0 ? a ? 4? ,表示 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 上的点 ( x0 , y0 ) 与 (6,4 ? a) 的距离,可
2

2

看作圆 C : ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 上的点到定直线 x ? 6 距离的最小值,为 5 ? 2 ? 3 . 二、填空题: 11. ? 2 12. 3 13.

3 2

14.

1 3

15. ( ?

? ?

, ) 2 4

16.②③

16.答案②③ ①错误. f ( x ? ? ) ? tan( x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? tan x ? sin x;

f ( x ? ? ) ? f ( x) 不恒成立, 故 f ( x ) 的周期不是 ? . ②正确. f (? ? x) ? f (? ? x) ? tan(? ? x) ? sin(? ? x) ? tan(? ? x) ? sin(? ? x) ? ? 0 ? ? ③正确. y ? tan x 在 ( , ? ) 上单调递增, y ? sin x 在 ( , ? ) 上单调递减,相减即增. 2 2 ? ? ④错误.在同一坐标系中作出函数 y ? tan x 和 y ? sin x 在区间 ( ? , ) 上的图象,由图象探知共有 1 个交点(或 2 2 在该区间上解方程 tan x ? sin x ? 0 ,得仅有一个根 x ? 0 ) .
三、解答题: 17.本题考查空间线面位置关系、角的计算等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查 化归与转化等数学思想.满分 12 分. (Ⅰ)证明:? F 为 AD 1 的中点,且 G 为 D1 E 的中点
B A C D

? FG 为 ?AED1 的中位线 ?
----------------------2 分 又? FG ? 平面 AA 1E , AE ? 平面 AA 1E

F H G E

FG

//

AE
B1

A1

D1 C1

? FG //平面 AA 1E
(Ⅱ)取 A1 D1 的中点 H ,连接 FH 、 HG

---------------------5 分

? FH 为 ?A1D1 A 的中位线 ? FH // AA 1
又? AA 1 ? 平面 A 1B 1C1D 1 -------------------------------6 分

? FH ? 平面 A1B1C1D1

------------------------------8 分

? ?FGH 为直线 FG 与平面 A1B1C1D1 所成的角 ------------9 分
在直角 ?AB 1E = 1 E1 中, A

A1 B1 ? B1 E 2 = 5

2

? GH 是 ?A1ED1 的中位线 ? GH =
A1 E 5 = 2 2 AA1 =1 2
------------------------------10 分

又? FH =

? 在直角 ?FGH 中, tan ?FGH =

2 5 5

------------------11 分

故直线 FG 与平面 A1B1C1D1 所成的角的正切值为

2 5 ------12 分 5

18. 本题考查直线的方程,直线与直线的位置关系,点线对称关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合 数学思想.满分 12 分.
?x ? 4 y ? 7 ? 0 解: (Ⅰ) ? ?3x ? 2 y ? 11 ? 0
?x ? 3 解得 ? ?y ?1

---------------------------------2 分

----------------------------------5 分 ---------------------------------6 分

? A(3,1)
(Ⅱ)解法一: A 关于 M 的对称点为 C , ? C (1, ?1) 又 k AB ? kCD ? ?

------------------------------------8 分 --------------------------------10 分

1 4

? CD 边所在的直线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1)
即: x ? 4 y ? 3 ? 0 ----------------------------12 分 (Ⅱ)解法二: A 关于 M 的对称点为 C , --------------------------------8 分 ? C (1, ?1) 设 CD 边所在的直线方程为: x ? 4 y ? m ? 0 -----------------10 分 ? 1 ? 4 ? (?1) ? m ? 0 得 m ? 3 ---------------------12 分 ? CD 边所在的直线方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 (Ⅱ)解法三: 设 P( x, y ) 为 CD 边所在的直线上的任一点,

1 4

P 关于点 M 的对称点为 P? ( x0 , y0 ) ,

-----------------------8 分

? x ? x0 ?2 ? ? 2 则? ? y ? y0 ? 0 ? ? 2

? x0 ? 4 ? x 得? ? y0 ? ? y

------------------------10 分

又 P? 在直线 AB 上, ? (4 ? x) ? 4(? y) ? 7 ? 0 即 x ? 4y ? 3 ? 0 --------------------------12 分 19.本题考查任意角三角函数的定义,两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式及三角函数的图象等知识,考查运 算求解能力,考查转化与化归、数形结合思想方法.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意,得

sin ? ?

4 3 3 1 sin ? ? , cos ? ? ? ,cos ? ? 5 5 2 2,

-------------2 分

∵ ? , ? 分别是锐角,钝角

? sin ?POQ ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

------4 分

4 1 3 3 4?3 3 = ? ? (? ) ? ? 5 2 5 2 10 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ? ? 3

------------------5 分 - ---------------6 分 -----------------7 分 ---------------------9 分

f ( x) ? 3 ? 3 cos 2 x ? sin 2 x
? 2sin(2 x ? ) ? 3 3 x ? [0, ] 3
∴ 2x ?

?

?

?

?[ ,? ] 3 3

?

∴ sin(2 x ?

?

3

) ? [0,1]

----------------------11 分 ----------------------12 分

∴ f ( x ) 的值域是 [ 3, 2 ? 3]

20.本题考查平面向量基本定理,向量共线定理,向量的数量积,二次函数最值等知识,考查运算求解能力,考查数 形结合、转化与化归的思想方法.满分 12 分. 解:(Ⅰ)由题意可知: BF ?

2 2 b ,且 BF ? 3 ? ? 2 , -----------------1 分 3 3 4 4 BE ? 4 ,故 BE ? BA ? a , -------------------2 分 3 3 4 2 EF ? BF ? BE ? ? a ? b ---------------------5 分 3 3
--------------------6 分 ---------------------8 分

(Ⅱ)由题意, BF ? 3? , FC ? 3 ? 3? ,

BE ? 6? , AE ? 6? ? 3 ,

AE ? FC ? (6? ? 3)( 3 ? 3? ) cos 60? ? ?9?2 ?

27 9 ?? 2 2

-----10 分

27 1 3 当 ? ? ? 2 ? ? ( ,1) 时, 2 ? 9? 2 4 9 AE ? FC 有最大值 . 16

---------------------11 分 ---------------------12 分

21.本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识,考查建立三角函数模型,数据处理能力、运算求解能 力和抽象概括能力,考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.满分 14 分. 解: (Ⅰ)由图象可得: ? 解得 A ?

? A ? b ? 2.5 , ?? A ? b ? 1.5
----------------------2 分

1 ,b ? 2 2

周期 T ? 12 ,? ? ?

1 ? ? f (t ) ? sin( t ? ? ) ? 2 , 2 6


2? ? ? , 12 6

---------------3 分

y ? f (t ) 过点 (0, 2.5) ,
且0 ??

? sin ? ? 1,

??

,? ?

?

?
2



-----------------5 分 ---------------6 分

1 ? ? ? f (t ) ? sin( t ? ) ? 2(t ? 0) 2 6 2

(Ⅱ)设乙投产持续时间为 t 小时,则甲的投产持续时间为( t ? m )小时 由诱导公式,企业乙用电负荷量随持续时间 t 变化的关系式为: f (t ) ?

1 ? cos t ? 2 ; 2 6

同理,企业甲用电负荷量变化关系式为: f (t ? m) ? 两企业用电负荷量之和

1 ? cos (t ? m) ? 2 ; 2 6

1 ? ? f (t ? m) ? f (t ) ? [cos (t ? m) ? cos t ] ? 4(t ? 0) ;------8 分 2 6 6
依题意,有 f (t ? m) ? f (t ) ?

1 ? ? 9 [cos (t ? m) ? cos t ] ? 4 ? 恒成立, 2 6 6 2

即 cos

?
6

(t ? m) ? cos

?
6

t ? 1 恒成立,

展开有: (cos

?
6

m ? 1) cos

?
6

t ? sin

?
6

m sin

?
6

t ? 1 恒成立,------10 分

(cos

?
6

m ? 1) cos

?
6

t ? sin

?
6

m sin

?
6

t ? (cos

?
6

m ? 1)2 ? sin 2

?

m cos( t ? ? ) 6 6

?

(其 cos ? ?

cos (cos

?
6

m ?1
2 ?

?
6

;sin ? ? m (cos

sin

?
6

m
2 ?

m ? 1)2 ? sin

?
6

) ;

6

m ? 1)2 ? sin

6

m

? (cos

?
6

m ? 1)2 ? sin 2

?
6

m ? 1,

-----------------------11 分

整理得到: cos

?

1 m?? , 6 2

------------------------12 分

依据余弦函数图像得:

2? ? 4? ? 2 k? ? m ? ? 2k? , ( k ? Z ) , 3 6 3

即 12k ? 4 ? m ? 12 ? 8 ,取 k ? 0 得: 4 ? m ? 8 ∴ m 的最小值为 4. -----------------------14 分

22.本题考查直线、圆、用几何法与代数法研究直线与圆位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 探究论证的能力,考查数形结合、分类与整合,化归与转化等数学思想.满分 14 分. 解:(Ⅰ)①当 k 不存在时, MN ? AB ? 4 不符合题意 -----------------------1 分 ②当 k 存在时,设直线 l : y ? kx ? 4

| MN |? 2 3 ?圆心 O 到直线 l 的距离 d ? 22 ? 3 ? 1
? |4| 1? k2 ? 1 ,解得 k ? ? 15

------------------3 分

-----------------------5 分 -----------------------6 分

综上所述,满足题意的直线 l 方程为 y ? ? 15x ? 4 (Ⅱ)根据圆的对称性,点 G 落在与 y 轴垂直的直线上 令 N (?2,0) ,则直线 PN :

x y ? ? 1 ? y ? 2 x ? 4 与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 联立得: ?2 4

6 6 8 5 x 2 ? 16 x ? 12 ? 0 ,? xM ? ? ,? N (? , ) , BM : y ? ?3x ? 2 5 5 5 所以直线 AN : x ? y ? 2 ? 0 与 BM 的交点 G (-1,1) ,
猜想点 G 落在定直线 y ? 1 上.
? y ? kx ? 4 下证: ? 2 得: (1 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 12 ? 0 2 x ? y ? 4 ?

----------------------8 分

? ?? ? (8k )2 ? 48(1 ? k 2 ) ? 0 ? ?8k ? ? x1 ? x2 ? 1? k2 ? ? 12 x1 x2 ? ? 1? k2 ?

------------------------10 分

直线 AN : 消去 x 得:

y ? 2 y1 ? 2 y ? 2 y2 ? 2 ? ? ,直线 BM : x x1 x x2 y ? 2 ( y1 ? 2) x2 ? y ? 2 ( y2 ? 2) x1 1 ? 2 ( y1 ? 2) x2 ? 1 ? 2 ( y2 ? 2) x1

要证: G 落在定直线 y ? 1 上,只需证: 即证:
?1 ( kx1 ? 2) x2 ? 3 ( kx2 ? 6) x1

即证: ?kx1 x2 ? 6 x1 ? 3kx1 x2 ? 6 x2 即证: 4kx1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 0

12 8k ?6 ?0 2 1? k 1? k2 显然成立. 所以直线 AN 与 BM 的交点在一条定直线上.
即证: 4k

--------------------------14 分


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