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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 11-3推理与证明 新人教A版


11-3 推理与证明
基础巩固强化 1.(文)(2012·江西理,6)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,
2 2 3 3 4 4

a5+b5=11,?,则 a10+b10=(
A.28 C.123 [答案] C

) B.76 D.199

[解析] 本题考查了归纳推理能力,∵1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18 =29,?,47+76=123,故选 C. [点评] 解答本题时, 可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系, 从而无从下手, 导致无法解题或错选,要注意训练观察分析、归纳概括能力. (理)已知函数 f(x)=sinx+e +x
x
2013

,令 f1(x)=f ′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x)= ) B.cosx+e
x

f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),则 f2014(x)=(
A.sinx+e
x

C.-sinx+e [答案] C

x

D.-cosx+e

x

[解析] f1(x)=f ′(x)=cosx+e +2013x
x

x

2012



f2(x)=f1′(x)=-sinx+e +2013×2012x , f3(x)=f2′(x)=-cosx+ex+2013×2012×2011x2010, f4(x)=f3′(x)=sinx+ex+2013×2012×2011×2010x2009,
由此可以看出,该函数前 2 项的和成周期性变化,周期 T=4; 而 f2014(x)=f ′2013(x),此时其最后一项的导数将变为 0. 故求 f2014(x)的值, 只需研究该函数前 2 项和的变化规律即可, 于是,2014(x)=f(2+4×503)(x) f =-sinx+e . 2.(文)(2011·惠州模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,
2

2011

x

y2)、P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有(
A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1| +|FP2| =|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2| =|FP1|·|FP3| [答案] C [解析]
2 2 2 2

)

1

如图所示,y =2px 的准线为 x=- ,P1A⊥l,P2B⊥l,P3C⊥l. 2 由抛物线定义知:|P1F|=|P1A|=x1+ ,|P2F|=|P2B|=x2+ , 2 2 |P3F|=|P3C|=x3+ , 2 ∴2|P2F|=2(x2+ )=2x2+p, 2 |P1F|+|P3F|=(x1+ )+(x3+ )=x1+x3+p. 2 2 又∵2x2=x1+x3, ∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|.

2

p

p

p

p

p

p

p

?1? (理)(2011·山东实验中学期末)具有性质:f? ?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒 x ? ?

?x,? 0<x<1? ?0,? x=1? 1 1 负”变换的函数,下列函数:①y=x- ,②y=x+ ,③y=? x x 1 ?-x,? x>1? ?
“倒负”变换的函数是( A.①② C.①③ [答案] C 1 [解析] ①对于函数 f(x)=x- , ) B.②③ D.只有①

中满足

x

?1? 1 ? 1? ∵f? ?= -x=-?x- ?=-f(x),∴①是“倒负”变换的函数,排除 B; x x ? ? x ? ?
1 ?1? 1 ②对于函数 f(x)=x+ 有 f? ?= +x=f(x)不满足“倒负”变换,排除 A;

x

?x? x

1 ③,当 0<x<1 时, >1,

x

2

1 ?1? ∵f(x)=x,∴f? ?=- =-x=-f(x); 1 ?x?

x
1 1 当 x>1 时,0< <1,∵f(x)=- ,

x

x

1 ?1? 1 ∴f? ?= =-f(x);当 x=1 时, =1,

?x? x

x

?1? ∵f(x)=0,∴f? ?=f(1)=0=-f(x), ?x?
∴③是满足“倒负”变换的函数,故选 C. 3.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB=a,CD=b(a>b).若 EF∥AB,EF 到 CD 与 AB 的 距离之比为 m?n,则可推算出:EF=

ma+nb ,试用类比的方法,推想出下述问题的结果.在 m+n

上面的梯形 ABCD 中,延长梯形两腰 AD、BC 相交于 O 点,设△OAB、△OCD 的面积分别为 S1、

S2, ∥AB, EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m?n, OEF 的面积 S0 与 S1、 2 的关系是( EF 且 则△ S

)

A.S0=

mS1+nS2 m+ n m S1+n S2 m+n

B.S0=

nS1+mS2 m+n n S1+m S2 m+n

C. S0=

D. S0=

[答案] C [解析] 根据面积比等于相似比的平方求解. 4.(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10?这样的数 称为“三角形数”,而把 1,4,9,16?这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现,任何 一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和, 下列等式中, 符合这 一规律的表达式是( )

3

①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36. A.①④ [答案] C [解析] 这些“三角形数”依次是 1,3,6,10,15,21,28,36,45,?且“正方形数”是 B.②⑤ C.③⑤ D.②③

“三角形数”中相邻两数之和,很容易得到:15+21=36,28+36=64,只有③⑤是对的. 5.设⊕是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 a、b?A ,有 a⊕b?A,则 称 A 对运算⊕封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的 是( ) A.自然数集 C.有理数集 [答案] C B.整数集 D.无理数集

a 1 [解析] 令 a=1,b=2, = ,可排除 A、B. b 2
令 a= 2,b=3 2, =3,可排除 D,故选 C. [点评] 这是一个信息给予题,用筛选法(即排除法解)更加简便. 6.规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进 3 步, 然后再退 2 步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以 1 步的距离为 1 个单位长度移动,令 P(n)表示第 ns 时机器狗所在的位置坐标,且 P(0)=0,则下列结论 中正确的是( ) B.P(2013)=404 D.P(2015)=405

b a

A.P(2012)=404 C.P(2014)=405 [答案] A

[解析] 显然每 5s 前进一个单位,且 P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)= 1, ∴P(2012)=P(5×402+2)=402+2=404,

P(2013)=405,P(2014)=404,P(2015)=403,故选 A.
7.已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),(1,5),(2,4),(3,3),?,按以上构造规律,第 2014 个数对是________.
4

[答案] (61,3) [解析] 所给各数对依次为对整数 2,3,4,5,?的分解,且是第一个数从小到大依次分 解, 的分解有一个(1,1),3 的分解有两个(1,2), 2 (2,1),4 的分解有(1,3), (2,2),(3,1),

n(n≥2,n?N)的分解有 n-1 个,
由 ?

n-1? [1+? n-1? ]
2

≤2014 得,n≤63,

? 63-1? ×63 ∵n=63 时, =1953, 故第 2014 个数对为 64 的分解第 61 对, 由(1,63), 2 (2,62),(3,61),(4,60),?知,第 61 对为(61,3). 8. (2011·湘潭五模)已知 若 6+ =6 [答案] 41 [解析] 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为 当 n=6 时 a=6,t=35,a+t=41. 9.(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1+a2=1,那么
2 2

2 2+ =2 3

2 , 3

3 3+ =3 8

3 , 8

4 4+ =4 15

4 , ?, 15

a t

a ,a, 均为正实数), ( t 类比以上等式, 可推测 a, 的值, a+t=________. t 则 t

n n+ 2 =n n -1

n
2

n -1

,所以

a1+a2≤ 2.证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实
数 x,恒有 f(x)≥0,所以 Δ ≤0,从而得 4(a1+a2) -8≤0,所以 a1+a2≤ 2.类比上述结 论,若 n 个正实数满足 a1+a2+?+an=1,你能得到的结论为________. [答案] a1+a2+?+an≤ n(n?N ) [解析] 构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) =nx -2(a1+a2+?+an)x +1, ∵f(x)≥0 对任意实数 x 都成立, ∴Δ =4(a1+a2+?+an) -4n≤0, ∵a1,a2,?,an 都是正数,∴a1+a2+?+an≤ n. 10.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? [证明] (1)证法一(反证法):若{Sn}是等比数列,则 S2=S1S3,即
2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2

a2(1+q)2=a1·a1(1+q+q2). 1
∵a1≠0,∴(1+q) =1+q+q ,∴q=0,与 q≠0 矛盾,故{Sn}不是等比数列. 证法二:只需证明 SnSn+2≠Sn+1. ∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,
5
2 2 2

∴SnSn+2-Sn+1=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0. 故{Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,{Sn}是等差数列.当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则由 S1,S2,S3 成 等差数列得,2S2=S1+S3. ∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q ).由于 a1≠0, ∴2(1+q)=2+q+q ,q=q , ∵q≠1,∴q=0,与 q≠0 矛盾. 能力拓展提升 11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口 A、B、 ︵ ︵ ︵
2 2 2

2

C 的机动车辆数如图所示,图中 x1、x2、x3 分别表示该时段单位时间通过路段AB、BC、CA的
机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 ( )

A.x1>x2>x3 C.x2>x3>x1 [答案] C [解析] ∵x1=50+(x3-55)=x3-5? x3>x1,

B.x1>x3>x2 D.x3>x2>x1

x2=30+(x1-20)=x1+10? x2>x1, x3=30+(x2-35)=x2-5? x2>x3,
∴x2>x3>x1,∴选 C. [点评] 抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键, 考查阅 读理解能力. 12.(文)(2011·泉州模拟)考察下列一组不等式:2 +5 >2 ·5+2·5 2 +5 >2 ·5+
3 3 2 2, 4 4 3

6

2·5 2

3,

5 2

+5

5 2

>2 ·5

2

1 2

+2

1 2

·5 , ?.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加

2

以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为 ________________________. [答案] a
m+n

+b

m+n

>a b +a b (a,b>0,a≠b,m,n>0) 5 2 5 2 1 2

m n

n m

[解析] 由“2 +5 >2 ·5+2·5 ”, +5 >2 ·5+2·5 ”, “2 “2 1 2

3

3

2

2

4

4

3

3

+5

>2 ·5

2

+2

·5”,可得推广形式的最基本的印象:应具有“□ +□ >□ ·□ +□ ·□ ”













的形式. 再分析底数间的关系, 可得较细致的印象: 应具有“a +b >a ·b +a ·b ”的形式. 再分析指数间的关系,可得准确的推广形式:a
m+n
□ □ □ □ □ □

+b

m+n

>a b +a b (a,b>0,a≠b,m,

m n

n m

n>0).
3 2 2 2 2 ( 理 ) 观 察 等 式: sin 30° + cos 60° +sin30°cos60° = , sin 20° +cos 50° + 4 3 3 2 2 sin20°cos50°= 和 sin 15°+cos 45°+sin15°cos45°= ,?,由此得出以下推广命 4 4 题,则推广不正确的是( )

3 2 2 A.sin α +cos β +sinα cosβ = 4 B.sin (α -30°)+cos α +sin(α -30°)cosα =
2 2

3 4

3 2 2 C.sin (α -15°)+cos (α +15°)+sin(α -15°)cos(α +15°)= 4 3 2 2 D.sin α +cos (α +30°)+sinα cos(α +30°)= 4 [答案] A [解析] 观察已知等式不难发现, 60°-30°=50°-20°=45°-15°=30°, 推广 后的命题应具备此关系,但 A 中 α 与 β 无联系,从而推断错误的命题为 A.选 A. 13.(文)(2011·江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论:“在三边长都相等的△ABC 中, 若 D 是 BC 的中点,G 是△ABC 外接圆的圆心,则 =2”.若把该结论推广到空间,则有结 论:“在六条棱长都相等的四面体 ABCD 中,若 M 是△BCD 的三边中线的交点,O 为四面体

AG GD

AO ABCD 外接球的球心,则 =________.” OM
[答案] 3
7

[解析]

如图,易知球心 O 在线段 AM 上,不妨设四面体 ABCD 的边长为 1,外接球的半径为 R, 则 BM= 3 2 3 × = , 2 3 3 1 -?
2

AM= R=
?

3 ? 3
2

2



6 , 3 3 ? 3
2

6 -R? 3 6 . 4 6 4

+?



解得 R=

于是, =

AO OM

=3. 6 6 - 3 4

(理)如图所示, 面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4), 此四 边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 ? (ihi) 1 2 3 4 i=1 2S = .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥

a1 a2 a3 a4

4

k

内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 ? (iHi)的值 1 2 3 4 i=1 为( )

S1 S2 S3 S4

4

8

A. C.

4V

k
2V

B. D.

3V

k V k

k

[答案] B [解析] 在平面四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形 面积公式,得

S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
1 k4 = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4)= ? (ihi). 2 2i=1
4 2S 所以 ? (ihi)= . i=1

1 2

k

类似地,连接 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有

V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)
1 = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4) 3 = (H1+2H2+3H3+4H4)= ? (iHi), 3 3i=1
4 3V ∴ ? (iHi)= . i=1

1 3

k

k

4

k

[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理, 是两类相类似的对象之间的推理, 类比的关 键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来, 也就是要把相关对象在某些 方面一致性的含糊认识说清楚. 类比推理能够为我们提供发现的思路和方向, 但类比推理的
9

结论不一定正确. 14. 已知命题: 若数列{an}为等差数列, am=a, n=b(m≠n, 、 ?N ), am+n= 且 a m n 则
* * *

bn-am ; n- m

现已知等比数列{bn}(n?N ),bm=a,bn=b(m≠n,m、n?N ),先类比上述结论,得出在等 比数列{bn}中 bn+m 的表达式,再证明你所得出的结论. [解析] 等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 b 和 a ,等差数列中的 bn-am 可以类比等比数列中的 m,数列中的
n m

bn a

n-m bn bn-am 可以类比等比数列中的 , n-m am

故 bm+n=

n-m bn . am
n-1

证明如下:设 bn=b1q

,则

bn+m=b1qn+m-1,
∵bm=a,bn=b,∴ m= m=

bn bn ? b1qn-1? n a bm ? b1qm-1?

n m

=b1 ·q

n-m

n(n-1)-m(m-1)

=b1 ·q

n-m

(n-m)(n+m-1)





n-m bn n+m-1 =b1q =bm+n. am

15.(2011·上海模拟)冬天,洁白的雪花飘落时非常漂亮.为研究雪花的形状,1904 年,瑞典数学家科克(Koch Heige Von)把雪花理想化,得到了雪花曲线,也叫科克曲线.它 的形成过程如下: (ⅰ)将正三角形(图①)的每边三等分, 并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三 角形,然后去掉底边,得到图②; (ⅱ)将图②的每三边等分,重复上述作图方法,得到图③; (ⅲ)再按上述方法无限多次继续作下去,所得到的曲线就是雪花曲线.

将图①、图②、图③??中的图形依次记作 M1,M2,?,Mn,?,设 M1 的边长为 1. 记 Mn 的边数为 an,边长 bn,周长为 Ln. (1)写出 a1,a2,a3;b1,b2,b3; (2)求 an,bn,Ln. [解析] (1)a1=3,a2=12,a3=48,
10

b1=1,b2= ,b3= .

1 3

1 9

1 (2)其边数与边长的变化规律是:一条边变为 4 条边,边长为原来的 ,如图 3 1 ∴an+1=4an,bn+1= bn. 3 又 a1=3,∴an=3×4 ∵b1=1,∴bn= 1 3
n-1 n-1



. 1 × n-1 3

∴Ln=an·bn=3×4

n-1

?4?n-1 =3·? ? . ?3?
16.已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b -ac< 3a. [证明] 要证 b -ac< 3a, 只需证 b -ac<3a , 因为 a+b+c=0, 只需证 b +a(a+b)<3a ,只需证 2a -ab-b >0, 只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0. 因为 a>b>c,所以 a-b>0,a-c>0, 所以(a-b)(a-c)>0,显然成立,故原不等式成立.
2 2 2 2 2 2 2 2

1.(2011·江西理,7)观察下列各式:5 =3125, 5 =15625, 5 =78125,?,则 5 末四位数字为( A.3125 C.0625 [答案] D [解析] 因为 5 =390625,5 =1953125.
8 9

5

6

7

2011



) B.5625 D.8125

11

所以 5 (n≥5)的末四位数字周期为 4, 2011=502×4+3,故 5
2011

n

的末四位数字为 8125,故选 D.

2.将正整数排成下表:

则在表中数字 2014 出现在( A.第 44 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 [答案] B

) B.第 45 行第 78 列 D.第 45 行第 77 列

[解析] 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为 1+3+5+?+(2n-1)=n .∵ 44 =1936,45 =2025,且 1936<2014,2025>2014,∴2014 在第 45 行. 2014-1936=78,∴2014 在第 78 列,选 B. 3.(2011·清远模拟)定义 A*B,B*C,C*D,D*A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4), 那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )
2 2

2

A.B*D,A*D C.B*C,A*D [答案] B

B.B*D,A*C D.C*D,A*D

[解析] 观察图形及对应运算分析可知,基本元素为 A→|,B→□,C→——,D→○, 从而可知图(A)对应 B*D,图 B 对应 A*C. 4.(2011·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定 规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2,ai?{0,1}(i=0,1,2),传输信息为

h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=
0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息 出错,则下列接收信息一定有误的是( A.11010 ) B.01100
12

C.10111 [答案] C

D.00011

[解析] 对于选项 C,传输信息是 10111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知

h0=0⊕1=1,而 h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是 10110.
5.n 个连续自然数按规律排成下表:

根据规律,从 2012 到 2014 的箭头方向依次为( A.↓→ C.↑→ [答案] A

)

B.→↑ D.→↓

[解析] 观察图例可见,位序相同的数字都是以 4 为公差的等差数列,故从 2012 至 2014,其位序应与 012 相同,故选 A. 6.(2012·陕西文,12)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个不等式为__________________. ... 1 1 1 1 1 11 [答案] 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 [解析] 本题考查了归纳的思想方法. 观察可以发现, n(n≥2)个不等式左端有 n+1 项, 第 分子为 1, 分母依次为 1 2 3 , ?, 1 1 1 2 (n+1) ; 右端分母为 n+1, 分子成等差数列, 因此第 n 个不等式为 1+ 2+ 2+?+ 2 3 ? n+1? < 2n+1 , n+1 所以第五个不等式为: 1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6
13
2 2, 2, 2

[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候,要养成检验意识. 7.(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式: ①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1; ②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1; ③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1. 一般地,若 tanα ,tanβ ,tanγ 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论 为__________________________. [答案] 当 α +β +γ =90°时,tanα tanβ +tanβ tanγ +tanγ tanα =1 [解析] 所给三角恒等式都为 tanα tanβ +tanβ tanγ +tanγ tanα =1 的结构形式, 且 α ,β ,γ 之间满足 α +β +γ =90°. 1 8.设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归 3+ 3 纳猜想一般性结论,并给出证明. 1 1 [解析] f(0)+f(1)= 0 + 1 3+ 3 3+ 3 = 1 3-1 3- 3 3 + = + = , 2 6 3 1+ 3 3+ 3 3 3 ,f(-2)+f(3)= , 3 3 1

同理可得:f(-1)+f(2)=

注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= 证明如下: 设 x1+x2=1, 3 . 3

f(x1)+f(x2)=
? ? 3x1+ 3? 3x1+ 3?

1 + 3x1+ 3 3x2+ 3 +? 3x2+ 3? ? 3x2+ 3?

1





3x1+3x2+2 3 3x1+x2+ 3? 3x1+3x2? +3 = 3 . 3



3x1+3x2+2 3 3? 3x1+3x2+2 3?

9.已知:a>0,b>0,a+b=1.求证: [证明] 要证

a+ +

1 2

b+ ≤2.

1 2

a+ +

1 2

b+ ≤2,

1 2

14

1 1 只需证 a+ +b+ +2 2 2 又 a + b =1,故只需证

1 ? a+ ? ? 2 ? 1 2

b+ ? ≤4,
1 2 1 2 1 2

1 2

a+ ? ? b+ ? ≤1,只需证(a+ )(b + )≤1,只需证

ab≤ .
1 ∵a>0,b>0,1=a+b≥2 ab,∴ab≤ ,故原不等式成立. 4 10.(2012·福建理,17)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解析] (1)选择(2)式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° 1 =1- sin30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 2 3 1 3 1 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 解法二: (1)同解法一. 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下:
15
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 4

sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) = 1-cos2α 1+cos? + 2 60°-2α ? -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2

2

2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4

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