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计算方法模拟题1


模拟题一
一、选 择 1. 设 X A =2.40315 是真值 X T =2.403147 的近似值, 则 X A 有__C_ 6 _位有效 数字。 2. 上题中 X A 的绝对误差限为 C
0.5 ?10?5



3. 当计算公式的第 n+1 步的误差 en+1 与第 n 步的误差 en 满足__A__时, 称

此计算公式是绝对稳定的。

A、

en ?1 ?1 en

B、

en ?1 ?1 en

C、

en ?1 ?0 en

D、

en ?1 ?0 en

4. 数值 x*的近似值 x,那么按定义 x 的相对误差是__A_。

x ? x* A、 x*

B、x * ? x

x ? x* C、 x

x * ?x D、 x*

? 2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 1 ? 5. 用列主元高斯消去法解线性方程组 ? 4 x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 4 ,则第一次 ?x ? 2x ? 7 2 ? 1
选取的列主元为 B 4 。 6. 设 ?(x)=4x4+4x3-2x2+3x+2, 取 x1=0, x2=0.2, x3=0.5, x4=1, x5=2, x6=2.4, x7=4。 在这些点上关于 ?(x)的插值多项式为 P6 ( x) , 则 ?(0.1)- P6 (0.1) =_____D_ 0___。 7. 以下方程求根的数值计算方法中, 收敛速度最快的是: C 牛顿迭代法 。 8. 要构造 f(x)=ex 的 4 次拉格朗日多项式,至少需要已知 f(x)上 C 5 个 插值节点的取值。
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9. 已知等距节点的插值型求积公式
3

?

10

2

f ? x ?dx ? ? Ak f ? xk ? ,那么
k ?0

3

?A
k ?0

k

? __D__8_。

10. 通过__C_3 _个点来构造多项式的插值问题称为抛物插值。 11. 关于点 ? x0 , y0 ? , D 。

? x1, y1 ? 的拉格朗日插值基函数 l0 ? x ? , l1 ? x ? 满足:
B、 l0 ? x0 ? =0, l1 ? x0 ? =0 C、

A、 l0 ? x0 ? =1, l1 ? x0 ? =1

l0 ? x0 ? =1, l1 ? x1 ? =0
12. 用于求解 I ( f ) ? 形公式。

D、 l0 ? x0 ? =1, l1 ? x0 ? =0

?

b

a

f ( x)dx 的求积公式

b?a [ f (a ) ? f (b)] 是 A 梯 2

13. 复化辛卜生公式是 C 4 阶收敛的。 14. “折线法”是以下哪种数值计算方法的别称:_D_欧拉公式__。 二、计 算 1. 利 用 秦 九 韶 算
4













p(

?x) 7

? x

6

2

? x

3

? x

3

2 x 2 处的值 。 ( 8 分) 4 在? x= ? x6 p(2)? 1 x

解:将所有多项式的系数按降幂排列,缺项系数看成零。

1 x?2 1
2.

?2 0 ?3 4 ?1 2 0 0 ?6 ?4 0 0 ?3 ?2 ?5
3

6 ?1 ?10 ?8 ?4 ?9

所以 p(2)= -9。

用牛顿法求方程 x

? 3x ? 1 ? 0 在 ?1, 2? 之间的近似根, 计算过程中小

数点后保留 5 位数字。 要求
3

xn ? xn?1 ? 0.00005 , 取 2 作为初始值。
2

解:设 f ? x ? ? x ? 3x ?1,则 f ? ? x ? ? 3x ? 3 取 x ? 2 作初始值,则迭代公式为

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3 3 f ? xn ?1 ? ? xn 2 xn ?1 ? 3 xn ?1 ? 1 ?1 ? 1 x ? x ? ? x ? ? ? n n ?1 n ?1 2 2 f ? ? xn ?1 ? 3xn ?1 ? 3 3 ? xn?1 ? 1? ? ? ? x0 ? 2



· · n ? 1, 2, ·

x0 ? 2 , x1 ?
x2 ? x3 ? x4 ?

2 ? 23 ? 1 ? 1.88889 , 3 ? ? 22 ? 1?

2 ?1.888893 ? 1 ? 1.87945 , 3 ? ?1.888892 ? 1? 2 ?1.879453 ? 1 ? 1.87939 , 3 ? ?1.879452 ? 1? 2 ?1.879393 ? 1 ? 1.87939 , 3 ? ?1.879392 ? 1?
?

x2 ? x1 ? 0.00944 x3 ? x2 ? 0.00006 x4 ? x3 ? 0.00005

方程的根 x ? 1.87939 设A?? 解:

? ?2 4 ? ?2 4? (3 分) ?, B ? ? ? ,求 AB 和 BA。 ? 1 ?2 ? ? ?3 ?6 ?

? ?2 4 ?? 2 4 ? ? ?16 ?32 ? AB ? ? ?? ??? ? 16 ? ? 1 ?2 ?? ?3 ?6 ? ? 8 ? 2 4 ?? ?2 4 ? ? 0 0 ? BA ? ? ?? ??? ? ? ?3 ?6 ?? 1 ?2 ? ? 0 0 ?
3. 用 LU 分解法求解方程组 (8 分)

?1 2 3 ? ? x1 ? ?14 ? ? ?? ? ? ? ? 2 5 2 ? ? x 2 ? ? ?18 ? ? 3 1 5 ? ? x ? ? 20? ? ?? 3? ? ?
解: (1)对于 r = 1,

u11 ? 1
(2)对于 r = 2,

u12 ? 2

u13 ? 3

l21 = 2

l 31 = 3

u22 ? a22 ? l 21u12 = 5 – 2 ? 2 = 1
第 3 页 (共 7 页)

u23 ? a23 ? l21u13 = 2 – 2 ?3 = -4

l32 ?
(3)r = 3

(a32 ? l31u12 ) (1 ? 3 ? 2) ? ? ?5 u 22 1

u33 ? a33 ? (l31u13 ? l32 u23 ) ? 5 ? (3 ? 3 ? (?5) ? (?4)) ? ?24
于是

3 ? ?1 ? ?1 2 ? ?? ? A ? ?2 1 ? ? 1 ? 4 ? ? LU ? 3 ? 5 1? ? ? 24? ? ?? ?
(4)求解: Ly = b y1 = 14 y2 = b2 – l21y1 = 18 – 2 ? 14 = -10 y3 = b3 – (l31y1 + l32y2) = 20 – (3? 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由 Ux= y 得到 得到

x3 ? x2 ? x1 ?

y3 ? 72 ? ?3 u33 ? 24 ( y 2 ? u 23 x3 ) ? 10 ? (?4 ? 3) ? ?2 u 22 1 y1 ? (u12 x2 ? u13 x3 ) 14 ? (2 ? 2 ? 3 ? 3) ? ?1 u11 1

x ? (1, 2, 3)T
4. 用高斯——塞德尔迭代法解方程组(8 分)

第 4 页 (共 7 页)

? 5 1 0 ?? x1 ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ? 1 5 1 ?? x2 ? ? ? ? 3 ? ? 0 1 5 ?? x ? ? 4 ? ? ?? 3 ? ? ?
(1)写出高斯——塞德尔法迭代公式。 (2)取 X(0)? (0
(2) T ,求出 X 。 0 0)

解 (1)对 i ? 1,2,3 ,从第 i 个方程解出 xi ,得高斯——塞德尔法迭代 公式为
1 ? ( m) x1( m ?1) ? (4 ? x 2 ) ? 5 ? ? ( m ?1) 1 ( m) ? (?3 ? x1( m ?1) ? x3 ) ?x2 5 ? 1 ( m ?1) ( m ?1) ? x3 ? (4 ? x 2 ) ? 5 ?

, m ? 0,1, ?

(2)
(1) x3 ?

x1(1) ?

4 =0.8 , 5

(1) x2 ??

19 =-0.76 , 25

119 =0.952 125 119 x1( 2 ) ? 125

=0.952 ,

( 2) x2 ??

613 625

=-0.9808 ,

( 2) x3 ?

3113 3125 =0.9962

5.

(8 分)

(1) 已知 x = 0, 2, 3, 5,对应的函数值为 y = 1, 3, 2, 5,作三次牛顿插值 多项式。 (6 分) (2) 若给(1)已知的四个点再增加一个点 x = 6,y = 6,作四次牛顿插 值多项式。 (2 分) 解:作差商表 x 0 2 3 y 1 3 2 1 -1
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一阶差商

二阶差商

三阶差商

-2/3

5

5

3/2

5/6

3/10

3 ? 2? N3 ( x) ? 1 ? x ?1 ? x( x ? 2)? ? ? ? x( x ? 2)(x ? 3) ? 10 ? 3?

如已知 x = 0, 2, 3, 5, 6 时,对应的函数值为 y = 1, 3, 2, 5, 6(即增加了一个 点) ,作差商表 x 0 2 3 5 6 y 1 3 2 5 6 1 -1 3/2 1 -2/3 5/6 -1/6 3/10 -1/4 -11/120 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

四次牛顿插值多项式为

3 ? 2? N 4 ( x ) ? 1 ? x ? 1 ? x ( x ? 2)? ? ? ? x( x ? 2)( x ? 3) ? 10 ? 3? ? 11 ? ? x( x ? 2)( x ? 3)( x ? 5) ? ? ? ? ? 120? ? 11 ? ? N 3 ( x ) ? x( x ? 2)( x ? 3)( x ? 5)? ? ? ? 120?
6. 试确定求积公式中的待定系数,使代数精度尽可能高,指出代数精度 是多少。 (8 分)

?

h ?h

f ( x)dx ? A0 f (?h) ? A1 f (0) ? A2 f (h) 。

解:将 f ( x ) ? 1, x, x 2 分别代入求积公式,令求积公式成立,则有
? ? A0 ? A1 ? A2 ? 2h ? ? ? h( A0 ? A2 ) ? 0 ? 2 2 3 ?h ( A0 ? A2 ) ? h 3 ?

从而解得 A0 ? A2 ? 1 h, A1 ? 4 h ,所求公式至少具有两次代数精度,且
3 3

第 6 页 (共 7 页)

进一步有

??h x dx ? 3 (?h)
3

h

h

3

h ? h3 , 3
h ?h

??h x dx ? 3 (?h)
4

h

h

4

h ? h4 3

从而原积分公式 ? 精确度。

f ( x )dx ?

h 4h h f (?h) ? f (0) ? f (h) 具有三次代数 3 3 3

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