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上海市闸北区2009届高三模拟考试卷数学(理科)试题


题 得

号 分

一 1-10

二 11-13 14 15

三 16 17 18





上海市闸北区 2009 届高三模拟考试卷 数学(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

得分<

br />
评卷人

一.填空题 (本大题满分 50 分)本大题共有 10 题,只要求直接填 填空题 本大题满分 写结果, 写结果, 否则一律得零分. 每题填对得 5 分,否则一律得零分

1.函数 y =

log 0.5 x 的定义域为___________.
1 ,则 tan 2α 的值为 2 2 1 5 8


2.若 cot α =

3.增广矩阵为       的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为
4.若 ( 2 x 1) 9 展开式的第 9 项的值为 12,则 lim( x + x + K + x ) =
2 n n →∞

1 3





5.已知向量 a 和 b 的夹角为 120° , | a |= 2 ,且 ( 2a + b) ⊥ a ,则 | b |= ________. 6.在极坐标系中,定点 A ( 3 , 点 B 的极坐标是

π
2

) ,点 B 在曲线 ρ = 2 cos θ 上运动,当线段 AB 最短时,


x2 y 2 7.设圆 C 与双曲线 = 1 的渐近线相切,且圆心在双曲线 9 16
的右焦点,则圆 C 的标准方程为 8.方程 | sin . .

πx
2

|= x 1 的实数解的个数为

9.如图 1 是一个跨度和高都为 2 米的半椭圆形拱门,则能通过该拱门 的正方形玻璃板(厚度不计)的面积范围用开区间表示是__________. 10.设 a , b ∈ R ,且 a 2 ab + b 2 = a + b ,则 a + b 的取值范围为
得分 评卷人 图1



二.选择题(本大题满分 15 分)本大题共有 3 题,每题都给出代号 选择题( 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的, 为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必 须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 不选、 须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 5 分,不选、 选错一 选错一 律 得 零 分 .

11. 已知复数 z = 1 i , 则 A. 2i

z 2 2z = …………………………………………………… ( z 1



B. 2i C. 2 D. 2 ur 12.过点 A(1,2) ,且与向量 m = (4, 3) 平行的直线的方程是…………………………( A. 4 x 3 y 10 = 0 D. 3 x 4 y + 5 = 0 B. 4 x + 3 y + 10 = 0 C. 3 x + 4 y + 5 = 0

)

13. ABC 中, a 、 、 分别是 ∠A 、 B 、 C 所对的边长, 在 设 b c ∠ ∠ 且满足条件 c = 2, b = 2a , 则 ABC 面 积 的 最 大 值 为 ………………………………………………………………… ( ) A. 1 B.

3 2

C.

4 3

D. 2

解答下列各题必须写出必要的步骤. 三.解答题 (本大题满分 85 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 本大题满分 本大题共有
得分 评卷人

(本小题满分 14. 本小题满分 14 分) ( 如图 2,在四棱锥 O ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正

方形, OA ⊥ 底面ABCD , OA = 2 , M 为 OA 的中点. (Ⅰ)求异面直线 OC 与 MD 所成角的大小; O (Ⅱ)求点 M 到平面 OCD 的距离.

M

A B
得分 评卷人

D C

(本小题满分 15. 本小题满分 15 分) (本小 一种填数字彩票 2 元一张,购买者在卡上依次填上 0~9 中的两个 数字(允许重复) .中奖规则如下: 如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等,则中一等奖 10 元; 如果购买者所填的两个数字中, 只有第二个数字与开奖的第二个数字相等, 则中二等奖 2 元; 其他情况均无奖金. (Ⅰ)小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票,求他俩都中一等奖的概率; (Ⅱ)设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件 A, “购买一张这种彩票中二等奖”为事件 B,请指出事件 A U B 的含义,并求事件 A U B 发生的概率; (Ⅲ)设购买一张这种彩票的收益为随机变量 ξ ,求 ξ 的数学期望.

得分

评卷人

(本小题满分 16. 本小题满分 16 分) (本小题 设 f ( x) =

a 2x ,其中实常数 a ≥ 1 . 1+ 2x

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的定义域和值域; (Ⅱ)试研究函数 f (x ) 的基本性质,并证明你的结论. 17. 本小题满分 20 分) (本小题满分 . ( 得分 评卷人 一项的规则排成如下数表:

将数列 {an } 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多

a1 a4 a8
……

a2 a5 a9

a3 a6 a10 a7

a11

a12

记表中的第一列数 a1 , a 4 , a8 ,… ,构成数列 {bn } . (Ⅰ)设 b8 = a m ,求 m 的值; (Ⅱ)若 b1 = 1 ,对于任何 n ∈ N ,都有 bn > 0 ,且 (n + 1)bn +1 nbn + bn +1bn = 0 .求数
2 2


列 {bn } 的通项公式;

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 {bn } ,若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为

q (q > 0) 的等比数列,且 a 66 =

2 ,求上表中第 k ( k ∈ N )行所有项的和 S (k ) . 5

得分

评卷人

(本小题满分 18. 本小题满分 20 分) ( 和平面解析几何的观点相同, 在空间中, 空间曲面可以看作是适合某

种条件的动点的轨迹.一般来说,在空间直角坐标系 O xyz 中,空间曲面的方程是一个三 元方程 F ( x, y , z ) = 0 . (Ⅰ)在直角坐标系 O xyz 中,求到定点 M 0 (0,2,1) 的距离为 3 的动点 P 的轨迹(球面) 方程; (Ⅱ)如图 3,设空间有一定点 F 到一定平面 α 的距离为 常数 p > 0 ,即 | FM |= p ,定义曲面 C 为到定点 F 与到 定平面 α 的距离相等( | PF |=| PN | )的动点 P 的轨迹, 试建立适当的空间直角坐标系 O xyz ,求曲面 C 的方程;
图3

(Ⅲ)请类比平面解析几何中对二次曲线的研究,讨论曲面 C 的几何性质.并在图 4 中通

过画出曲面 C 与各坐标平面的交线(如果存在)或与坐标平面平行的平面的交线(如果必 要)表示曲面 C 的大致图形.画交线时,请用虚线表示被曲面 C 自身遮挡部分.

闸北区 09 届高三数学(理)学科模拟考试 参考答案与评分标准
一.填空题: 填空题: 填空题 1. (0,1] ; 6. (1, 2.

π
3

4 ; 3

3. (3,1)

4.2; 9. (0,

5. 8 ; 10.[0,4] .

);

7. ( x 5) 2 + y 2 = 16 ; 8.3;

16 ); 3

选择题: 12.C; 13.C. 二.选择题:11.B ; 三.解答题: 解答题: 14.[解](Ⅰ)方法一(综合法)设线段 AC 的中点为 E ,连接 ME , 方法一( .解 方法一 综合法) 则 ∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角) ………………………………..1 ) 分 由已知,可得 DE =
2 2

2 , EM = 3 , MD = 5 ,
……………………………………………………………….1

Q ( 2 ) + ( 3) = ( 5 ) 2 ∴ DEM 为直角三角形


∴ tan ∠EMD =


DE = EM

2 3



……………………………………………………………….4

∴ ∠EMD = arctan

3 2 . 3 3 2 . 3
…………………………..1

所以,异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 arctan 分 方法二(向量法 向量法) 方法二 向量法 以 AB,AD,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系,

则 O (0,0,2), C ( 2,2,0), M (0,0,1), D (0,2,0) , ……………………………………………………2 分

OC = (2,2,2)



MD = (0,2,1) , ………………………………………………………………………………..1

分 设异面直线 OC 与 MD 所成角为 θ ,

cos θ =


| OC MD | | OC | | MD |

=

15 .……………………………….. …………………………2 5

∴OC 与 MD 所成角的大小为 arccos

15 .…………………………………………………1 5

分 (Ⅱ)方法一(综合法) 方法一( 方法一 综合法) 作 MF ⊥ OD 于 F , ……………………………………………………………………………1 分 Q OA ⊥ CD 且 AD ⊥ CD ,∴ CD ⊥ 平面 ADO

∴ CD ⊥ MF ∴MF ⊥ 平面 OCD ………………………………………………………………………………4
分 所以,点 M 到平面 OCD 的距离 ME = 分 方法二(向量法 向量法) 方法二 向量法 设平面 OCD 的一个法向量 n = ( x, y, z ) ,

2 …………………………………………………2 2

DC n = 0 2 x = 0 …………………………………………………………………2 DO n = 0 2 y + 2 z = 0


∴ x = 0, z = y .

n = (0,1,1) ……………………………………………………………………………………….2
分 设 M 到平面 OCD 的距离为 h 则

h=

1 |n|

| n DM |=

2 .……………………………………………………………………3 分 2

“小辉中一等奖”为事件 B2 ,事件 B1 与 15.[解](Ⅰ)设“小明中一等奖”为事件 B1 , .解 事件 B2 相互独立, B1 B2 他们俩都中一等奖,则

P( B1 B2 ) = P( B1 ) P( B2 ) = 0.01 × 0.01 = 0.0001
所以,购买两张这种彩票都中一等奖的概率为 0.0001 . ………………………………..4 分

(Ⅱ)事件 A U B 的含义是“买这种彩票中奖” ,或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1 分 显然,事件 A 与事件 B 互斥, 所以,P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) =

1 1 9 1 × + × = 0.1 ………………………………..3 10 10 10 10

分 故购买一张这种彩票能中奖的概率为 0.1 .……………………………………………………..1 分 (Ⅲ)对应不中奖、中二等奖、中一等奖, ξ 的分布列如下:

ξ
P
.3 分

2 0.9

0 0.09

8 0.01

…………………………………………..…………………………………………………

Eξ = 2 × 0.9 + 0 × 0.09 + 8 × 0.01 = 1.72
购 买 一 张 这 种 彩 票 的 期 望 元.…………………………………………………..3 分
x











1.72

16.[解] (Ⅰ)由于 1 + 2 > 0 恒成立,所以函数 f (x ) 的定义域为 R ………………..2 分 .解

f ( x) =

1 2x + 2 a +1 , = 1 + x x 1+ 2 2 +1

(1)当 a = 1 时,函数 f ( x ) ≡ 1 ,函数 f ( x ) 的值域为 {1} …………………………1 分 (2)当 a > 1 时,因为 2 > 0 ,所以 2 + 1 > 1 ,
x x

0<

a +1 < a + 1 ,从而 1 < f ( x) < a ,………………………………………………..3 分 2x +1
……………………………………………………….1 分

所以函数 f ( x ) 的值域为 (1, a ) .

(Ⅱ)假设函数 f ( x ) 是奇函数,则,对于任意的 x ∈ R ,有 f ( x) = f ( x ) 成立, 即

a 2x a 2x = (a 1)(2 x + 1) = 0 a = 1 1 + 2x 1+ 2x

∴ 当 a = 1 时,函数 f ( x) 是奇函数. …………………………………………………….2 分
当 a = 1 时,函数 f ( x ) ≡ 1 是偶函数. ………………………………………………..2 分 当 a > 1 ,且 a ≠ 1 时,函数 f ( x ) 是非奇非偶函数. ………………………………….1 分

Q 对于任意的 x1 , x 2 ∈ R ,且 x1 < x 2 ,

f ( x1 ) f ( x 2 ) =

(a + 1)2 x1 (2 x2 x1 1) ≥ 0 ………………………………………..3 分 (1 + 2 x1 )(1 + 2 x2 )
………………………………………..1 分

所以,当 a = 1 时,函数 f ( x ) 是常函数

∴ 当 a > 1 时,函数 f ( x) 是递减函数. ………………………………………..1 分 17.[解](Ⅰ)由题意, m = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 = 43 ……………………………6 分 .解

(Ⅱ)解法 1:由 b1 = 1 且 (n + 1)bn +1 nbn + bn +1bn = 0 知
2 2

1 2 1 2b32 + b3 1 = 0 ,Q b3 > 0 ,∴b3 = 2 1 因此,可猜测 bn = ( n ∈ N ) ………………………………………………………4 n
2 2b2 + b2 1 = 0 ,Q b2 > 0 ,∴b2 =

分 将 bn = 左端 =

1 1 , bn +1 = 代入原式左端得 n n +1 1 1 1 + =0 n + 1 n n(n + 1) 1 为数列的通项.……………………………………………………….3 n

即原式成立,故 bn = 分

用数学归纳法证明得 3 分 解法 2:由 (n + 1)bn +1 nbn + bn +1bn = 0 , bn > 0
2 2

令t =

a n+1 得 t > 0 ,且 ( n + 1)t 2 + t n = 0 an

即 (t + 1)[(n + 1)t n] = 0 ,……… ……………………………………………………………..4 分 所以

bn +1 n = bn n +1 b b2 1 b3 2 n 1 = , = ,., n = .. b1 2 b2 3 bn 1 n
各 式 相 乘 得

因此 将

bn =

1 ………………………………………………………………………………3 分 n

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q > 0 .因为 3 + 4 + 5 + + 11 = 63 , 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 {bn } 的前 63 项, a 66 在表中第 10 行第三列, 故 ………2 分 因此 a 66 = b10 q =
2

2 1 . b10 = 又 , 所以 q = 2 . …………………………………..3 5 10

分 则

S (k ) =

bk (1 q k + 2 ) 1 k + 2 = (2 1) . k ∈ N …………………………………………2 分 1 q k

18. 解] Ⅰ) . ( [解 动点 P 的轨迹是以 M 0 为原点, 3 为半径的球面 ……………………………1 以 分 并设动点 P 的坐标为 ( x, y , z ) ,动点 P 满足 | PM 0 |= 3 . 则
2 2


2











x + ( y 2) + ( z + 1) = 9 . …………………………………………………4 分
(Ⅱ)设动点 P ( x, y , z ) ,则 | PF |=| PN | 所 以

x2 + y 2 + (z


p 2 p ) =| z + | 2 2

……………………………………………………………5

整理得曲面 C 的方程:x 2 + y 2 = 2 pz 分

(*)

…………………………………………2

若坐标系原点建在平面 α 上的点 M 处,可得曲面 C 的方程: x + y = 2 p ( z
2 2

p ) 同样得 2

分. (Ⅲ) (1)对称性:由于 P ( x, y , z ) 点关于 xOz 平面的对称点 ( x, y , z ) 、关于 yOz 平面的 对 称 点 ( x, y , z ) 均 满 足 方 程 ( * ) 所 以 曲 面 C 关 于 xOz 平 面 与 yOz 平 面 对 , 称. …………………2 分 又由于 P ( x, y , z ) 点关于 z 轴的对称点 ( x, y , z ) 满足方程 (*) 所以曲面 C 关于 z 轴对称. , (2) 范围:由于 x 2 + y 2 ≥ 0 ,所以,z ≥ 0 , 即曲面 C 在 xOy 平面上方. ………………2 分 (3)顶点:令 z = 0 ,得 x = y = 0 ,即坐标原点在曲面 C 上,O 点是曲面 C 的顶点. …2 分

……………………… …2 分


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