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1.3 简单的逻辑联结词的应用


简单逻辑联结词 的应用

真 1.若“p∧q”为真,则 p,q 必为________ ;
假 . 则 p,q 必有一个为______ 若“p∧q”为假, 真 2.若“p∨q”为真,则 p,q 必有一个为________ ;

若“p ∨q”为假,则 p,q 必为__________ 假 .
相反 . 3.“ ? p ”

形式的命题与命题 p 真假________ 注意:“ ? p ”形式的命题叫命题的否定,注意将其与 否命题进行区别.

【要点】命题的否定与否命题的区别与联系. 【剖析】命题的否定与否命题是两个不同的概念, 它们之间的区别与联系如下: (1)区别.
①概念:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否 命题则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题;

②构成:对于“若 p,则 q”的形式的命题,其否定一般为
“若 p,则 ? q ”,也就是不改变条件,只否定结论;而其否命

题则为“若 ? q ”,既否定条件,又否定结论; ? p ,则

③真值:命题的否定的真值与原来的命题的真值相反, 而 否命题的真值与原命题无关.

(2)联系. 它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定
叙述都是一样的.

简易逻辑联结词的应用: 题型1 由复合命题的真假判定简单命题的真假

例1:若“p∨q”为假命题,则(D



A.命题“ ? q ”的真值不同 ? p ”与“
? p ”与“ ? q ”至少有一个是假命题 B.命题“

? p ”与“q”的真值相同 C.命题“
? p ”与“ ? D.命题“
q ”都是真命题

分析: 由真值表可得 p 和 q 都为假命题

【变式与拓展】 1.设 p,q 是两个命题,则复合命题“p∨q”为真,

“ p ∧ q” 为假的充要条件是( C ) A.p,q 中至少有一个真 B.p,q 中至少有一个假 C.p,q 中有且只有一个真 D.p 真,q 假 解析:∵p∧q 为假,∴p,q 至少有一个假. 又∵p∨q 为真,∴p,q 至少有一个真.因此,p,q 有且只有一个真.反过来,当 p,q 有且只有一个真时, “p∨q”为真,“p∧q”为假. 故选 C.

题型2 利用命题的真假求参数的取值范围 例3:设有两个命题:p:关于 x 的不等式

x 2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数
f (x)=-(5-2a)x 是减函数.若 p∨q 是真命题,

p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.
思维突破:解决这类问题时,应先根据题目条件,判 断每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然 后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后 根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

略解:∵不等式 x2 + 2ax + 4 > 0 对任意 x?R恒成立

? ? = (2a)2 - 4?4 < 0 ? - 2 < a < 2 ∴p: - 2 < a < 2 又函数 f (x) = - ( 5 - 2a )x 是减函数 ? 5 - 2a > 1
∴ q: a < 2 又 ∵“ p ∨ q 为真 ” , “ p∧q 为假 ”

∴ p 和 q 一真一假 ? a ?- 2
∴实数a的取值范围是 ( - ? , - 2]

【变式与拓展】
1. 已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,

?p 是 ?q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.
答案:2≤m≤4

题型 3 反证法 例4:证明:已知 x,y∈R,且 x+y > 2,则 x,y 中
至少有一个大于1 思维突破:要证原命题为真命题,即证其命题的

否定为假命题,这就是反证法
反证法的步骤为: ①作出反设(即否定结论)变为条件; ③得出原结论一定成立.

②结合已知条件证明与结论相反的所有情况都不成立;

证明:(用反证法)假设 x,y 均不大于 1, 即 x≤1 且 y≤1, 则 x+y≤2,

这与已知条件 x+y > 2 矛盾.
∴ x,y 中至少有一个大于 1.

变式训练:
用反证法证明: 设 0 < a , b , c < 1, 求证:( 1 - a )b , ( 1 - b )c , 1 ( 1 - c )a 不同时大于 . 4 证明:假设结论不成立,则

1 ? ?(1 - a )b ? 4 ? 1 ? ? (1 - b )c ? 4 ? 1 ? ? (1 - c )a ? 4 ?

1 ? ? (1 - a )b ? 2 ? 1 ? ? ? (1 - b )c ? 2 ? 1 ? ? (1 - c )a ? 2 ?

…… ① …… ② …… ③

由①+②+③,得 3 < ?1-a?b+ ?1-b?c+ ?1-c?a 2 1-a+b 1-b+c 1-c+a 3 ≤ + + = , 2 2 2 2 左右矛盾,故假设不成立. 1 ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于 . 4


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