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强化训练(立体几何)


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强化训练
例 1.已知平面??⊥平面??,??∩??=l,点 A∈??,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m ∥??,m∥??,给出下列四种位置:①AB∥m;②AC⊥m;③AB∥??;④AC⊥??, 上述四种位置关系中,不一定成立的结论的序号是______. 例 2 如

图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ABB1 是菱形, 且垂直于底面 ABC,∠A1AB =60°,E,F 分别是 AB1,BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 EF∥平面 A1ACC1; (Ⅱ)在线段 AB 上确定一点 G,使平面 EFG⊥平面 ABC,并证明.

例 3 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 BEC1⊥平面 ACC1A1; (Ⅱ)求证:AB1∥平面 BEC1.

例 4 在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已 知 BD=2AD=8, AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

例 5. 如图, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB =90°,BC∥AD,BC ?

1 1 AD , BE // AF , BE ? AF ,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 2 2

(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE.

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例1



例2

证明:(Ⅰ)连接 A1C,A1E. ∵侧面 A1ABB1 是菱形, E 是 AB1 的中点, ∴E 也是 A1B 的中点, 又 F 是 BC 的中点,∴EF∥A1C. ∵A1C ? 平面 A1ACC1,EF ? 平面 A1ACC1, ∴直线 EF∥平面 A1ACC1.

(2)解:当

BG 1 ? 时,平面 EFG⊥平面 ABC,证明如下: GA 3

连接 EG,FG. ∵侧面 A1ABB1 是菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1AB 是等边三角形. ∵E 是 A1B 的中点,

BG 1 ? ,∴EG⊥AB. GA 3

∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC,且平面 A1ABB1∩平面 ABC=AB, ∴EG⊥平面 ABC. 又 EG ? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 ABC. 例 3 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图,这种情况下对空间想象能力提 出了更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考. 证明:(Ⅰ)∵ABC-A1B1C1 是正三棱柱,∴AA1⊥平面 ABC, ∴BE⊥AA1. ∵△ABC 是正三角形,E 是 AC 的中点,∴BE⊥AC,∴BE⊥平面 ACC1A1,又 BE ? 平 面 BEC1, ∴平面 BEC1⊥平面 ACC1A1. (Ⅱ)证明:连接 B1C,设 BC1∩B1C=D. ∵BCC1B1 是矩形,D 是 B1C 的中点, ∴DE∥AB1. 又 DE ? 平面 BEC1,AB1 ? 平面 BEC1, ∴AB1∥平面 BEC1. 例 4【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从 M 是 PC 上的动点分析知,MB,MD 随点 M 的变动而运动,因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否垂直平面 PAD. 证明:(Ⅰ)在△ABD 中, 由于 AD=4,BD=8, AB ? 4 5 , 所以 AD2+BD2=AB2. 故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD ? 平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD, 又 BD ? 平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD. (Ⅱ)解:过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, 由于平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD.

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因此 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ?

3 ? 4 ? 2 3. 2

4?8 8 5 ,即为梯 ? 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24. 故 5 2

1 VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3. 3

例 5.(Ⅰ)由题意知,FG=GA,FH=HD,∴GH∥AD, GH ? 又 BC∥AD, BC ?

1 AD , 2

1 AD ,∴GH∥BC,GH=BC, 2

∴四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 由 BE∥AF, BF ?

1 AF ,G 是 FA 的中点, 2

得 BE∥FG,且 BE=FG.∴EF∥BG. 由(Ⅰ)知 BG∥CH,∴EF∥CH,故 EC,FH 共面,又点 D 在直线 FH 上, 所以 C,D,F,E 四点共面. (Ⅲ)连结 EG, 由 AB=BE,BE∥AG,BE=AG 及∠BAG=90°,知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA. 由题设知 FA,AD,AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE,∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面 EAD,∴BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,∴BG⊥平面 ADF. 由(Ⅰ)知 CH∥BG,∴CH⊥平面 ADE. 由(Ⅱ)知 F∈平面 CDE,故 CH ? 平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE.

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