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【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:二项式定理]


2015 届高三数学(理)提升演练:二项式定理
一、选择题 1.在(

x
2



2

x

) 的二项展开式中,x 的系数为 15 4 3 8

6

2

(

)

/>
15 A.- 4 3 C.- 8
x
-x 6

B. D.

2.(4 -2 ) (x∈R)展开式中的常数项是 A.-20 C.15
2 5

(

)

B.-15 D.20
4

3.在二项式(x +x+1)(x-1) 的展开式中,含 x 项的系数是 A.-25 C.5 B.-5 D.25

(

)

?x- 1 ? n 4.在?2 3 ? 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( ? ? x? ?
A.-7 C.7 B.-28 D.28

)

3 n 5.在二项式( x+ ) 的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A

x

+B=72,则展开式中常数项的值为 A.6 C.12 6. 若(1-2x) A.2 C.-1 二、填空题 7.(1- x) (1+ x)展开式中 x 的系数是________.
4 2011

( B.9 D.18

)

=a0+a1x+…+a2011x B.0

2011

(x∈R),则 + 2+…+ 2011的值为 ( 2 2 2

a1 a2

a2011

)

D.-2

8. 若 (x + 1) (x + 4) = a0(x + 3) + a1(x + 3) + a2(x + 3) +…+ a11(x + 3) + a12 ,则 log2(a1+a3+a5+…+a11)=________. 3 11 9.在(3 x-2 x) 的展开式中任取一项,则所取项为有理项的概率 P=________. 三、解答题

4

8

12

11

10

10.已知 a 为如图所示的程序框图中输出的结果,求二项式(a x- 项的系数.

1

x

) 的展开式中含 x

6

2

2 n * 11.已知( x- 2) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1.

x

(1)求展开式中各项系数的和; 3 (2)求展开式中含 x 的项. 2

1 n 12.已知( +2x) , 2 (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系 数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

详解答案

一、选择题 1.解析:在(

x
2



2

x
2

) 的展开式中,第 r+1 项为

6

Tr+1=Cr 6(

x
2

)

6-r

(-

r r 1 6-r 3-r r ) =C6( ) x (-2) , 2 x

3 2 1 1 5 当 r=1 时,为含 x 的项,其系数是 C6( ) (-2)=- . 2 8 答案:C 2.解析:Tr+1=C6(2 ) 常数项,T5=(-1) C =15. 答案:C 3.解析:因为(x-1) 中含 x ,x ,x 项分别为-C5x ,C5x ,-C5x ,所以含 x 项系数为 -C5+C5-C5=-5. 答案:B
1 2 3 5 4 3 2 1 4 2 3 3 2 4 4 4 6

r

2x 6-r

(-2 ) =(-1) C6(2 )

-x r

r r

x 12-3r

,r=4 时,12-3r=0,故第 5 项是

?x- 1 ? 8 4.解析:依题意, +1=5,∴n=8.二项式为?2 3 ? , ? ? 2 x? ?
n
1 x?2? - ? ? ? ?6=7. 易得常数项为 C ? ? ?2? ? 3 x? ? ?
6 8

答案:C 5.解析:A=(1+3) =4 ,B=2 .
n n n

A+B=4n+2n=72,
∴n=3. 3 n 3 3 ∴( x+ ) =( x+ ) .

x

x

3-r 3 r r r 3-r -r Tr+1=Cr ( ) =3 C3x ·x 3( x ) x 2

=3 C3x

r r

3-3r 2

∴当 r=1 时 Tr+1 为常数项.

∴常数项为 3C3=9. 答案:B 6. 解析:观察所求数列和的特点, 1 a1 a2 a2011 令 x= 可得 a0+ + 2+…+ 2011=0, 2 2 2 2 所以 + 2+…+ 2011=-a0, 2 2 2 再令 x=0 可得 a0=1,因此 + 2+…+ 2011=-1. 2 2 2 答案:C 二、填空题 7.解析:(1- x) (1+ x)=(1-x)(1- x)
3 4 3

1

a1 a2

a2011

a1 a2

a2011

设(1- x) 的二项展开式的常数项为 a,一次项的系数为 b, 又 Tr+1=C3(- x) =(-1) C3x , 2 ∴a=T1=1,b=T3=(-1) C3=3. ∴(1- x) (1+ x)展开式中 x 的系数为-1+3=2. 答案: 2 解析:令 x=-2,则 a0+a1+a2+…+a11+a12=2 ,令 x=-4,则 a0-a1+a2-…-a11+
8 4 2 2

r

r

r r

r

a12=0,相减得 2(a1+a3+a5+…+a11)=28,所以 a1+a3+a5+…+a11=27,所以 log2(a1+a3
+a5+…+a11)=log22 =7. 答案:7 9.解析:因为二项展开式中共有 12 项,其通项公式 Tr+1=C11·(3 x) C11·3
r
11-r 7

r

11-r

3 r ·(-2 x) =

33-r r ·(-2) ·x ,r=0,1,…,11,其中只有当 r=3 或 r=9 时,才是有理项, 6

2 1 故 P= = . 12 6 1 答案: 6 三、解答题 1 1 1 1 1 10.解:记 f(x)= ,则有 f(2)= =-1,f[f(2)]=f(-1)= ,f( )= =2, 1-x 1-2 2 2 1 1- 2 1 1 依题意得题中所给的程序图中输出的结果是数列 2,-1, ,2,-1, ,…(注:该数列的项 2 2

以 3 为周期重复出现)的第 2 011 项, 由于 2 011=3×670+1, 因此 a=2, 二项式(a x- 即(2 x- 1 ) 的展开式的通项是 C6·(2 x) 1
6 6

1

x

),

6

r

6-r

x

·(-
2

1

x

) =C6·2

r

r

6-r

·(-1) ·x
6-1

r

3-r

.令 3-r=2

得 r=1.所以,二项式(a x-

x

) 的展开式中含 x 项的系数是 C6·2
4 4

1

·(-1) =-192.

1

11.解:由题意知,第五项系数为 Cn·(-2) , 第三项的系数为 Cn·(-2) , Cn 则有 2 Cn
2 4 2 2

- -

4 2

10 = , 1

化简得 n -5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2) =1. (2)通项公式 Tr+1=C8·( x)
r
8-r 8

2 r ·(- 2)

x

8-r r r =C8·(-2) ·x -2r,(r=0,1,…,8), 2 令 8-r 3 -2r= ,则 r=1, 2 2
3 3

故展开式中含 x 的 2 项为 T2=-16x 2 . 12.解:(1)∵Cn+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0, ∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, 35 3 1 4 3 ∴T4 的系数=C7( ) 2 = , 2 2
3 4 T5 的系数=C4 7( ) 2 =70, 4 6 5 2

1 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8.
7 1 7 7 ∴T8 的系数=C14( ) 2 =3 432. 2

(2)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大, 1 1 12 12 12 ∵( +2x) =( ) (1+4x) , 2 2
? ?C124 ≥C12 4 , ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ?
k k k-1 k-1

0

1

2

2

∴9.4<k<10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11,
2 10 10 10 T11=C10 12·( ) ·2 ·x =16 896 x .

1 2


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