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2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布1 课件(人教A版必修3)


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第二章
2.2 用样本估计总体

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第二章
2.2.1 用样本的频率 分布估计总体分布

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课前自主预习
随堂应用练习 方法警示探究 思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答

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课前自主预习

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温故知新 1.一个单位有职工160人,其中有业务人员112人,管 理人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况 要从中抽取一个容量为20的样本,用分层抽样的方法抽取样 本,需抽取后勤人员 4 人.

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2.在初中,我们已经学习过把样本数据表示成频数分 布 表 和频数分布 图 这样的图表形式,从图表上直观地看出 样本数据的分布情况,进而估计出总体的分布情况.本节在 初中学过的内容和方法的基础上,介绍了一些新的概念,如 频率分布折线图及总体密度曲线等,要仔细去体会、理解, 还增加了利用频率分布直方图估计众数、中位数及平均数的 方法,使我们在失去原始数据的情形下,也能借助于频率分 布直方图估计样本的这些数字特征.

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新课引入 统计学用在生活的方方面面,你能看懂以下材料吗? 1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出 60个全垒打的记录.下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马 利斯每年击出的全叠打的比较图:

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从图中可以看出:鲁斯分布的整体形状是大致对称的, 中位数大约是46个全垒打.鲁斯在1927年著名的60个全垒打 和其他值相比并不特别突出.与此相反,马利斯在1961年的 全叠打记录是偏离中心的.除了这个特殊的点外,他的整体 模式也大致对称,中位数大约是23.这两个分布可以表明鲁斯 作为全垒打的总体优势. 同学们可能不是很懂!通过本节的学习你就明白了!

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自主预习 阅读教材P65-70,回答下列问题: 1.分析数据的方法 (1)借助于图形. 用图将各个数据画出来,作图可以达到两个目的,一是 从数据中 提取信息 ;二是利用图形 传递信息.

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(2)借助于表格. 用紧凑的表格改变数据的 构成 方式,为我们提供 解释 数据的新方式.

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在2010年第十六届亚运会中,各个国家和地区金牌获得 情况的条形统计图,如图所示. 第十六届亚运会各个国家和地区金牌获得情况统计图

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从图中可以看出中国是亚洲第一体育强国,中国所获得 金牌数占全部金牌数的比例约是( A.41.7% C.67.3% B.59.8% D.94.8% )

[答案]
[解析] 199 477≈41.7%.

A
金牌总数为477,我国获得199块金牌,所占比例为

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2.频率分布直方图 (1)绘制步骤: ①求 极差 ,即一组数据中的最大值与最小值的差. ②决定组距 与 组数. 组距与组数的确定没有具体的标准, 一般来说,数据分组的组数与样本容量有关,样本容量越 大,所分组数越 多. 当样本容量不超过100时,按照数据的 多少,常分为5~12组.

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③将数据 分组. ④列出 频率分布 表. ⑤画出频率分布直方图.其中横轴表示数据 ,纵轴表示
频率与组距 的比.

(2)意义:频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示相 应组的 频率 ,所有小矩形的面积的总和等于 1 .

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(3)频率分布的估计:频率分布是指各个小组数据在容量 中所占 比例 的大小,可以用 样本 的频率分布估计总体的频 率分布,频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频 率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布.

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[破疑点]

频率分布直方图的特征:直观、形象地反映

了样本的分布规律;可以大致估计出总体的分布.但是从频 率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据绘制成频率 分布直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

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(1)频率分布直方图中,各小矩形面积的和等于( A.0 C.1 1 B.2 D.不确定

)

[答案]

C

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(2)在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量 为50,总体容量为600,则该组的频率是( 1 A. 5
[答案] A

)

1 B. 6

1 C. 10

D.不确定

[解析]

10 1 该组的频率是 = . 50 5

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3.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)类似于频数分布折线图,连接频率分布直方图中各个 小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. 一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就 不能太小.例如,如果要抽样调查一个省乃至全国的居民的 月均用水量,那么样本容量就应比调查一个城市的时候 大.可以想像,随着样本容量的增加.作图时所分的组数增 加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
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[破疑点]

频率分布折线图反映了数据的变化趋势.总

体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给 我们提供更加精细的信息.

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(2)估计方法:实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存 在的,但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式, 需要用 样本 来估计.由于样本是随机的,不同的样本得到的 频率分布折线图 不同 ;即使对于同一个样本,不同的分组情 况得到的频率分布折线图也不同.频率分布折线图是随 样本
容量 和分组情况的变化而变化的,因此不能用样本的 频率分
布折线图 得到准确的总体密度曲线.

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对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列 说法中正确的是( )

A.频率分布折线图与总体密度曲线无关 B.频率分布折线图就是总体密度曲线 C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线 D.如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小,那 么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线

[答案]

D
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[解析]

总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出来

的.而频率分布折线图在样本容量无限增大,分组的组距无 限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线 就是总体密度曲线.故选D.

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规律总结:总体密度曲线有如下特征: (1)随着样本容量的不断增加,分组不断加密,频率折线 就会越来越光滑,最终形成总体密度曲线. (2)并非所有的总体都有密度曲线,如一些离散型总体就 没有.

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4.茎叶图 (1)制作方法:将所有两位数的十位数字作为 茎 ,个位 数字作为 叶 ,茎相同者共用一个茎,茎按从 小到大 的顺序 从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺 序同行列出(也可以没有大小顺序).

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(2)优缺点:在样本数据 较少 时,用茎叶图表示数据的效 果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时 记录 ,这 对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据 较多 时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占 据一个空间,如果数据很多,枝叶就会很长.

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[破疑点]

茎叶图的特征:统计图上没有原始数据信息

的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;茎叶图中的 数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.但是茎叶 图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录 两组的数据,两位以上的数据虽然能够记录,但是没有表示 两位数记录那么直观、清晰.

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没有信息的损失,所有的原始数据都可以从图中得到的 统计图是( ) B.茎叶图 D.频率分布直方图

A.总体密度曲线 C.频率分布折线图

[答案] B

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[解析]

所有的统计图中,仅有茎叶统计图完好无损地

保存着所有原始数据的信息.

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[总结1]

估计总体分布的步骤是:

(1)选择适当的抽样方法从总体中抽取样本,即收集数 据. (2)利用样本数据画出统计图或计算数字特征. (3)结合统计图分析样本取值的分布规律. (4)用样本取值的分布规律估计总体分布,由于是用科学 抽样抽取的样本,那么样本与总体取值的分布规律近似,有 时也可看成相同. (5)利用总体分布解决有关问题.

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[总结2]

频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线

图和茎叶图的比较 1.四种图表的区别与联系

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名称 频率分布表

区别 从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律

频率分布直方图 反映样本的频率分布情况 频率分布折线图 直观地反映了数据的变化趋势 总体密度曲线 虽客观存在,但要准确画出难度较大,只能用样本 频率分布估计.样本容量越大,估计越准确

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这四种图表都是描述样本数据分布情况,估计总体频率 分布规律的,其联系如下:

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2.四种图表的优缺比较
优点 频率 分布表 频率分 布直方图 频率分布 折线图 表示数量较确切 缺点 分析数据分布的总体态势 不方便 原有的具体数据信息被抹 掉了 不能显示原有数据信息

表示数据分布情况非常直观

能反映数据的变化趋势 一是所有的信息都可以从这个茎叶图

茎叶图

中得到;二是茎叶图便于记录和表 示,能够展示数据的分布情况

样本数据较多或数据位数 较多时,不方便表示数据

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随堂应用练习

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1.在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程 中,下列说法正确的是( )

A.总体的容量越大,估计越准确 B.总体的容量越小,估计越准确 C.样本的容量越大,估计越准确 D.样本的容量越小,估计越准确

[答案] C

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[解析]

根据样本的频率分布可知,样本的频率分布反

映的是总体中部分个体的频率分布,只有当样本的容量越大 时,估计才越准确.

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规律总结:虽然样本的容量越大,估计越准确,但是 获得比较大的样本需要花费更大的人力、物力和财力.因 此,在用样本的频率分布估计总体的频率分布时,获得好的 样本是至关重要的.

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2.10个小球分别编号1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2 个,3号球3个,4号球1个,数0.4是指1号球占总体分布的 ( ) A.频数 C.频率/组距 B.频率 D.累积频率

[答案]

B

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3.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该 组的频数为( A.5 C.2 ) B.15 D.80

[答案]

A

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[解析]

由频数、频率的概念,设该组的频数为n,则n

=20×0.25=5.

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规律总结:由频数、频率的概念可知:频率= 频数 ,故频数=样本容量×频率. 样本容量

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4.已知样本 10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12,那么频率 为0.2的范围为( A.5.5~7.5 C.9.5~11.5 ) B.7.5~9.5 D.11.5~13.5

[答案]

D

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[解析]

列频率分布表如下:
分组 5.5~7.5 7.5~9.5 9.5~11.5 11.5~13.5 合计 正 频数累计 频数 2 6 8 4 20 频率 0.1 0.3 0.4 0.2 1

由上表得频率为0.2的范围为11.5~13.5,故选D.

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5.(2011~2012· 山东寿光高三抽测)为了解某小区老年人 在一天中锻炼身体的时间,随机调查了50人,根据调查数 据,画出了锻炼时间在0~2小时的样本频率分布直方图(如 图).则50人中锻炼身体的时间在区间[0.5,1.5)小时的人数是 ________.

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[答案] 35

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[解析]

锻练时间在[0.5,1.5)小时的频率为(0.8+

0.6)×0.5=0.7,频数为:50×0.7=35(人)

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[反思]

频率分布直方图的性质:

频率 ①因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各个小 组距 矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就 以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

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②在频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和等于1. 频数 ③ =样本容量. 相应的频率

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6.把某校高三(5)班甲、乙两名同学自高三以来历次数 学考试得分情况绘制成茎叶图(如图),由此判断甲的平均分 ________乙的平均分.(填“>”“=”或“<”)

[答案] <

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[解析]

由茎叶图可知,甲的历次数学考试得分分别是

79,80,85,91,94,99,102,乙的历次数学考试得分分别是: 83,87,92,94,98,104,110,则甲的数学得分的平均分数为 x 79+80+85+91+94+99+102 7




=90,乙的数学得分的平均

84+87+92+94+98+104+110 668 分数为 x 乙= = ,由于 7 7 668 90< 7 ,则 x 甲< x 乙.

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7.某篮球运动员在2011赛季各场比赛得分情况如下: 12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50. 制作茎叶图,并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳 定程度.

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[解析]

该运动员得分茎叶图如下:

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从这张图中可以粗略地看出,该运动员得分大多能在20 分到40分之间,且分布较为对称,集中程度高,说明其发挥 比较稳定.

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8.为了考察某学校学生的健康情况,在该学校随机抽 取相同年龄的60名男生,测得他们的体重(单位:千克)分别 为:

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67 54 59 66 69 59 56 66 62 58 59 56 66 60 64 60 57 56 57 61 58 58 53 58 64 58 63 58 53 57 62 62 59 54 65 66 57 51 46 51 58 60 65 58 63 63 62 61 54 65 62 62 59 57 69 49 64 59 59 63 若取组距3千克,组数为8.

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(1)请列出下面的频率分布表:
分组 45.5~48.5 48.5~51.5 51.5~54.5 54.5~57.5 57.5~60.5 60.5~63.5 63.5~66.5 66.5~69.5 合计 频数累计 频数 频率

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(2)画出频率分布直方图; (3)如果体重在51.5~66.5千克的为正常体重,试求出落 在正常体重范围内的学生的百分比.

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[解析]

(1)频率分布表:
分组 45.5~48.5 48.5~51.5 51.5~54.5 54.5~57.5 57.5~60.5 60.5~63.5 63.5~66.5 66.5~69.5 合计 正正 正正 正正 正 频数累计 频数 1 3 5 8 18 12 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.083 0.133 0.300 0.200 0.167 0.050 1.000

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(2)频率分布直方图(如图).

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(3)在51.5~66.5千克的学生的频率为0.083+0.133+0.300 +0.200+0.167=0.883,所以落在正常体重范围内的学生占 88.3%.

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