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2.1.2演绎推理(推荐)


原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶 现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们 表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时南 曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的位置 极有温暖湿润的气候,故南极洲的地理位置曾经在温 湿的热带。 的,为什么呢?

被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高 人们在喜马拉雅山区考察时,发现高山的地层 入云天,巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横 中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的 地质学家是怎么得出这个结论的呢? 空出世,雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰, 化石 ,地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海 登上珠峰顶,一览群山小。谁能想到,喜马拉雅山 洋里,在喜马拉雅山上发现它们的化石,说明 所在的地方,曾经是一片汪洋,高耸山峰的前身, 喜马拉雅山曾经是海洋。 是深不可测的大海。

二、情景引入: 1.所有的金属都能导电, 因为铀是金属, 思考:以上推理 所以铀能够导电. 的共同特点是什 2.一切奇数都不能被2整除, 么? 100+1)是奇数, 因为(2 所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 三角函数, 所以 tan? 周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

案例分析1:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理.
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

二、演绎推理的“三段论”
“三段论”是演绎推理的一般形式,包括: 1、大前提------ 已知的一般性原理; 2、小前提------ 所研究的特殊情况; 3、结论--------- 根据一般原理,对特殊情况做 出的判断

例如,刚才的例子中 1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.

大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论

大前提 3.三角函数都是周期函数, 小前提 因为tan ? 三角函数, 结论 所以 tan? 周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

1.南极洲所处的地理位置,曾经是温湿的热带。 大前提:繁茂的阔叶树是温湿的热带地区的植物 小前提:在南极洲的地下发现的煤矿中有阔叶树的树叶 结 论:南极洲所处的地理位置,曾经是温湿的热带。

2.喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋推理过程:

大前提:鱼类、贝类、鱼龙,都是海洋生物, 它们世世代代生活在海洋里
小前提:在喜马拉雅山上发现它们的化石 结 论:喜马拉雅山曾经是海洋

三、“三段论”的符号表示:
大前提:M 是 P 小前提:S 是 M 结 论:S 是 P

P S

用集合的知识说明:

M

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集, 那么S中所有元素也都具有性质P.

例1. 如图所示,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E为垂足, 求证:AB的中点M到D,E的距离相等。
(1)因为有一个内角为直角的三角形 证明: 是直角三角形, ……………..……大前提 在△ABD中,AD⊥BC, ∠ADB=90?, ……………….……小前提 所以△ABD是直角三角形. ….……结 论
C

同理,△AEB也是直角三角形

E

D

A

M

B

例1. 如图所示,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E为垂足, 求证:AB的中点M到D,E的距离相等。 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半, …………………..……大前提 而M是Rt△ABD斜边AB的中点, DM是斜边上的中线,…………………小前提

1 所以DM= AB ……………….……..结 C 2 1 D E AB 同理,EM= 2
所以DM=EM
A M



B

例2 证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函 证明: 数.
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 大前提 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. 任取x1,x2
∈(-∞,1)

且x1<x2

,

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)

=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0
因为x1,x2<1所以x1+x2-2<0 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

还有其他 的证明方 法吗?

小前提

所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.

结论

例2 证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函 数. 方法2:导数法
在某个区间(a,b)内,如果f′(x) >0,那 大前提 么函数y=f(x)在这个区间内单调递增。

f ?( x) ? ?2 x ? 2 当x ? (??,1)时,有1 ? x ? 0,所以 f ?( x) ? ?2 x ? 2 ? 2(1 ? x) ? 0
所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.

小前提

结论

为了方便,在运用三段论演绎推理时,常常采 用省略大前提的表述方式。

案例分析2:

中国的大学遍布全国各地; 北京大学是中国的大学;

北京大学遍布全国各地.

例3:下列推理形式正确吗?推理的结论是否

正确? 1.全等三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等. 推理形式不正确 小前提中的对象不是大前提中的对象 2.相似三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等. 推理形式正确 大前提不正确,结论不正确

例3:下列推理形式正确吗?推理的结论是否

正确?
3.正方形的对角线互相垂直 矩形是正方形 矩形的对角线互相垂直 只有在大前提、小前提、推理形式都正 推理形式正确 小前提不正确,结论不正确

确的情形,才能保证结论正确
4. 因为指数函数y=ax是递减函数 而y=2x是指数函数

所以y=2x是减函数 推理形式正确 大前提不正确,结论不正确

练习: 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

五、回顾小结:

一般 特殊 特殊

特殊 一般

特殊

五、回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.

推 理

合情推理

演绎推理

归纳 类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊) (一般到特殊)


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