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2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题三 数列、推理与证明 第3讲推理与证明


第3讲

推理与证明

【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用;直接证明和间接 证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法,常与函数、数列、不等式、解析几何等综 合命题.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查,多以选择题和填 空题的形式出现,难度中等;而考查证明问题的知识面广,涉及知识点多,题

目难度较大, 主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力,难度较大.

1. 合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的所有对象具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一 类对象也具有这些特征的推理. ②类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 2. 演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般性原理. ②小前提——所研究的特殊情况. ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的 推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的 结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提 和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 3. 直接证明 (1)综合法

用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法 可用框图表示为 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为

Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→

得到一个明显 成立的条件

4. 间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”, 即从否定结论开始, 经过正 确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命 题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示.

考点一 归纳推理 例 1 (2013· 湖北 ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数

n?n+1? 1 2 1 1,3,6,10, ?, 第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3), 2 2 2 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 1 1 N(n,3)= n2+ n, 2 2 N(n,4)=n2, 3 1 N(n,5)= n2- n, 2 2 N(n,6)=2n2-n

??????????????? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. 答案 1 000 解析 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,?,可以推测: k-2 2 4-k 当 k 为偶数时,N(n,k)= n+ n, 2 2

24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10 2 2 =1 100-100=1 000. 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已 知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. 并且在一般情况下, 如果归纳的个别 事物越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠. (1)在数列{an}中,若 a1=2,a2=6,且当 n∈N*时,an+2 是 an· an+1 的个位数 字,则 a2 014 等于 A.2 答案 A 解析 由 a1=2,a2=6, 得 a3=2,a4=2,a5=4,a6=8,a7=2,a8=6,?, 据此周期为 6, 又 2 014=6×335+4, 所以 a2 014=a4=2,故答案选 A. (2)(2012· 江西)观察下列各式: a+b=1, a2+b2=3, a3+b3=4, a4+b4=7, a5+b5=11, ?, 则 a10+b10 等于 A.28 答案 C 解析 令 an=an+bn,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,?得 an+2=an+an+1,从而 a6 =18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123. 考点二 类比推理 例 2 (1)在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 B.76 C.123 D.199 ( ) B.4 C.6 D.8 ( )

S1 1 S2, 则 = .推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1, S2 4 V1 外接球体积为 V2,则 =________. V2 x2 y2 (2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:AB 是椭圆 2+ 2= a b b2 1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM· kAB=- 2.那么对 a x2 y2 于双曲线则有如下命题:AB 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原 a b 点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM· kAB=________. 答案 解析 (1) 1 b2 (2) 2 27 a

(1)本题考查类比推理,也即是由特殊到特殊的推理.平面几何中,圆的面积与

V1 1 圆的半径的平方成正比, 而在空间几何中, 球的体积与半径的立方成正比, 所以 = . V2 27 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), x , ?x =x + 2 则有? y +y ?y = 2 .
1 2 0 1 2 0

x2 y2 将 A,B 代入双曲线 2- 2=1 中得 a b
2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2- 2=1, 2- 2=1, a b a b 2 2 x1 -x2 y1 -y2 2 2 两式相减得 2 = 2 , a b



?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? = , a2 b2

?y1-y2??y1+y2? b2 即 = 2, ?x1-x2??x1+x2? a b2 即 kOM· kAB= 2. a 类比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是两类事物之间的相似性, 有共同要素是产生类比迁移的客观因素, 类比可以由概念性质上的相似性引起, 如等差 数列与等比数列的类比; 也可以由解题方法上的类似引起, 当然首先是在某些方面有一 定的共性,才能有方法上的类比,本题即属于此类.一般来说,高考中的类比问题多发 生在横向与纵向类比上, 如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三 角形与三棱锥的纵向类比等. (1) 若数列 {an} 是等差数列, bn = a1+a2+?+an ,则数列 {bn} 也为等差数 n

列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表 达式应为 c1+c2+?+cn A.dn= n C.dn=
n n n cn 1+c2+?+cn n

( c1· c2· ?· cn B.dn= n n D.dn= c1· c2· ?· cn

)

x2 y2 (2)命题 p:已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一个 a b 动点,过 F2 作∠F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为定值.类比此 x2 y2 命题,在双曲线中也有命题 q:已知双曲线 2- 2=1(a>b>0),F1、F2 是双曲线的两个 a b 焦点,P 为双曲线上的一个动点,过 F2 作∠F1PF2 的________的垂线,垂足为 M,则

OM 的长为定值________. 答案 解析 (1)D (2)内角平分线 a (1)由{an}为等差数列,设公差为 d,

a1+a2+?+an n-1 则 bn= =a1+ d, n 2 又正项数列{cn}为等比数列,设公比为 q, 则 dn= c1c2?cn= n n
n n c1 q 2

-n n-1 =c1q ,故选 D. 2 2

(2)对于椭圆,延长 F2M 与 F1P 的延长线交于 Q. 由对称性知,M 为 F2Q 的中点,且 PF2=PQ, 1 从而 OM∥F1Q 且 OM= F1Q. 2 而 F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a,所以 OM=a. 对于双曲线,过 F2 作∠F1PF2 内角平分线的垂线,垂足为 M, 类比可得 OM=a. 1 1 1 因为 OM= F1Q= (PF1-PF2)= · 2a=a. 2 2 2 考点三 直接证明与间接证明 例3 1 3?1+an+1? 2?1+an? 已知数列{an}满足:a1= , = ,anan+1<0 (n≥1);数列{bn}满足: 2 1- an 1-an+1
2 bn=a2 n+1-an (n≥1).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. (1)解 3?1+an+1? 2?1+an? 1-a2 n+1 2 已知 = 化为 = , 3 1-an 1-an+1 1-a2 n

3 2 而 1-a1 = , 4 3 2 所以数列{1-a2 n}是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 3 3 2?n-1 3 ?2?n-1 2 则 1-an = ×? ,则 a2 , n=1- × 3 3 ? ? 4 4 ? ? 由 anan+1<0,知数列{an}的项正负相间出现, 因此 an=(-1)n
+1

3 2?n-1 1- ×? , 4 ?3?

3 ?2?n 3 ?2?n-1 2 bn=a2 n+1-an=- × 3 + × 3 4 ? ? 4 ? ? 1 2?n-1 = ×? . 4 ?3?

(2)证明 假设存在某三项成等差数列,不妨设为 bm、bn、bp,其中 m、n、p 是互不相 等的正整数,可设 m<n<p, 1 2?n-1 而 bn= ×? 随 n 的增大而减小, 4 ?3? 那么只能有 2bn=bm+bp, 1 2?n-1 1 ?2?m-1 1 ?2?p-1 可得 2× ×? = ×?3? + ×?3? , 4 ?3? 4 4 2?n-m ?2?p-m. 则 2×? = 1 + 3 ? ? ?3? 2?n-m ?2?2=8,上式不可能成立,则只能有 n-m=1,此时 当 n-m≥2 时,2×? ≤ 2 × 3 ? ? ?3? 9 2?p-m 4 等式为 =1+? ?3? , 3 1 2?p-m 21 即 =? ,那么 p-m=log ,左边为正整数,右边为无理数,不可能相等. 3 ?3? 33 所以假设不成立,那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分析法寻找解决问题的突破 口,然后用综合法来写出证明过程,有时候,分析法和综合法交替使用. 2 已知数列{an}和{bn}满足: a1=λ, an+1= an+n-4, bn=(-1)n(an-3n+21), 3 其中 λ 为实数,n 为正整数. (1)对任意实数 λ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)试判断数列{bn}是否为等比数列. (1)证明 假设存在一个实数 λ,使{an}是等比数列,

?2 ?2 ?4 ? 则有 a2 2=a1a3,即 3λ-3 =λ 9λ-4 ? ? ? ?
4 4 ? λ2-4λ+9= λ2-4λ?9=0,矛盾. 9 9 所以{an}不是等比数列. (2)解 因为 bn+1=(-1)n 1[an+1-3(n+1)+21]


+ 2 ? =(-1)n 1? ?3an-2n+14?

2 2 =- (-1)n· (an-3n+21)=- bn, 3 3 又 b1=-(λ+18),所以 当 λ=-18 时,bn=0 (n∈N*),此时{bn}不是等比数列; 2 当 λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,由 bn+1=- bn, 3

bn+1 2 可知 bn≠0,所以 =- (n∈N*). bn 3 2 故当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比的等比数列; 3 综上知,当 λ=-18 时,数列{bn}构不成等比数列; 2 当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比的等比数列. 3

1. 合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情理”,其中主要是归纳推理与类比 推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式; 演绎推理是一种严格的证明方式. 2. 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法, 这两种方法也是解决数学问题时 常见的思维方式.在实际解题时,通常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地 表述解题过程.

1. 将全体正奇数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第 45 行从左向右的第 17 个数为________. 答案 2 013 解析 观察数阵,记第 n 行的第 1 个数为 an,则有 a2-a1=2, a3-a2=4, a4-a3=6, a5-a4=8, ?? an-an-1=2(n-1). 将以上各等式两边分别相加,得 an-a1=2+4+6+8+?+2(n-1)=n(n-1), 所以 an=n(n-1)+1,所以 a45=1 981. 又从第 3 行起数阵每一行的数都构成一个公差为 2 的等差数列,则第 45 行从左向右的 第 17 个数为 1 981+16×2=2 013. 2. 在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项, 1 1 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得 1×2= (1×2×3-0×1×2), 3 3

1 2×3= (2×3×4-1×2×3), 3 ? 1 n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]. 3 1 相加,得 1×2+2×3+?+n(n+1)= n(n+1)(n+2). 3 类比上述方法,计算“1×2×3+2×3×4+?+n(n+1)(n+2)”的结果为________. 答案 1 n(n+1)(n+2)(n+3) 4

1 解析 类比 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)], 3 1 可得到 k(k+1)(k+2)= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)], 4 1 先逐项裂项,然后累加即得 n(n+1)(n+2)(n+3). 4

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1. 下列关于五角星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是 ( )

A.an=n2-n+1 n?n+1? C.an= 2 答案 C

n?n-1? B.an= 2 n?n+2? D.an= 2

解析 从图中观察五角星构成规律, n=1 时,有 1 个; n=2 时,有 3 个; n=3 时,有 6 个; n=4 时,有 10 个;? n?n+1? 所以 an=1+2+3+4+?+n= . 2

2. ①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2;②已知 a,b∈R, |a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用反证法证明时可假设方 程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是 A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 答案 D 解析 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是 p+q>2,所以①不正确; 对于②,其假设正确. 3. 已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则 f(a1)+ f(a3)+f(a5)的值 A.恒为正数 C.恒为 0 答案 A 解析 由已知得 f(0)=0,a1+a5=2a3>0,所以 a1>-a5. 由于 f(x)单调递增且为奇函数, 所以 f(a1)+f(a5)>f(-a5)+f(a5)=0,f(a3)>0. ∴选 A. 4. 已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是 A.(7,5) 答案 B 解析 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知每组整数对的和为 n+1, 且每组共有 n 个整数时,这样的前 n 组一共有 n?n+1? 10?10+1? 个整数时,注意到 2 2 B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1) ( ) B.恒为负数 D.可正可负 ( ) ( )

11?11+1? <60< ,因此第 60 个整数对处于第 11 组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个 2 位置,结合题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各数对依次为(1,11),(2,10),(3,9), (4,8),(5,7),?,因此第 60 个整数对是(5,7),选 B. 1 5. 已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论 3 是 1 A.正四面体的内切球的半径是其高的 2 ( )

1 B.正四面体的内切球的半径是其高的 3 1 C.正四面体的内切球的半径是其高的 4 1 D.正四面体的内切球的半径是其高的 5 答案 C 解析 原问题的解法为等面积法, 1 1 1 即 S= ah=3× ar?r= h, 2 2 3 类比问题的解法应为等体积法, 1 1 1 V= Sh=4× Sr?r= h, 3 3 4 1 即正四面体的内切球的半径是其高的 , 4 所以应选 C. 6. 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数).设 aij(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42 =8,若 aij=2 010,则 i,j 的值的和为 ( )

A.75 B.76 C.77 D.78 答案 C 解析 观察偶数行的变化规律,2 010 是数列:2,4,6,8,?的第 1 005 项,前 31 个偶数 ?2+62?×31 行的偶数的个数为 =32×31=992,所以 2 010 是偶数行的第 32 行第 13 个 2 数,即三角形数表中的第 64 行第 13 个数,所以 i=64,j=13,所以 i+j=77.故选 C. 二、填空题 7. 有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组:第一组含一个数{1},第二组含两个 数{3,5},第三组含三个数{7,9,11},第四组含四个数{13,15,17,19},?,现观察猜想每 组内各数之和为 an 与其组的编号数 n 的关系为________. 答案 an=n3 解析 由题意知 a1=1=13,a2=3+5=8=23,a3=7+9+11=27=33,a4=13+15+17 +19=64=43,?.因此可归纳出 an=n3.

8. (2013· 陕西)观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ? 照此规律,第 n 个等式可为______________. 答案 (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1)

解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)?(n+n), 由已知的三个等式右边的变化规律,得第 n 个等式右边为 2n 与 n 个奇数之积,即 2n×1×3×?×(2n-1). 9. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 1 1 1 1 1 行有 n 个数, 且两端的数均为 , 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如 = + ,= n 1 2 2 2 1 1 1 1 1 + , = + ,?,则第 10 行第 3 个数(从左往右数)为________. 3 6 3 4 12

答案

1 360

1 1 解析 由上面的规律可知第 n 行的第一个数为 ,第二个数为 ,所以第 9 行的第 n n?n-1? 1 1 1 1 二个数为 ,第 10 行的第一个数为 ,第二个数为 = ,设第 3 个数为 x,即 10 8×9 9×10 90 1 1 1 x+ = ?x= . 90 9×8 360

? ?3 10.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:2 ? ,33?9 ?5 ?
3

?7


?11

? ?15 4? 17 ? ?19
3

13

,?.仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为________.

答案 8

解析 由已知可观察出 m3 可分裂为 m 个连续奇数,最小的一个为(m-1)m+1.当 m=8 时,最小的数为 57,第二个便是 59.∴m=8. 三、解答题 11.观察下列三角形数表,假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N*).

(1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式. 解 (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6.

(2)依题意 an+1=an+n(n≥2),a2=2, ?n-2??n+1? an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1)=2+2+3+?+(n-1)=2+ . 2 1 1 所以 an= n2- n+1(n≥2). 2 2 12.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n (1)解

?a1= 2+1, 由已知得? ∴d=2, ?3a1+3d=9+3 2,

故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明 由(1)得 bn= =n+ 2. n
2 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq =bpbr.

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.
2 ? ?q -pr=0, ? ∵p,q,r∈N ,∴ ?2q-p-r=0, ? *

p+r 2 ∵( ) =pr,(p-r)2=0,∴p=r. 2 与 p≠r 矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列. 13.已知数列{an}有 a1=a,a2=p(常数 p>0),对任意的正整数 n,Sn=a1+a2+?+an,并

n?an-a1? 有 Sn 满足 Sn= . 2 (1)求 a 的值并证明数列{an}为等差数列; Sn+2 Sn+1 (2)令 pn= + ,是否存在正整数 M,使不等式 p1+p2+?+pn-2n≤M 恒成立, Sn+1 Sn+2 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由. 解 1×?a-a? (1)由已知,得 S1= =a1=a,所以 a=0. 2

?n+1?an+1 nan 由 a1=0 得 Sn= ,则 Sn+1= , 2 2 ∴2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan, 即 2an+1=(n+1)an+1-nan, 于是有(n-1)an+1=nan, 并且 nan+2=(n+1)an+1, ∴nan+2-(n-1)an+1=(n+1)an+1-nan, 即 n(an+2-an+1)=n(an+1-an), 则有 an+2-an+1=an+1-an,∴{an}为等差数列. n?n-1?p (2)由(1)得 Sn= , 2 ?n+2??n+1?p ?n+1?np 2 2 ∴pn= + ?n+1?np ?n+2??n+1?p 2 2 2 2 =2+ - , n n+2 2 2? ? 2 2? ?2+2- 2 ?-2n=2+1- ∴p1+p2+p3+?+pn-2n=? n n+2 ?2+1-3?+?2+2-4?+?+

?

?

2 2 - . n+1 n+2 由 n 是整数可得 p1+p2+p3+?+pn-2n<3. 故存在最小的正整数 M=3,使不等式 p1+p2+p3+?+pn-2n≤M 恒成立.


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