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2012高中数学复习讲义(通用版全套)第二章


高中数学复习讲义 第二章 函数 A
【知识导读】 表 示 方 法 一般化 概念 定义域 值域 图像 单调性 奇偶性

幂函数 映射 特殊化 函数 具体化 基本初等 函数Ⅰ 指数函数 对数函数 二次函数 指数 互 逆 对数

函数与方程 应用问题 【方法点拨】 函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数, 指数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函 数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解. 1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义,可直接判断所 给的对应是否满足函数的条件,证明或判断函数的单调性和奇偶性等. 2.重视“数形结合思想”渗透. “数缺形时少直观,形缺数时难入微” .当你所研究的问题较为抽象时,当 你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议:画个图像!利用图形的 直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题. 3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的 解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时,我们要遵循的原则 是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中 最重要的一条是“不漏不重” . 4.掌握“函数与方程思想” .函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在整个高中数学中 的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题,转化问题和解决问题.

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第1课
【考点导读】

函数的概念

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上,通过集合与对应的语言刻画函数,体 会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 【基础练习】 1. 设有函数组: y ? x ,y ? ①

x 2 ; y ? x ,y ? 3 x 3 ; y ? x ,y ? ② ③

?1 x ; y?? ④ x ? ?1

( x ? 0), ( x ? 0),



y?

x x

;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg

x .其中表示同一个函数的有___②④⑤___. 10

2.设集合 M ? {x 0 ? x ? 2} , N ? { y 0 ? y ? 2} ,从 M 到 N 有四种对应如图所示: y 2 y 2 y 2 y 2

O

1 ①

2

x

O

1 ②

2

x

O

1 ③

2

x

O

1 ④

2

x

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_____②③____. 3.写出下列函数定义域:

R (1) f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域为______________;
(3) f ( x) ?

(2) f ( x) ?

1 {x x ? ?1} 的定义域为______________; x ?1
2

( x ? 1) 0 1 [?1,0) ? (0, ??) (??, ?1) ? (?1,0) 的定义域为_________________. x ? 1 ? 的定义域为______________; (4) f ( x ) ? x x ?x

4.已知三个函数:(1) y ?

P( x) ; (2) y ? 2 n P ( x ) (n ? N *) ; (3) y ? logQ ( x ) P( x) .写出使各函数式有意 Q( x)

义时, P ( x) , Q( x) 的约束条件:

Q( x ) ? 0 P( x) ? 0 Q( x ) ? 0 且 P ( x ) ? 0 且 Q ( x ) ? 1 (1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________. 5.写出下列函数值域:
(1) f ( x) ? x ? x , x ?{1, 2,3} ;值域是 {2, 6,12} .
2

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ; 值域是 [1, ??) .
2

(3) f ( x) ? x ? 1, x ? (1, 2] . 值域是 (2,3] .

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【范例解析】 例 1.设有函数组:① f ( x) ? ③ f ( x) ?

x2 ?1 2 , g ( x) ? x ? 1;② f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 1 ; x ?1

x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ? 1 ;④ f ( x) ? 2 x ?1 , g (t ) ? 2t ? 1 .其中表示同一个函数的有③④.

分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同. 解:在①中, f ( x) 的定义域为 {x x ? 1} , g ( x) 的定义域为 R ,故不是同一函数;在②中, f ( x) 的定义 域为 [1, ??) , g ( x) 的定义域为 (??, ?1] ? [1, ??) ,故不是同一函数;③④是同一函数. 点评: 两个函数当它们的三要素完全相同时, 才能表示同一函数. 而当一个函数定义域和对应法则确定时, 它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可. 例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ?1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1且 x ? 2 , 2 ? x ? 1 ? 0, ? 故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) . 解: (1)① 由题意得: ?
2

? 2 ? x ? 0, ?

例 3.求下列函数的值域: (1) y ? ? x ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ;
2

x2 (2) y ? 2 ( x ? R) ; x ?1 (3) y ? x ? 2 x ? 1 .
分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解: y ? ? x ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2) ? 2 ,? x ? [0,3) ,?函数的值域为 [?2, 2] ;
2 2

(2) 解法一:由 y ?

x2 1 1 1 ,? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 1 ,则? ?1 ? ? 2 ? 0 ,? 0 ? y ? 1,故函 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

数值域为 [0,1) .

x2 y y 2 解法二: y ? 2 由 , x ? 则 , x ? 0, ? 0 , 0 ? y ? 1,故函数值域为 [0,1) . ? 2 ? ? x ?1 1? y 1? y
2 2 2 (3)解:令 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t ? 1 ,? y ? t ? 2t ? 1 ? (t ? 1) ? 2 ,

当 t ? 0 时, y ? ?2 ,故函数值域为 [?2, ??) . 点评:二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法 求函数的值域应注意新元的取值范围.

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【反馈演练】

(??,0] 1.函数 f(x)= 1 ? 2 的定义域是___________.
x

2.函数 f ( x) ? 3. 函数 y ?

1 (1, 2) ? (2,3) 的定义域为_________________. log 2 (? x ? 4 x ? 3)
2

1 (0,1] ( x ? R) 的值域为________________. 1 ? x2

(??, 4] 4. 函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域为_____________.

1 3 [? , 0) ? ( ,1] y ? log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_____________________. 5.函数 4 4
6.记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 2-

x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) . x ?1 x ?1

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) . ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ ∴

1 或 a≤-2,而 a<1, 2

1 1 ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1). 2 2

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第2课
【考点导读】

函数的表示方法

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 2.求解析式一般有四种情况: (1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式; (2)给出函数特征,利用待 定系数法求解析式; (3)换元法求解析式; (4)解方程组法求解析式. 【基础练习】

6x ? 7 6x ? 4 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 3x ? 5 ,则 f ( g ( x)) ? _________; g ( f ( x)) ? __________.
2.设函数 f ( x) ?

1 1 1 2 , g ( x) ? x ? 2 ,则 g (?1) ? _____3_______; f [ g (2)] ? ; f [ g ( x)] ? 2 . x ?3 7 1? x

3.已知函数 f ( x) 是一次函数,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,则 f (1) ? __15___.

4 ?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, 1 ? 4.设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=_____________. 13 2 ?1 ? x 2 , | x |? 1 ? 3 3 y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________. 2 2
【范例解析】 例 1.已知二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x) 的解析式. 分析:给出函数特征,可用待定系数法求解. 第5题

? ?c ? 6, ? a ? 2, ? ? ? 2 解法一:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则 ?4a ? 2b ? c ? 6, 解得 ?b ? ?4, ?c ? 6. ? 4ac ? b 2 ? ? ? 4. ? 4a ? 2 故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 .
解法二:? f (0) ? f (2) ,?抛物线 y ? f ( x) 有对称轴 x ? 1 .故可设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 4(a ? 0) .
2

将点 (0, 6) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 .
2

解法三:设 F ( x) ? f ( x) ? 6. ,由 f (0) ? f (2) ? 6 ,知 F ( x) ? 0 有两个根 0,2, 可设 F ( x) ? f ( x) ? 6 ? a( x ? 0)( x ? 2) (a ? 0) ,? f ( x) ? a( x ? 0)( x ? 2) ? 6 , 将点 (1, 4) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 . 点评:三种解法均是待定系数法,也是求二次函数解析式常用的三种形式:一般式,顶点式,零点式. 例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家. 如图, 表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y km) ( 与时间 (分) x 的关系. 试写出 y ? f ( x) 的函数解析式. y
2

4 3 2 分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式.
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1 O 10 20 30 40 50 60 例2 x

解:当 x ?[0,30] 时,直线方程为 y ?

1 1 x ,当 x ? [40, 60] 时,直线方程为 y ? x ? 2 , 15 10

?1 ?15 x x ? [0,30], ? ? f ( x) ? ?2 x ? (30, 40), ?1 x ? [40, 60]. ? x?2 ?10
点评: 建立函数的解析式是解决实际问题的关键, 把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达. 要 注意求出解析式后,一定要写出其定义域. 【反馈演练】

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,则 f (2 x) ? ( D ) 2 2 A. 2 f ( x) B. 2[ f ( x) ? g ( x)] C. 2 g ( x) 1 ? 1 2.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于________. 4 2
1.若 f ( x) ?
2

D. 2[ f ( x) ? g ( x)]

3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x.求函数 g(x)的解析式. 解:设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 则? 即? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2 x,即y ? ? x ? 2 x, 故g ? x ? ? ? x ? 2 x .
2 2 2

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第3课
【考点导读】 1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义;

函数的单调性

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性. 【基础练习】 1.下列函数中: ① f ( x) ?

1 2 ; ② f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ; x

③ f ( x) ? ? x ;

④ f ( x) ? x ? 1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___. 2.函数 y ? x x 的递增区间是___ R ___. 3.函数 y ?

(??, ?1] x 2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________.

(1, ??) 4.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数, f (a ? 1) ? f (2a) , 且 则实数 a 的取值范围__________.
5.已知下列命题: ①定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 是 R 上的增函数; ②定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??,0] 上是增函数, 在区间 [0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在 R 上 是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??,0] 上是增函数, 在区间 (0, ??) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在 R 上 是增函数. 其中正确命题的序号有_____②______. 【范例解析】 例 . 求证: (1)函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1在区间 ( ??, ] 上是单调递增函数;
2

(2)函数 f ( x) ?

2x ?1 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1 3 4

3 4

分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定. 证明: (1)对于区间 ( ??, ] 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2 x1 ? 3x1 ? 1 ? (?2 x2 ? 3x2 ? 1) ? 2 x2 ? 2 x1 ? 3x1 ? 3x2
2 2

2

2

? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
又 x1 ? x2 ?

3 3 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ,得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2
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故 ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以,函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1在区间 ( ??, ] 上是单调增函数.
2

3 4

(2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 故

3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1
所以,函数 f ( x) ? 点评:利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤: (1)在给定区间内任意取两值 x1 , x2 ; (2)作 差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; (3)给出结论. 例 2.确定函数 f ( x) ?

1 的单调性. 1? 2x

分析:作差后,符号的确定是关键. 解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得定义域为 ( ??, ) .对于区间 ( ??, ) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则

1 2

1 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 2( x1 ? x2 ) 1 1 ? ? ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 )

又 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ) ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
所以, f ( x) 在区间 ( ??, ) 上是增函数. 点评:运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

1 2

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【反馈演练】

1 (0,1) ,则该函数在 R 上单调递__减__, (填“增” “减” )值域为_________. 2 ?1 2 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (?2, ??) 上是增函数,则 f (1) ? __25___.
1.已知函数 f ( x) ?
x

3. 函数 y ?

1 ? x 2 ? x ? 2 的单调递增区间为 [?2, ? ] . 2
2

4. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为 (??, ?1],[ ,1] . 5. 已知函数 f ( x) ?

1 2

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ? 0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2) ? 0 , ( x2 ? 2) ? 0 得, ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 . 2

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第4课
【考点导读】

函数的奇偶性

1.了解函数奇偶性的含义,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性; 2.定义域对奇偶性的影响:定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上 述对称性的,既不是奇函数,也不是偶函数. 【基础练习】 1.给出 4 个函数:① f ( x) ? x ? 5 x ;② f ( x) ?
5

x4 ?1 x ?x ;③ f ( x) ? ?2 x ? 5 ;④ f ( x) ? e ? e . 2 x

其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____. 2. 设函数 f ?x ? ?

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数 a ?
x
B. y ? sin x, x ? R

-1



3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A ) A. y ? ? x , x ? R
3

C. y ? x, x ? R

D. y ? ( ) x , x ? R

1 2

【范例解析】 例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?

(1 ? 2 x ) 2 ; 2x
2

(2) f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? 1) ;

(3) f ( x) ? lg x ? lg

1 ; x2

(4) f ( x) ? (1 ? x)

1? x ; 1? x

(5) f ( x) ? x ? x ? 1 ? 1 ;
2

(6) f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? 2 ? x ? x ( x ? 0). ?

分析:判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断. 解: (1)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (? x) ? 所以 f ( x) 为偶函数. (2)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (? x) ? f ( x) ? lg(? x ?

(1 ? 2? x ) 2 22 x ? (1 ? 2? x ) 2 (1 ? 2 x ) 2 ? ? ? f ( x) , 2? x 22 x ? 2? x 2x

x 2 ? 1) ? lg( x ? x 2 ? 1) ? lg1 ? 0 ,

? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
(3)定义域为 x ? (??,0) ? (0, ??) ,关于原点对称;? f ( x) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) , 所以 f ( x) 既为奇函数又为偶函数. (4)定义域为 x ?[?1,1) ,不关于原点对称;故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.

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(5)定义域为 x ? R ,关于原点对称;? f (?1) ? 4 , f (1) ? 2 ,则 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) ,故

f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(6)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

??(? x) 2 ? (? x) (? x ? 0), ? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? ? f (? x) ? ? ,? f ( ? x ) ? ? 2 又 f (0) ? 0 , 2 ?(? x) ? (? x) (? x ? 0). ? x ? x ( x ? 0). ? ?

? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? f (? x) ? ? 2 ? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ? x ? x ( x ? 0). ?
点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即 f (? x) ? ? f ( x) 或

f (? x) ? f ( x) 判断,注意定义的等价形式 f (? x) ? f ( x) ? 0 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 .
例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2 , 求函数 f ( x) 的解析式,
2

并指出它的单调区间. 分析:奇函数若在原点有定义,则 f (0) ? 0 . 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? x ? 2 x ? 2 .
2

又 f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x ? 2 x ? 2 .
2

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 综上, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ?0, x ? 0. ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f ( x) 的图像,可得增区间为 (??, ?1] , [1, ??) ,减区间为 [?1,0) , (0,1] . 点评: (1)求解析式时 x ? 0 的情况不能漏; (2)两个单调区间之间一般不用“ ? ”连接; (3)利用奇偶 性求解析式一般是通过“ ?x ”实现转化; (4)根据图像写单调区间.

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【反馈演练】 1.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则( D ) A. f ?6? ? f ?7 ? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7 ? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10 ?

2. 在 R 上定义的函数 f ? x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ? x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ? x ? ( B )

A.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为____1,3 ___. 2 ? 5 1 4.设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2 2
3. 设 ? ? ?? 1,1, 5.若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取 值范围是(-2,2) . 6. 已知函数 f ( x) ?

? ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数.又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a,b,c 的值; bx ? c

解:由 f (? x) ? ? f ( x) ,得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ,得 c ? 0 .又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b ,

4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 .又 a ? Z ,?a ? 0 或 1. a ?1 1 若 a ? 0 ,则 b ? ? Z ,应舍去;若 a ? 1 ,则 b ? 1? Z . 2
而 f (2) ? 3 ,得 所以, a ? 1, b ? 1, c ? 0 . 综上,可知 f ( x) 的值域为 {0,1, 2,3, 4} .

第 12 页 【辅导专用】共 43 页

第5 课
【考点导读】

函数的图像

1.掌握基本初等函数的图像特征,学会运用函数的图像理解和研究函数的性质; 2.掌握画图像的基本方法:描点法和图像变换法. 【基础练习】 1.根据下列各函数式的变换,在箭头上填写对应函数图像的变换: (1) y ? 2
x

向右平移 1 个单位

y ? 2 x ?1

向上平移 3 个单位

y ? 2 x ?1 ? 3 ; y ? log 2 (3 ? x) .

(2) y ? log 2 x

作关于 y 轴对称的图形

y ? log 2 (? x)

向右平移 3 个单位

2.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? 3 ? 1 ;
x

(2) y ? log 2 ( x ? 2) ;
x

(3) y ?

2? x . x ?1

解: (1)将 y ? 3 的图像向下平移 1 个单位,可得 y ? 3 ? 1 的图像.图略;
x

(2)将 y ? log 2 x 的图像向右平移 2 个单位,可得 y ? log 2 ( x ? 2) 的图像.图略;

2? x 1 1 1 的图像,再向下平移 1 ? ? 1 ,将 y ? 的图像先向右平移 1 个单位,得 y ? x ?1 x ?1 x x ?1 2? x y 个单位,可得 y ? 的图像.如下图所示: x ?1
(3)由 y ? O -1 3.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? log 1 (? x) ;
2

1

x

(2) y ? ?( ) ; (3) y ? log 1 x ;
x

1 2

(4) y ? x ? 1 .
2

2

解: (1)作 y ? log 1 x 的图像关于 y 轴的对称图像,如图 1 所示;
2

1 x 2 (3)作 y ? log 1 x 的图像及它关于 y 轴的对称图像,如图 3 所示;
(2)作 y ? ( ) 的图像关于 x 轴的对称图像,如图 2 所示;
2

(4)作 y ? x ? 1 的图像,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,如图 4 所示.
2

y

y O -1 x

-1

O

x

图1

第 13 页 【辅导专用】共 43 页

图2

y y

-1 -1 O 1 x

O

x

图4 图3 4. 函数 f ( x) ?| x ?1| 的图象是 y 1 -1 O 1 A x -1 O y 1 1 B x -1 O C y 1 1 x -1 O ( B ) y 1 1 D x

【范例解析】
2 例 1.作出函数 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ? 3 及 f (? x) , ? f ( x) , f ( x ? 2) , f ( x ) , f ( x ) 的图像.

分析:根据图像变换得到相应函数的图像. 解: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称;
将 y ? f ( x) 的图像向左平移 2 个单位得到 y ? f ( x ? 2) 的图像; 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,并去掉原下方的部分; 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分, 并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分.图略. 点评:图像变换的类型主要有平移变换,对称变换两种.平移变换:左“+”右“-” ,上“+”下“-” ; 对称变换: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称; y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于原点对称;
y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,并去掉原下方
的部分;

y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分,并保
留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分.
第 14 页 【辅导专用】共 43 页

例 2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2) 设集合 A ? ? x f ( x) ? 5 ?, 出证明.

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系, 并给

分析:根据图像变换得到 f (x) 的图像,第(3)问实质是恒成立问题. 解: (1)

(2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此 A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14 , ? ? . 由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .

?

?

?

?

第 15 页 【辅导专用】共 43 页

【反馈演练】 1.函数 y ? 1 ? 的图象是( B ) x ?1 y

1

y

1 O 1 A. y x

1 O 1 B. y x

1 -1 O C. x -1

1 O D. x

2. 为了得到函数 y ? 3? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象向右平移 1 个单位长度得到.
x x

1 3

1 3

3.已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k = ?
4

1 . 4

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称,则 2 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ . 5. 作出下列函数的简图: (1) y ? x ? 2 ( x ? 1) ; (2) y ? 2 ? 1 ; (3) y ? log 2 2 x ? 1 .
x

2012 高中数学复习讲义 第二章 函数 B
第6课
【考点导读】 1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的图像和性质; 2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 从而了解函数的零点与方程根的联系.

二次函数

【基础练习】 1. 已知二次函数 y ? x ? 3x ? 2 ,则其图像的开口向__上__; 对称轴方程为 x ?
2

3 3 1 ; 顶点坐标为 ( , ? ) , 2 2 4

第 16 页 【辅导专用】共 43 页

与 x 轴的交点坐标为 (1, 0), (2, 0) ,最小值为 ?
2 2

1 . 4

2. 二次函数 y ? ? x ? 2mx ? m ? 3 的图像的对称轴为 x ? 2 ? 0 ,则 m ? __-2___,顶点坐标为 (?2,3) , 递增区间为 ( ??, ?2] ,递减区间为 [?2, ??) .

1 . 2 2 4. 实 系 数 方 程 ax ? bx? c?0( a? 0)两 实 根 异 号 的 充 要 条 件 为 ac ? 0 ; 有 两 正 根 的 充 要 条 件 为 b c b c ? ? 0, ? ? 0, ? 0 ;有两负根的充要条件为 ? ? 0, ? ? 0, ? 0 . a a a a 2 [1, 2] 5. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是__________.
3. 函数 y ? 2 x ? x ? 1 的零点为 1, ?
2

【范例解析】 例 1.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R .
2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)若 a ? 2 时,求 f (x) 的最小值. 分析:去绝对值. 解: (1)当 a ? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) ? | ? x | ?1 ? f ( x)
2

此时, f (x) 为偶函数. 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 | a | ?1 ,
2 2

f ( a ) ? f ( ? a ) , f ( a ) ? ? f ( ?a ) .
此时 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

?x 2 ? x ? 3 ? (2) f ( x ) ? ? 2 ?x ? x ? 1 ?

x?2 x?2

由于 f (x) 在 [2,??) 上的最小值为 f (2) ? 3 ,在 (??,2) 内的最小值为 f ( ) ? 故函数 f (x) 在 (??, ?) 内的最小值为

1 2

3 . 4

3 . 4

点评:注意分类讨论;分段函数求最值,先求每个区间上的函数最值,再确定最值中的最值. 例 2.函数 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? a (a ? R) 在区间 [ 2, 2] 的最大值记为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式. 2

分析:二次函数在给定区间上求最值,重点研究其在所给区间上的单调性情况. 解:∵直线 x ? ?

1 1 2 是抛物线 f ( x) ? ax ? x ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2
第 17 页 【辅导专用】共 43 页

(1)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) , x ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

1 ? 0 知 f ( x) 在 x ? [ 2, 2] 上单调递增,故 g (a ) ? f (2) ? a ? 2 ; a (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , x ? [ 2, 2] ,有 g (a ) =2;
由x?? (3)当 a ? 0 时, ,函数 y ? f ( x) , x ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 时, g (a ) ? f ( 2) ? 2 , ? (0, 2 ] 即 a ? ? 2 a 2 1 1 1 1 ,? ] 时, g (a ) ? f (? ) ? ?a ? 若 x ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , 2 2 a a 2a 1 1 若 x ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? f (2) ? a ? 2 . a 2 1 ? (a ? ? ) ? a?2 2 ? 1 2 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? , (? ? a ? ? ). 2a 2 2 ? 2 ? 2 (a ? ? ) ? 2 ? 点评:解答本题应注意两点:一是对 a ? 0 时不能遗漏;二是对 a ? 0 时的分类讨论中应同时考察抛物线的 开口方向,对称轴的位置及 y ? f ( x) 在区间 [ 2, 2] 上的单调性.
若x?? 【反馈演练】 1.函数 y ? x ? bx ? c?x ? ?0,?? ?? 是单调函数的充要条件是 b ? 0 .
2

2.已知二次函数的图像顶点为 A(1,16) ,且图像在 x 轴上截得的线段长为 8,则此二次函数的解析式为

y ? ? x 2 ? 2 x ? 15 .
3. 设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax ? bx ? a ? 1 的图象为下列四图之一:
2 2

则 a 的值为 ( B ) A.1 B.-1 C.

?1? 5 2

D.

?1? 5 2

第 18 页 【辅导专用】共 43 页

4.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,则 a 的取值范围是 [? , ??) .
2

1 2

5 2

5.若关于 x 的方程 x ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有解,则实数 m 的取值范围是 (??, ?5] ? [5, ??) .
2

6.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 在 [?1,1] 有最小值,记作 g ( a ) .
2

(1)求 g ( a ) 的表达式; (2)求 g ( a ) 的最大值. 解: (1)由 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 知对称轴方程为 x ?
2

a , 2

a ? ?1 时,即 a ? ?2 时, g (a) ? f (?1) ? 2a ? 5 ; 2 a a2 a 当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, g (a ) ? f ( ? ) ? 3 ? ; 2 2 2 a 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, g (a) ? f (1) ? 5 ? 2a ; 2 ?2a ? 5, (a ? ?2) ? 2 ? a 综上, g (a) ? ?3 ? , (?2 ? a ? 2) . 2 ? ?5 ? 2a, (a ? 2) ?
当 (2)当 a ? ?2 时, g (a) ? 1 ;当 ?2 ? a ? 2 时, g (a) ? 3 ;当 a ? 2 时, g (a) ? 1 .故当 a ? 0 时, g ( a ) 的最大值为 3. 7. 分别根据下列条件,求实数 a 的值: (1)函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在在 [0,1] 上有最大值 2;
2

(2)函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1在在 [?3, 2] 上有最大值 4.
2

解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (0) ,令 1 ? a ? 2 ,则 a ? ?1 ; 当 0 ? a ? 1时, f ( x)max ? f (a) ,令 f (a) ? 2 ,? a ? 当 a ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ,即 a ? 2 . 综上,可得 a ? ?1 或 a ? 2 . (2)当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (2) ,即 8a ? 1 ? 4 ,则 a ? 当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (?1) ,即 1 ? a ? 4 ,则 a ? ?3 .

1? 5 (舍) ; 2

3 ; 8

第 19 页 【辅导专用】共 43 页

3 或 a ? ?3 . 8 2 8. 已知函数 f ( x) ? x ? a, ( x ? R) . x ? x2 1 (1)对任意 x1 , x2 ? R ,比较 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 与 f ( 1 ) 的大小; 2 2
综上, a ? (2)若 x ?[?1,1] 时,有 f ( x) ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

1 2 x1 ? x2 1 故 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( ). 2 2

解: (1)对任意 x1 , x2 ? R , [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f (

x1 ? x2 1 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 2 4

2 (2)又 f ( x) ? 1 ,得 ?1 ? f ( x) ? 1 ,即 ?1 ? x ? a ? 1 ,

得?

? a ? (? x 2 ? 1) max , x ? [?1,1] ? ,解得 ?1 ? a ? 0 . 2 ? a ? (? x ? 1) min , x ? [?1,1] ?

第7课
【考点导读】

指数式与对数式

1.理解分数指数幂的概念,掌握分数指数幂的运算性质; 2.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 3.能运用指数,对数的运算性质进行化简,求值,证明,并注意公式成立的前提条件; 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算. 【基础练习】 1.写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)

第 20 页 【辅导专用】共 43 页

(3 ? ? ) 2 ? ? ? 3 ;

8 3 ? ____4____;

2

81

?

3 4

?

1 ; 27

log a 1 ? ___0_____;
2.化简下列各式: (a ? 0, b ? 0)
2 3 ? 1 3

log a a ? ____1____;

log 1 4 ? __-4__.
2

(1) 4a b

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) ? ?6a ; 3
?2 2 ?2

(2) (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) ?
2

a2 ?1 . a2 ? 1

3.求值: (1) log
3

1 2

(83 ? 45 ) ? ___-38____;
3

(2) (lg 2) ? 3lg 2 ? lg 5 ? (lg 5) ? ____1____; (3) log 2 3 ? log3 4 ? log 4 5 ? log5 6 ? log 6 7 ? log 7 8 ? _____3____. 【范例解析】 例 1. 化简求值: (1)若 a ? a
?1

? 3 ,求 a 2 ? a 2 及

1

?

1

a 4 ? a ?4 ? 4 的值; a 2 ? a ?2 ? 8

(2)若 x log 3 4 ? 1 ,求 分析:先化简再求值.

23 x ? 2?3 x 的值. 2 x ? 2? x

解: (1)由 a ? a ? 3 ,得 (a ? a ) ? 1 ,故 a 2 ? a 又 (a ? a ) ? 9 , a ? a
2
?1 2

?1

1 2

?

1 2 2

1

?

1 2

? ?1 ;

?2

? 7 ;? a 4 ? a ?4 ? 47 ,故

a 4 ? a ?4 ? 4 ? ?43 . a 2 ? a ?2 ? 8

(2)由 x log 3 4 ? 1 得 4 ? 3 ;则
x

23 x ? 2?3 x 7 ? 4 x ? 1 ? 4? x ? . x ?x 2 ?2 3

点评:解条件求值问题: (1)将已知条件适当变形后使用; (2)先化简再代入求值.

1 1 ? lg 9 ? lg 240 2 例 2.(1)求值: ?1; 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5
(2)已知 log 2 3 ? m , log3 7 ? n ,求 log 42 56 .

第 21 页 【辅导专用】共 43 页

分析:化为同底.

1 lg lg10 ? lg 3 ? lg 240 解: (1)原式= ?1 ? 8 ?1 ? 0 ; 36 lg 8 lg10 ? lg 9 ? lg 5
(2)由 log 2 3 ? m ,得 log 3 2 ?

log3 56 3log 3 2 ? log 3 7 3 ? mn 1 ;所以 log 42 56 ? . ? ? log 3 42 1 ? 3log 3 2 ? log 3 7 m ? 1 ? mn m

点评:在对数的求值过程中,应注意将对数化为同底的对数. 例 3. 已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值. a b

分析:将 a,b 都用 c 表示. 解:由 3 ? 5 ? c ,得
a b

1 1 1 1 ? log c 3 , ? log c 5 ;又 ? ? 2 ,则 log c 3 ? log c 5 ? 2 , a b a b

2 得 c ? 15 .?c ? 0 ,? c ? 15 .

点评:三个方程三个未知数,消元法求解.

【反馈演练】 1.若 10
2x

? 25 ,则 10? x ?

1 . 5

2.设 lg321 ? a ,则 lg 0.321 ? a ? 3 . 3.已知函数 f ( x) ? lg

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? -b. 1? x

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 4.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞) . , 2 ?x x?0 ?
5.设已知 f (x6) = log2x,那么 f (8)等于

1 . 2

6.若 3 ? 0.618 , a ? [k , k ? 1) ,则 k =__-1__.
a

?cx ? 1 ? f ( x) ? ? ? x 7.已知函数 2 ?2 c ? 1 ?
(1)求实数 c 的值; (2)解不等式 f ( x)>

(0<x<c) (c ? x<1)

,且 f (c ) ?
2

9 . 8

2 ?1. 8
第 22 页 【辅导专用】共 43 页

解: (1)因为 0 ? c ? 1,所以 c 2 ? c , 由 f (c 2 ) ?

9 9 1 ,即 c3 ? 1 ? , c ? . 8 8 2
1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

?1 ? 2 x ?1 ? (2)由(1)得: f ( x ) ? ? ?2?4 x ? 1 ? ?
由 f ( x) ? 当

2 2 1 1 ?x? . ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 4 2 8 2

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8
? 2 5? 2 ? ? ? x? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

所以 f ( x) ?

第8课
【考点导读】

幂函数、指数函数及其性质

1.了解幂函数的概念,结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ?
2

3

1 1 , y ? x 2 的图像了解它们的变化情况; x

2.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性; 3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】

第 23 页 【辅导专用】共 43 页

1.指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是 (1, 2) .
x

2.把函数 f ( x) 的图像分别沿 x 轴方向向左,沿 y 轴方向向下平移 2 个单位,得到 f ( x) ? 2 的图像,则
x

f ( x) ? 2 x? 2 ? 2 .
3.函数 y ? 0.3
2? x ? x2

1 1 的定义域为___R__;单调递增区间 (??, ? ] ;值域 (0, 0.3 4 ] . 2

4.已知函数 f ( x) ? a ? 5.要使 y ? ( )

1 1 是奇函数,则实数 a 的取值 ? . 2 4 ?1
x

1 2

x ?1

? m 的图像不经过第一象限,则实数 m 的取值范围 m ? ?2 .
2 x ?1

6.已知函数 f ( x) ? a 【范例解析】

1 ? 1 (a ? 0, a ? 1) 过定点,则此定点坐标为 ( , 0) . 2

例 1.比较各组值的大小: (1) 0.4
?b

0.2

, 0.2
b

0.2 a

, 20.2 , 21.6 ;

(2) a , a , a ,其中 0 ? a ? b ? 1 ; (3) ( ) 3 , ( ) 2 . 分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性.

1 2

1

1 3

1

? 0.40.2 ? 0.40 ? 1,而 1 ? 20.2 ? 21.6 , ? 0.20.2 ? 0.40.2 ? 20.2 ? 21.6 . ?b a b (2)? 0 ? a ? 1 且 ?b ? a ? b ,? a ? a ? a . 1 1 1 1 1 1 (3) ( ) 3 ? ( ) 2 ? ( ) 2 . 2 2 3
解: (1)? 0.2
0.2

点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注意通过 0,1 等数进行间接分类. 例 2.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数,求 a, b 的值; 2 x ?1 ? a b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

解:因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

1 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x?2 x 例 3.已知函数 f ( x) ? a ? (a ? 1) ,求证: x ?1 1?
(1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数;

第 24 页 【辅导专用】共 43 页

(2)方程 f ( x) ? 0 没有负根. 分析:注意反证法的运用. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 ? a 2 ?
x x

3( x2 ? x1 ) , ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 所以 x2 ? x1 ? 0 ,x1 ? 1 ? 0 ,x2 ? 1 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 则 ? ? a ? 1, a x2 ? a x1 ? 0 , ?1 ? x1 ? x2 , 故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数. (2)设存在 x0 ? 0 ( x0 ? ?1) ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,则 a
x0

??

x0 ? 2 x ?2 x .又 0 ? a 0 ? 1 ,? 0 ? ? 0 ?1 x0 ? 1 x0 ? 1



1 ? x0 ? 2 ,与假设 x0 ? 0 矛盾,故方程 f ( x) ? 0 没有负根. 2

点评:本题主要考察指数函数的单调性,函数和方程的内在联系.

【反馈演练】 1.函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有( C )
x

A. f ( xy) ? f ( x) f ( y) C. f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 2.设 3 ?
x

B. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

1 ,则( A ) 7
B.-3<x<-2 C.-1<x<0 D.0<x<1

A.-2<x<-1

3.将 y=2x 的图像 ( D ) 再作关于直线 y=x 对称的图像,可得到函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图像. A.先向左平行移动 1 个单位 C.先向上平行移动 1 个单位 4.函数 f ( x) ? a
x ?b

B.先向右平行移动 1 个单位 D. 先向下平行移动 1 个单位 y 1

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( C ) B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0
x

-1 O

1

x

第4题

5.函数 y ? a 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为___2__. 6.若关于 x 的方程 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 有实数根,求实数 m 的取值范围.
x x

第 25 页 【辅导专用】共 43 页

解:由 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 得, m ? ?4 x ? 2 x ? 2 ? ?(2 x ? ) 2 ?
x x

1 2

9 ? 2 ,? m ? (??, 2) 4

7.已知函数 f ( x) ?

a (a x ? a ? x )(a ? 0, a ? 1) . a ?2
2

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f ( x) 在 R 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围.

a ( a ? x ? a x ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 是奇函数. a ?2 a 1 (2)设 x1 ? x2 ? R , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 (a x1 ? a ? x2 )(1 ? x1 ? x2 ) , a ?2 a
解: (1)定义域为 R,则 f (? x) ?
2

当 0 ? a ? 1时,得 a ? 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 1;
2

当 a ? 1 时,得 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 ;
2

综上,实数 a 的取值范围是 (0,1) ? ( 2, ??) .

第9课
【考点导读】

对数函数及其性质

1.理解对数函数的概念和意义,能画出具体对数函数的图像,探索并理解对数函数的单调性; 2.在解决实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型; 3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数,对数函数的单调性问题. 【基础练习】 1. 函数 y ? log 0.1 (6 ? x ? 2 x ) 的单调递增区间是 [ , 2) .
2

1 4

第 26 页 【辅导专用】共 43 页

2. 函数 f ( x) ? log 2 2 x ?1 的单调减区间是 ( ??, ) . 【范例解析】 例 1. (1)已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则实数 a 的取值范围是_________. (2)设函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a) ,给出下列命题:
2

1 2

① f (x) 有最小值;

②当 a ? 0 时, f (x) 的值域为 R ;

③当 ?4 ? a ? 0 时, f (x) 的定义域为 R ; ④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 . 则其中正确命题的序号是_____________. 分析:注意定义域,真数大于零. 解: (1)? a ? 0, a ? 1 ,? 2 ? ax 在 [0,1] 上递减,要使 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则 a ? 1 ;又

2 ? ax 在 [0,1] 上要大于零,即 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ;综上, 1 ? a ? 2 .
(2)① f (x) 有无最小值与 a 的取值有关;②当 a ? 0 时, f ( x) ? lg x ? R ,成立;
2

③当 ?4 ? a ? 0 时,若 f (x) 的定义域为 R ,则 x ? ax ? a ? 0 恒成立,即 a ? 4a ? 0 ,即 ?4 ? a ? 0 成
2 2

? a ?? ? 2, 立;④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则 ? 2 解得 a ?? ,不成立. ?4 ? 2a ? a ? 0. ?
点评:解决对数函数有关问题首先要考虑定义域,并能结合对数函数图像分析解决. 例 3.已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. ? log 2 x 1? x

分析:利用定义证明复合函数的单调性.

?x ? 0 1? x ? ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, 所以函数 f (x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 解:x 须满足 ?1 ? x ? 0 1? x ?1 ? x ?
因为函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有

1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1? x x 1? x
研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

第 27 页 【辅导专用】共 43 页

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 1 1 ? x2 1 ? log 2 ? ? log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 1 1 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 点评:本题重点考察复合函数单调性的判断及证明,运用函数性质解决问题的能力. 【反馈演练】 1.给出下列四个数:① (ln 2) ;② ln(ln 2) ;③ ln 2 ;④ ln 2 .其中值最大的序号是___④___. 2.设函数 f ( x) ? log a ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) , (8, 2) ,则 a ? b 等于___5_ _.
2

3.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,则定点 A 的坐标是 ( ?2, ?1) .

4.函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为
x

1 . 2

5.函数 f ? x ? ? ?

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log 2 x 的图象的交点个数有___3___个. 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

6.下列四个函数:① y ? x ? lg x ; ② y ? x ? lg x ;③ y ? ? x ? lg x ;

④ y ? ? x ? lg x .其中,函数图像只能是如图所示的序号为___②___. 第6题 7.求函数 f ( x) ? log 2 2 x ? log 2 解: f ( x) ? log 2 2 x ? log 2

x 1 , x ? [ , 4] 的最大值和最小值. 4 2

x ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) ? log 2 2 x ? log 2 x ? 2 4

令 t ? log 2 x ,? x ? [ , 4] ,则 t ?[?1, 2] , 即求函数 y ? t ? t ? 2 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值.
2

1 2

故函数 f ( x) 的最大值为 0,最小值为 ?

9 . 4
第 28 页 【辅导专用】共 43 页

8.已知函数 f ( x) ? log a

x?b (a ? 0, a ? 1, b ? 0) . x ?b

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性,并证明.

x?b ? 0 ,故的定义域为 (?? ? b) ? (b, ??) . x ?b ?x ? b (2)? f (? x) ? log a ( ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ?x ? b
解: (1)解:由 (3)证明:设 b ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

( x1 ? b)( x2 ? b) , ( x2 ? b)( x1 ? b)

( x1 ? b)( x2 ? b) 2b( x2 ? x1 ) ?1 ? ? 0. ( x2 ? b)( x1 ? b) ( x2 ? b)( x1 ? b)
当 a ? 1 时,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f (x) 在 (b, ??) 上为减函数;同理 f (x) 在 (??, ?b) 上也为减函数; 当 0 ? a ? 1时,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f (x) 在 (b, ??) , (??, ?b) 上为增函数.

第 10 课
【考点导读】

函数与方程

1.能利用二次函数的图像与判别式的正负,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,了解函数零点与方 程根的联系. 2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,并理解二分法的实质. 3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 【基础练习】 1.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在区间 [?4, ?1] 有_____1 ___个零点.
2

第 29 页 【辅导专用】共 43 页

2.已知函数 f ( x) 的图像是连续的,且 x 与 f ( x) 有如下的对应值表:

x
f ( x)

1 -2.3

2 3.4

3 0

4 -1.3

5 -3.4

6 3.4

则 f ( x) 在区间 [1, 6] 上的零点至少有___3__个. 【范例解析】 例 1. f ( x) 是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g ( x) ? af ( x) ? b , 则下列关于函数 g ( x) 的结论: ①若 a<0,则函数 g ( x) 的图象关于原点对称; ②若 a=-1,-2<b<0,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根; ③若 a≠0, b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有两个实根; ④若 a ? 0 , b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有三个实根. 其中,正确的结论有___________. 分析:利用图像将函数与方程进行互化. 解 : 当 a ? 0 且 b ? 0 时 , g ( x) ? a f ( x) b 非 奇 非 偶 函 数 , ① 不 正 确 ; 当 a ? ?2 , b ? 0 时 , ? 是

2 是奇函数,关于原点对称,③不正确;当 a ? 0 , b ? 2 时, f ( x) ? ? ,由图知,当 g ( x) ? ? 2 f ( x ) a 2 2 ?2 ? ? ? 2 时, f ( x) ? ? 才有三个实数根,故④不正确;故选②. a a
点评:本题重点考察函数与方程思想,突出考察分析和观察能力;题中只给了图像特征,因此,应用其图, 察其形,舍其次,抓其本.

例 2.设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 .
2

求证: (1) a ? 0 且 ? 2 ?

b ? ?1 ; a

(2)方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根. 分析:利用 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 进行消元代换. 证明: (1)? f (0) ? c ? 0 , f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ,由 a ? b ? c ? 0 ,得 b ? ?a ? c ,代入 f (1) 得:

第 30 页 【辅导专用】共 43 页

a ? c ? 0 ,即 a ? c ? 0 ,且 0 ?
(2)? f ( ) ? ?

c b c ? 1 ,即 ? ?1 ? ? (?2, ?1) ,即证. a a a

1 1 1 a ? 0 ,又 f (0) ? 0 , f (1) ? 0 .则两根分别在区间 (0, ) , ( ,1) 内,得证. 4 2 2 1 1 点评:在证明第(2)问时,应充分运用二分法求方程解的方法,选取 (0,1) 的中点 来考察 f ( ) 的正负 2 2 1 b 是首选目标,如不能实现 f ( ) ? 0 ,则应在区间内选取其它的值.本题也可选 ? ,也可利用根的分布 2 3a
来做. 【反馈演练】 1.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

1 2

1 (??, ?1) ? ( , ??) . 2
2.设函数 f ( x) ? ? 数为 A.1
2

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, ?2, x ? 0.

若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的个 ( C ) D.4

B.2

C.3

3.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,且方程 f ( x) ? x 无实数根,下列命题: ①方程 f [ f ( x)] ? x 也一定没有实数根;②若 a ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 ,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立. 其中正确命题的序号是
2

①②④



4.设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 .求实数 a 的取 值范围. 解:令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? (a ? 1) x ? a ,
2

? ? ? 0, ? 1? a ?a ? 0, ?0 ? ?1 , ? ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . 则由题意可得 ? ? ??1 ? a ? 1 , 2 ? g (1) ? 0, ? ?a ? 3 ? 2 2,或a ? 3 ? 2 2, ? ? g (0) ? 0, ?
3 故所求实数 a 的取值范围是 (0,? 2 2) .
第 31 页 【辅导专用】共 43 页

5.已知函数 f ( x) ? log 2 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数,求 k 的值;
x

解: ? f ( x) 是偶函数,? f (? x) ? f ( x)

? log 2 (4? x ? 1) ? kx ? log 2 (4 x ? 1) ? kx ? 2 x ? 2kx ? 0
由于此式对于一切 x ? R 恒成立,? k ? ?1 6.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .若 a>b>c, 且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点.
2

证明: ? f (1) ? a ? b ? c ? 0且a ? b ? c,? a ? 0且c ? 0,?? ? b 2 ? 4ac ? 0,

? f ( x) 的图象与 x 轴有两个交点.

数列
知识网络

定义 项,通项 数列基础知识 数列表示法 数列分类

数列 等差数列 等比数列 特殊数列

定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和

第 1 课时

数列的概念

典型例题

例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴ -
2 1? 3



4 8 16 ,- , …; (2) 1,1,2,2,3,3, 3? 5 5? 7 7?9

变式训练 1.某数列{an}的前四项为 0, 2 ,0, 2 ,则以下各式:
第 32 页 【辅导专用】共 43 页

① an=

2 [1+(-1)n] 2

② an= 1 ? ( ?1) n

? ) ③ an= ? 2 (n为 偶 数 ?0

(n为 奇 数 )

其中可作为{an}的通项公式的是 A.① C.②③ B.①② D.①②③





例 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项. ⑴ Sn=3n-2 ⑵ Sn=n2+3n+1 变式训练 2:已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式 为 .

例 3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 ⑵ a1=1,an= a n?1 ?3 ⑶ a1=1,an=
n ?1

(n≥2) (n≥2) (n≥2)
2a n (n∈N*),求该数列的通项公式. a n ?2

n ?1 a n?1 n

变式训练 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=


例 4. 已知函数 f (x) =2x-2 x,数列{an}满足 f (log2 an ) =-2n,求数列{an}通项公式. 变式训练 4.知数列{an}的首项 a1=5.前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*) . 证明数列{an+1}是等比数列。 归纳小结

1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有 观察法、通项法,转化为特殊数列法等. 2.由 Sn 求 an 时,用公式 an=Sn-Sn-1 要注意 n≥2 这个条件,a1 应由 a1=S1 来确定,最后看二者能否统一. 3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n), 乘法、待定系数法.
an?1 =f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累 an

第 2 课时
典型例题 例 1. 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60;

等差数列

第 33 页 【辅导专用】共 43 页

(2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8. 变式训练 1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 例 2. 已知数列{an}满足 a1=2a,an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式. 变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列 ?bn ? 与数列 ?a n ?满足 bn ? 3 n , n ? N ,且 a1 ? 1 ,
a *



a 1 (n≥2) .其中 a 是不为 0 的常数,令 bn= . an ?1 an ? a

2

(1)判断 ?a n ?是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?

1 ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 a n a n ?1
Sn }前 n 项和。求 n

例 3. 已知{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ Tn. 变式训练 3.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比 A.
28 17
Sn 5n ? 3 a ,则 5 的值是 ? ' S n 2n ? 7 b5





B.

48 25

C.

53 27

D.

23 15

例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案: 一是每年年末加 1000 美元; 二是每半年结束时加 300 美元. 问: ⑴ 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多? ⑵ 如果在该公司干 10 年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元? ⑶ 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元. 问 a 取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资? 变式训练 4.假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年 内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 归纳小结 1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:an+1-an=d(d 是一个与 n 无关的常数). 2.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.

第 34 页 【辅导专用】共 43 页

第 3 课时
典型例题

等比数列

例 1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数 n 和公比 q 的值. 变式训练 1.已知等比数列{an}中,a1· 9=64,a3+a7=20,则 a11= a .

例 2. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项中数值最大项为 27,求数列的第 2n 项. 变式训练 2.已知等比数列{an}前 n 项和 Sn=2n-1,{an2}前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 例 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 变式训练 3.设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于( A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 )

例 4. 已知函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的等比数列(q≠1),若 a1 =f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1), (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设数列{cn}对任意的自然数 n 均有:
c c1 c 2 ? ? ? ? n ? (n ? 1)a n?1 ,求数列{cn}前 n 项和 Sn. b1 b 2 bn

变式训练 4.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式; ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有

c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an ?1 ,求 c1+c2+c3+…+c2007 的值. b1 b2 b3 bn

归纳小结 1.在等比数列的求和公式中,当公比 q≠1 时,适用公式 Sn=
a1 (1 ? q n ) ,且要注意 n 表示项数;当 q=1 时, 1? q

适用公式 Sn=na1;若 q 的范围未确定时,应对 q=1 和 q≠1 讨论求和. 2.在等比数列中,若公比 q > 0 且 q≠1 时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项. 3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数, 一般是设为 x-d,x,x+d,
(x ? d )2 再依题意列出方程求 x、d 即可. x

4.a1 与 q 是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.

第 4 课时

等差数列和等比数列的综合应用
第 35 页 【辅导专用】共 43 页

典型例题 例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c,使它们同时满足以下三个条件: ① a+b+c=6 ② a、b、c 成等差数列. ③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列.
1 1 1 变式训练 1.若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a、c、e 成( c d e



A.等差数列 C.既成等差数列又成等比数列

B.等比数列 D.以上答案都不是

1 例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{ }满足 a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8 依次成等比数列,求数列{an} an

的通项公式 an. 变式训练 2.已知

1 1 1 b?c a?c a?b 也成等差数列。 , , 成等差数列,求证: , , a b c a b c

例 3. 已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.求证:△ABC 是 等边三角形. 变式训练 3.若互不相等的实数 a 、b 、c 成等差数列,c 、 a 、b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a = ( A.4 ) B.2 C.-2 D.-4
1 3

例 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3…… 求:⑴ a2、a3、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2+a4+a6+…+a2n 的值. 变式训练 4.设数列 ? an ? 的前 n 项的和 Sn ? 求首项 a1 与通项 an 。 归纳小结

4 1 2 a n ? ? 2n?1 ? , n ? 1,2,3...... 3 3 3

1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或等比)时, 可用性质:m、n、p、r∈N*,若 m+n=p+r,则 am+an=ap+ar(或 am· n=ap· r)进行解答. a a 2.若 a、b、c 成等差(或等比)数列,则有 2b=a+c(或 b2=ac) . 3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等于 180°这一 性质. 4.在涉及 an 与 Sn 相关式子中用 Sn-1 和 Sn 的关系表示 an 时应该注意“n≥2”这个特点.

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第 5 课时
典型例题

数列求和

1 1 1 1 1 1 1 1 1 例 1. 已知数列:1, ?1 ? ? , ?1 ? ? ? , ?1 ? ? ? ? ,…, ?1 ? ? ? ? n?1 ? ,求它的前 n 项的和 Sn. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 4? ? 2 4 8?

?

2

4

2

?

变式训练 1.数列 1 ,2 ,3 ,4

1 2

1 4

1 8

1 ,? 前 n 项的和为 16
1 n2 ? n ? ?1 2 2n 1 2 n ?1 n2 ? n ? 2





A.

1 n2 ? n ? 2 2n

B. ?

1 n2 ? n C. ? n ? 2 2
例 2. 求 Sn=1+
1 1? 2

D. ? +

1 1 +…+ . 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ...? n
1 n ? n ?1

变式训练 2:数列{an}的通项公式是 an= A.11 C.120 B.99 D.121

,若前 n 项之和为 10,则项数 n 为( )

例 3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (

a n ?1 2 2n ) (n ? N * ) ,bn=an· ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2

变式训练 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. ⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式. ⑵ 设 Cn=
an ,求数列{Cn}前 n 项和 Tn . bn

例 4. 求 Sn=1!+2· 2!+3· 3!+…+n· . n!

变式训练 4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an、an+1)均在一次函数 y=2x+k 的图象上,数列{bn} 满足条件:bn=an+1-an,且 b1≠0. ⑴ 求证:数列{bn}为等比数列. ⑵ 设数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 S6=T4,S5=-9,求 k 的值. 归纳小结

1.求和的基本思想是“转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和,或者转化为求自然数的方幂和,从而
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可用基本求和公式;其二是消项,把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和. 2.对通项中含有(-1)n 的数列,求前 n 项和时,应注意讨论 n 的奇偶性. 3.倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前 n 项和用到的方法,在复习中应给予重视.

数列章节测试题
一、选择题: 1.数列 2, 5, 2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的( A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项 ) D.第 11 项

2.方程 x2 ? 6x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是( ) A. 3 B. ?2 C. ? 6 D. 2 )

3.已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23

4、已知等比数列 ? an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? A. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n

B. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n

C. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n?1

5.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此数列的项数 为( A.12 ) B. 14 C.16 D.18 )

6、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( (A)12 (B)13 (C)14

(D)15 ) D. 1 ? n ? ln n

7、在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

8.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比
28 17 23 15

Sn 5n ? 3 a ? ,则 5 的值是( ) ' S n 2n ? 7 b5
C.
53 27

A.

B.

D.

48 25

9.{an}是等差数列, S10 ? 0, S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 值是( ) A.5 B. 6 C.7 D.8

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10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是( )

A. 3n ? 3
第1个 第2个 第3个

B. 4n ? 2 C. 2n ? 4
2 2 3 3

D. 4n ? 2 )

11.若数列 1, 2cos ? , 2 cos ? , 2 cos ? ,??, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为( A. k? ?

?
3

(k ? Z )

B. 2k? ?

?
3

(k ? Z ) C. 2k? ?

2? (k ? Z ) 3

D.以上的答案均不对

12.设 2a=3 ,
A.等差 二、填空题

2b=6, 2c=12 ,则数列 a,b,c 成
B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比

13、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 14、由正数构成的等比数列{an},若 a1a3 ? a2 a4 ? 2a2 a3 ? 49 ,则 a2 ? a3 ?
2

.
. .

15.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ? n , 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最大角为

16、给定 an ? log( n?1) (n ? 2) (n∈N*) ,定义乘积 a1 ? a2 ?? ? ak 为整数的 k(k∈N*)叫做“理想数”,则区间[1, 2008]内的所有理想数的和为 三、解答题 17、已知函数 f ( x) 是一次函数,且 f (8) ? 15, f (2), f (5), f (14) 成等比数列,设 an ? f (n) ,( n ? N ) (1)求 (2)设 b ?a ;
i ?1 i n
?



n

? 2n ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 S n 。

18、数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

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19、假设某市 2004 年新建住房 400 万 m2 ,其中有 250 万 m2 是中低价房。预计在今后的若干年内,该市 每年新建住房面积平均比上一年增长 8% 。另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万 m 。那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万 m ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85% ?
2 2

* 20、已知数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 S n 满足 Sn ?1 ? Sn ?1 ? 2Sn ? 1 ( n ? 2 , n ?N ) .

(1)求数列 ?a n ?的通项公式;

( )? (2) bn ? 4 ? 1 设
n

n ?1

2?(?

an

* ? 为非零整数, ?N* ) 试确定 ? 的值, , 使得对任意 n ?N , 都有 bn ?1 ? bn n

成立. 21、已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 S n , S4 ? 2S2 ? 4 , bn ? (1)求公差 d 的值; 5 (2)若 a1 ? ? ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值; 2 (3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 成立,求 a1 的取值范围.

1 ? an . an

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数列章节测试题参考答案
一、选择题 1 B 二、填空题 13、-72 16、2026. 解:换底公式: log a N ?
logb N lg(k ? 2) . a1a2 ? ak ? 为整数, k ? 2 ? 2m ,m∈N*.k 分别可取 lg 2 logb a

2 B

3 C

4 C

5 B

6 B

7 A

8 D

9 B

10 D

11 C

12 A

14、7

15、 120

?

22 ? 2, 23 ? 2, 24 ? 2,? ,最大值 2m ? 2 ≤2008,m 最大可取 10,故和为 22+23+…+210-18=2026.

三、解答题 17、解: (1)设 ( f ( x) ? ax ? b , a ? 0 )由 f (8) ? 15, f (2), f (5), f (14) 成等比数列得

8a ? b ? 15 ,----------------①,
∵a ? 0

f 2 (5) ? f (2) ? f (14) 得 (5a ? b)2 ? (2a ? b)(14a ? b) ? 3a2 ? 6ab ? 0
由①②得 a ? 2, b ? ?1 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 1

∴ a ? ?2b ---------------②

∴ an ? 2n ? 1,显然数列 {an } 是首项 a1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列 ∴

?a =a ?a
i ?1 i

n

1

2

? ? ? an ?
n

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

(2)∵ anbn ? (2n ? 1) ? 2

∴ Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn = 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2
2 3

n

2 S n = 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2
2 3 4 n

n ?1

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- S n = 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2n ? 1) ? 2
2 3 n

n ?1

= 2 ? 2 ? (2
3

n ?1

? 1) ? (2n ? 1) ? 2n ?1

∴ S n = (2n ? 3) ? 2

n ?1

?6。

18、 (I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式相减得 an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2 ? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ,故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 . (II)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得
2 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? ?10

∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n2 ? 2n

19.(1)到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 (2)到 2009 年底,当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于 85%
* 20、解: (1)由已知, ? S n ?1 ? S n ? ? ? S n ? S n ?1 ? ? 1 ( n ? 2 , n ?N ) ,
* 即 an ?1 ? an ? 1 ( n ? 2 , n ?N ) ,且 a2 ? a1 ? 1 .

∴数列 ?a n ?是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n ? 1 . (2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? 4 ? (?1)
n n ?1

? ? 2n?1 ,要使 bn ?1 ? bn 恒成立,
n ?1

∴ bn ?1 ? bn ? 4
n

n ?1

? 4n ? ? ?1? ? ? 2n ? 2 ? ? ?1?
n n ?1

? ? 2n ?1 ? 0 恒成立,

∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ?1? ∴ ? ?1?
n ?1

2n ?1 ? 0 恒成立,

? ? 2n ?1 恒成立.
n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2 当且仅当 n ? 1时, 2 ∴ ? ? 1.
n?1

恒成立,

有最小值为 1,

(ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2 当且仅当 n ? 2 时, ?2 ∴ ? ? ?2 .
n?1

n ?1

恒成立,

有最大值 ?2 ,

即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 .
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* 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ?N ,都有 bn ?1 ? bn

22.解: (1)∵ S4 ? 2S2 ? 4 ,∴ 4a1 ? 解得 d ? 1

3? 4 d ? 2(2a1 ? d ) ? 4 2

5 7 (2)∵ a1 ? ? ,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1) ? n ? 2 2
∴ bn ? 1 ?

1 1 ?1? 7 an n? 2
7? ?7 ? ? 在 ? ??, ? 和 ? , ?? ? 上分别是单调减函数, 7 ? 2? ?2 ? x? 2

∵函数 f ( x) ? 1 ?

1

∴ b3 ? b2 ? b1 ? 1 当 n ? 4 时, 1 ? bn ? b4 ∴数列 ?bn ? 中的最大项是 b4 ? 3 ,最小项是 b3 ? ?1 (2)由 bn ? 1 ?

1 1 得 bn ? 1 ? an n ? a1 ? 1 1 在 ? ??,1 ? a1 ? 和 ?1 ? a1 , ?? ? 上分别是单调减函数, x ? a1 ? 1

又函数 f ( x) ? 1 ?

且 x ? 1 ? a1 时 y ? 1 ; x ? 1 ? a1 时 y ? 1 . ∵对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 ,∴ 7 ? 1 ? a1 ? 8 ∴ ?7 ? a1 ? ?6 ∴ a1 的取值范围是 (?7, ?6)

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