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广东省广州仲元中学高三数学 专题训练《集合与简易逻辑》解析版


广州仲元中学高三数学专题训练测试(集合与简易逻辑)
时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2009·全国卷Ⅰ)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合? U(A∩B)中的元素共有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析:依题意得 U=A∪B={3,4,5,

7,8,9},A∩B={4,7,9},故?U(A∩B)={3,5,8},选 A. 答案:A 2 2.(2010·西安八校联考)设全集 U=R,集合 M={x|x>0},N={x|x ≥x},则下列关系中 正确的是 ( ) A.M∪N?M B.M∪N=R C.M∩N∈M D.(?UM)∩N=? 解析:依题意易得 N={x|x≥1 或 x≤0},所以 M∪N=R. 答案:B 3.设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:两偶数之和必为偶数,但两个数的和为偶数,这两个数未必都是偶数,如 1+3= 4,3+5=8 等等,故选 A. 答案:A 5 4.已知集合 M={x||x-1|≤2,x∈R},P={x| ≥1,x∈Z},则 M∩P 等于( ) x+1 A.{x|0<x≤3,x∈Z} B.{x|0≤x≤3,x∈Z} C.{x|-1≤x≤0,x∈Z} D.{x|-1≤x<0,x∈Z} 解析:∵|x-1|≤2?-2≤x-1≤2?-1≤x≤3, ∴M={x|-1≤x≤3,x∈R}. 5 5-x-1 x-4 又∵ ≥1? ≥0? ≤0?-1<x≤4. x+1 x+1 x+1 又∵x∈Z,∴P={0,1,2,3,4}. ∴M∩P={0,1,2,3}={x|0≤x≤3,x∈Z}. 答案:B 5.设全集为 U,集合 A、B 是 U 的子集,定义集合 A 与 B 的运算:A*B={x|x∈A,或 x∈B, 且 x?(A∩B)},则(A*B)*A 等于 ( ) A.A B.B C.(?UA)∩B D.A∩(?UB) 解析:画一个一般情况的韦恩图:

图1 由题目的规定,可知选 B. 答案:B 6.若命题甲:A∪B A 为假命题,命题乙:A∩B A 也为假命题,U 为全集,则下列四个 用文氏图形反映集合 A 与 B 的关系中可能正确的是( )

-1-

解析:由命题甲:A∪B A 为假命题可知 A∪B=A,由命题乙:A∩B A 为假命题可知 A∩B =A,所以 A=B,故选 D. 答案:D x2+2x 7.(2010·唐山一模)已知 a>1,g(x)=a ,则 g(x)<1 成立的一个充分不必要条件是 ( ) A.0<x<1 B.-1<x<0 C.-2<x<0 D.-2<x<1 2 解析: 由 g(x)<1, 得: ax2+2x<1, 又∵a>1 ∴x +2x<0 ∴-2<x<0, ∵-1<x<0?-2<x<0, 故选 B. 答案:B 2 8.有下列四个命题:①{?}是空集;②若 a∈N,则-a∈N;③集合 A={x|x∈R|x -2x 6 +1=0}有两个元素;④集合 B={x∈Q| ∈N}是有限集,其中正确命题的个数是 ( )

x

A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 2 9.(2010·湖北八校联考)设 p:|4x-3|≤1;q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈 p 是 綈 q 的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A.[0, ] B.(0, ) 2 2 1 1 C.(-∞,0]∪[ ,+∞) D.(-∞,0)∪( ,+∞) 2 2 1 1 2 解析:∵p:|4x-3|≤1,∴p: ≤x≤1,綈 p:x>1 或 x< ;∵q:x -(2a+1)x+a(a+ 2 2 1)≤0,∴q:a≤x≤a+1,綈 q:x>a+1 或 x<a. 1 ? ?a≤ 又∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,即綈 q?綈 p,而綈 p?/ 綈 q,∴? 2 ? ?a+1≥1 ?

1 0≤a≤ .故选 A. 2 答案:A 10. (2009·衡阳联考)已知命题 p: 函数 y=loga(ax+2a)(a>0 且 a≠1)的图象必过定点(- 1,1);命题 q:函数 y= f(x+1)的图象关于原点对称,则 y=f(x)的图象关于点 (-1,0)对称.则 ( ) A.“p 且 q”为真 B.“p 或 q”为假 C.p 假 q 真 D.p 真 q 假 解析:命题 p 为真命题,命题 q 中 f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴q 为假命题. 答案:D ? ? ? 3? 5 11.(2009·长望浏宁模拟)设数集 M=?x|m≤x≤m+ ?,N=?x|n- ≤x≤n?,且 M、N 4 12 ? ? ? ? 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是 ( ) 5 3 A. B. 12 4
-2-

C.

1 12

D.

1 6

3 5 1 解析:M∩N 的“长度”最小值为 + -1= ,故选 D. 4 12 6 答案:D 12.(2009·成都二诊)已知全集 U,集合 A、 B 为 U 的非空真子集,若“x∈A”与“x∈B” 是一对互斥事件, 则称 A 与 B 为一组 U(A, B). 规定: U(A, B)≠U(B, A). 当集合 U={1,2,3,4,5} 时,所有的 U(A,B)的组数是( ) A.70 C.180 B.30 D.150

图2 解析: 用韦恩图, 5 个元素填入中间三部分, 扣掉 A, B 为空集, 如图 2, U(A, B)=35-2·25 +1=180. 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.设集合 U ={1,2,3,4,5},A= {2,4},B= {3,4,5},C= {3,4},则 (A∪B)∩(? UC)= __________. 解析:A∪B={2,3,4,5},?UC={1,2,5},故(A∪B)∩?UC={2,5}. 答案:{2,5} 2 14.已知集合 A={x|x +x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B?A, 则 m 的值为__________. 2 解析:由题意知,A={x|x +x-6=0}={-3,2}, 因为 B?A,所以若 mx+1=0 有解,则解为-3 或 2, 1 当 x=-3 时,m= ; 3 1 当 x=2 时,m=- . 2 若 mx+1=0 无解,则 m=0. 1 1 故 m 的值为 或- 或 0. 3 2 1 1 答案: 或- 或 0 3 2 15.(2009·衡阳联考)对于两个非空集合 M、P,定义运算:M?P={x|x∈M,x∈P,且 x? M∩P}.已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={y|y=x2-2x+3,x∈A},则 A?B=__________. 解析:依题意易得 A={1,2},B={2,3},A?B={1,3}. 答案:{1,3} 16.(2009·吉林检测)给出下面四个命题: ①m=3 是直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直的充要条件; ②b= ac是 a,b,c 三个数成等比数列的既不充分又不必要条件; ③函数 y=f(x)存在反函数是 y=f(x)为单调函数的充要条件; ④两个向量相等是这两个向量共线的充分不必要条件. 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 解析:①:(m+3)x+my-2=0 与 mx-6y+5=0 垂直 ?(m+3)m-6m=0 ?m=0 或 m=3,∴①错. ③:存在反函数但不一定单调
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1 例如:y= ,所以③错.

x

答案:②④ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最 后结果不得分) 17. (12 分)(1)写出命题“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否命题及命题的否定 形式(非 p 形式); 2 2 (2)求使函数 y=(a +4a-5)x -4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴上方的充分必要条件. 解:(1)命题的否定:末位数字是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除.否命题:末位数字不是 0 也不是 5 的整数,不能被 5 整除. 2 ?a +4a-5>0, ? (2)由? 2 2 ? ?Δ =16(a-1) -4×(a +4a-5)×3<0. 解得 1<a<19, 由 a=1 时符合条件,所以 1≤a<19 为所求. 18.(12 分)解下列含绝对值的不等式: (1)1<|x-2|≤3; (2)|x+2|≥|x|; (3)|x+2|>|x-1|-3. 解:(1)对于此双向不等式可化为 ?|x-2|>1 ?x>3或x<1 ? ? ? ?? ?|x-2|≤3 ?-1≤x≤5 ? ? ∴原不等式的解集为{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}. 2 2 (2)将不等式两边平方得(x+2) ≥x ,∴x≥-1, 即原不等式的解集为{x|x≥-1}. (3)分别令 x+2=0 及 x-1=0 得 x=-2 与 x=1. 当 x∈(-∞,-2)时,有-(x+2)>-(x-1)-3,无解; 当 x∈[-2,1)时,有 x+2>-(x-1)-3, 解得-2<x<1; 当 x∈[1,+∞)时,有 x+2>x-1-3,解得 x≥1. 综上知:原不等式的解集为{x|x>-2}. 2 ? ?x -4x+3<0 2 ? 19.(12 分)已知不等式组 2 的解集是不等式 2x -9x+a<0 的解集的子集, ?x -6x+8<0 ? 求实数 a 的取值范围. 2 ? ?x -4x+3<0 解:解不等式组? 2 ?{x|2<x<3}. ?x -6x+8<0 ? 由于{x|2<x<3}是 2x -9x+a<0 的解集的子集,等价不等式 2x -9x+a<0 在(2,3)上恒成 立, ? ?f(2)≤0 2 令 f(x)=2x -9x+a,则? ?a∈(-∞,9]. ?f(3)≤0 ? ∴实数 a 的取值范围为(-∞,9]. 2 2 20.(12 分)已知命题 p:x +mx+1=0 有两个不相等的负数根;命题 q:方程 4x +4(m -2)x+1=0 无实根,若“p 或 q”为真,而“p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. Δ =m -4>0, ? ? 解:命题 p 为真时,?x1+x2=-m<0, ? ?x1x2=1>0,
2 2 2 2

所以 m>2.

命题 q 为真时,Δ =[4(m-2)] -4×4×1<0,即 1<m<3.

-4-

又∵“p 或 q”为真“p 且 q”为假,∴p,q 必为一真一假, 若 p 真 q 假,则 m≥3, 若 p 假 q 真,则 1<m≤2. ∴实数 m 的取值范围为(1,2]∪[3,+∞). 21.(12 分)设函数 f(x)=-4x+b,且不等式|f(x)|<c 的解集为{x|-1<x<2}. (1)求 b 的值; (2)解关于 x 的不等式(4x+m)f(x)>0(m∈R). b-c b+c 解:(1)由|-4x+b|<c 得 <x< , 4 4 |f(x)|<c?{x|-1<x<2},

b-c ? ? 4 =-1 则? b+c ? ? 4 =2

,∴?

? ?b=2, ?c=6 ?

,故 b=2.

(2)f(x)=-4x+2,则(4x+m)(2-4x)>0, 即(4x+m)(4x-2)<0. m 1 1 m 当- > ,即 m<-2 时, <x<- ; 4 2 2 4 m 1 当- = ,即 m=-2 时,不等式无解; 4 2 m 1 m 1 当- < ,即 m>-2 时,- <x< . 4 2 4 2 1 m 综上,当 m<-2 时,解集为( ,- ); 2 4 当 m=-2 时,解集为 ?; m 1 当 m>-2 时,解集为(- , ). 4 2 k(1-x) 22.(14 分)已知关于 x 的不等式 +1<0 的解集为空集,求实数 k 的取值或取值范 x-2 围. (1-k)x+k-2 解:原不等式化为 <0. x-2 (1)若 1-k>0 即 k<1 时, 2-k 不等式等价于(x- )(x-2)<0. 1-k 2-k ①若 k<0,不等式的解集为{x| <x<2}. 1-k ②若 k=0,不等式的解集为 ? 2-k ③若 0<k<1,不等式的解集为{x|2<x< }. 1-k (2)若 1-k<0 即 k>1 时, 2-k 不等式等价于(x- )(x-2)>0. 1-k 2-k 此时恒有 2> , 1-k 2-k 所以不等式解集为{x|x< ,或 x>2}. 1-k 综上可知当且仅当 k=0 时,不等式的解集为空集.

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