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高中数列经典题型


1

《递推数列》 经典题型全面解析
类型 1

an ?1 ? an ? f (n) ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an 例:已知数列 类型 2

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
n a n ,求 an 。 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例:已知数列 例:已知 a1 类型 3

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
3

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
? pan ? f ?n? 。解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异.

变式:递推式: an?1 类型 4 ( an?1

an?1 ? pan ? q n ( 其 中 p , q 均 为 常 数 , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )。 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6

3

2

类型 5 递推公式为 an?2

。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

解法一 (待定系数——迭加法) :数列

?an ?:3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。
解法二(特征根法) :数列

?an ?:3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b

2
的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

? x1 ? 1, x 2 ?

2 2 n ?1 n?1 n?1 ,? an ? Ax1 ? Bx2 ? A ? B ? ( ) 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 3 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 n ?1 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) 2 ?? ? 3 ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ? 2 1 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn

? f (an ) )

解法:这种类型一般利用 an

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 ?? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)
1 2
n?2

例:已知数列 式 an . 类型 7

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公

、 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列

?an ?: a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

【例】 、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an?1(n ? 2) ,则通项公式 a n ?

高中数学: 《递推数列》 经典题型全面解析
类型 1

an ?1 ? an ? f (n) ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an 例:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

3

类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
n a n ,求 an 。 n ?1

解法:把原递推公式转化为

例:已知数列 例:已知 a1 类型 3

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
3

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
? pan ? f ?n? 。解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异.

变式:递推式: an?1 类型 4 ( an?1

an?1 ? pan ? q n ( 其 中 p , q 均 为 常 数 , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )。 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。

例:已知数列

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6

3

2

类型 5 递推公式为 an?2

。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

解法一 (待定系数——迭加法) :数列

?an ?:3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。
解法二(特征根法) :数列
2

?an ?:3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b

的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。

? x1 ? 1, x 2 ?

2 2 n ?1 n?1 n?1 ,? an ? Ax1 ? Bx2 ? A ? B ? ( ) 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 3 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 n ?1 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) 2 ?? ? 3 ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ? 2 1 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

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类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn

? f (an ) )

解法:这种类型一般利用 an

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 ?? S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) ?
1 2
n?2

例:已知数列 式 an . 类型 7

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公

、 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列

?an ?: a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

【例】 、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an?1(n ? 2) ,则通项公式 a n ?


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