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概率的概念和古典概型


第二章

第二章 事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率 三、几何概率 四、概率的公理化定义

预备知识
1. 加法原理 设完成一件事有m种方式:
第一种方式有n1种方法,

第二种方式有n2种方法,


第m 种方式有nm 种方法,

/>则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 .

无论通过哪种方法都可以完成 这件事,

例如,某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船. 甲地 火车有两班 轮船有三班 乙地

乘坐不同班次的火车和轮船,共有几种方法? 3 + 2 种方法

2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤: 第一个步骤有n1种方法, 第二个步骤有n2种方法, …; 第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 则完成这件事共有

n1 ? n2 ? ? ? nm
种不同的方法 .

例如,若一个男人有三顶帽子和两件 背心,问他可以有多少种打扮?

可以有 3 ? 2 种打扮

排列
排列:从n个不同的元素中按顺序取r个 排成一列 ?0 ? r ? n? 称为一个排列。所有可 能的排列记为 Pnr ,则由乘法原理得

P ? n(n ? 1)( n ? 2) ?(n ? r ? 1)
r n

特别,当n = r 时,称该排列为一个全排列, 所有全排列的个数为

p ? n(n ? 1)( n ? 2) ?3 ? 2 ?1 ? n!
n n

例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个
组成五位数,问共能组成多少个五位数?
解 从六个不同数中任取五个组成五位数, 相当于从六个数中任取五个数生成一个排列, 因此,所有可能组成五位数共有

P ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 720 (个)
5 6

例2 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个, 问能组成多少个四位偶数?
解 组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或4,
1 种,前三位数的选取方法有 3

可先选末位数,共 P

P

3 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为 5

P ? P ? P ? P ? P ? 156 (个)
1 3 3 5 1 1 1 2 2 4

无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽 取k 次,每次取一个,取后不放回,将所取元 素排成一列

n n-1 n-2

n-k+1

共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式

有重复排列:从含有n个元素的集合中随机
抽取k次,每次取一个,记录其结果后放回,

将记录结果排成一列,
n n n n

共有nk种排列方式

组合
组合:从n个不同的元素中任取r个元素 组成一组 (0 ? r ? n), 称为一个组合。所有可

能的组合数记为 C nr , 由乘法原理,从n个元 素中取r个生成的排列可分两步进行,首先 r C 从n个元素中取r个组成一组,共有 n 种方 法,然后再在取出的r个元素中进行全排列 共有 r! 种方法,从而

P ? C ? r!
r n r n

P ? C ? r!
r n r n

所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为
r P n(n ? 1) ?(n ? r ? 1) n! r n Cn ? ? ? r! r! (n ? r )!?r! n r n? r 特别,当n = r时,Cn ? Cn ? 1而且 C n

例3 从10名战士中选出3名组成一个突击队, 问共有多少种组队方法? 解: 按组合的定义,组队方法共有
3 C10 ? 120 (种)

P ? C ? r!
r n r n

所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为
r P n(n ? 1) ?(n ? r ? 1) n! r n Cn ? ? ? r! r! (n ? r )!?r!

n r n?r 特别,当n = r时,Cn ? Cn 。 ? 1而且 Cn

? n? 0!? 1和? ?0? ? ?1 ? ?

第一节 概率的概念
对于事件发生的可能性大小,需要用一个
数量指标去刻画它,这个指标应该是随机事件

本身所具有的属性,不能带有主观性,且能在
大量重复实验中得到验证,必须符合常情。我

们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫
做事件的概率。

频率的定义和性质
定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,

在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数
nA 称为事件 A 发生的频数。比值 nA / n

称为事件A 发生的频率,并记成 fn(A)

性质 (1) 0 ? fn(A) ??1;
(2) fn(Ω)=1; fn(? )=0 (3) 可加性:若A B=? ,则

fn(A?B)= fn(A) +fn(B).

频率的稳定性
n=500时 nA 251 249 256 253 251 246 244 0.488 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 实验者 n 2048 nH 1061 fn(H) 0.5181

德?摩根
蒲 丰 K ?皮尔逊 K ?皮尔逊

4040
12000

2048
6019

0.5096
0.5016

24000 12012

0.5005

如: Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同: A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Z: 0.0006

实践证明:当试验次数n增大时, fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A), 作为事件A的概率.

概率的统计定义:
在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价 优点:直观 易懂 缺点:粗糙 不便 模糊 使用

概率的性质:
? 0 ? P??? ? 1 ? ? ?

非负性 规范性

P??? ? 1

P(?) ? 0
当n个事件两两互不相容时: P(A1 ∪A2???∪An )=P(A1) + ??? +P( An)

可加性

第二节 古典概型
设随机试验E有如下特征 ?(有限性)试验的可能结果只有有限个; ? (等概性)每个可能的结果出现是等可能的; 则称E为古典概型。

古典概型概率的定义 设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为 任意一个事件,定义事件A的概率为:
事件 A中包含的样本点数 事件 A中包含的 本 kk P(A) ?? P(A) ?? 样本空间 中样本点总数 本空?? 中本 nn

设 Ω ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性,



P({e1 }) = P({ e2 }) = ... = P({ en})

又由于基本事件两两互不相容;所以

1 ? P{?} ? P{e1} ? P{e2 } ?
1 P{ei } ? , n i ? 1, 2, ,n

P{en }

k A中样本点的个数 P(A)? ? . n ?中样本点总数

古典概型的基本模型-摸球问题
例1 设有100件产品,其中次品有30件。现按 以下两种方式随机抽取2件产品: 放回抽样:第一次取一只球,观察其颜色后放 回袋中,搅匀后再取一球。 不放回抽样:第一次取一球不放回袋中,第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求: 1)两件都是次品的概率; 2)第一件是次品,第二件是正品的概率;

解:易知本题的试验为古典概型 设 A= {两件都是次品的概率} B={第一件是次品,第二件是正品的概率}

有放回抽取:
302 P( A) ? ? 0.09 2 100
30 ? 70 P( B) ? ? 0.21 2 100

不放回抽取:
30 ? 29 29 P ( A) ? ? ? 0.088 100 ? 99 330
30 ? 70 7 P( B) ? ? ? 0.21 100 ? 99 33

如果一次取两件?

例2 设有N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取
n 件,问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少?
n 解:在 N 件产品中抽取 n 件,取法共有 C N 种

又 在 D 件次品中取 k 件,所有可能的取法有

C 种
在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有

k D

C

n? k N ?D



由乘法原理知:在 N 件产品中取 n 件,其中 恰有 k件次品的取法共有
C C
k D n? k N ?D



于是所求的概率为:

k n?k CD CN ?D p? n CN

此式即为超几何分布的概率公式。 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.

古典概型的基本模型-分球入盒问题
(1) 容量不限
问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.

3

3

3

3

4个球放到3个杯子的所有放法 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 34 种

???? ? ????? ?
? 4? ? ? 2? ?种 ? ? ? 2? ? ? 2? ?种 ? ?

2个

2个

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

? 4 ?? 2 ? 4 2 p ? ? ?? ? 3 ? . 27 ? 2 ?? 2 ?

(2)容量有限——至多只能放一个球

问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 p4 4 ? 3 ? 2 ?1 p? 4 ? p10 10 ? 9 ? 8 ? 7

1 ? . 210

例 4 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中

去,求每个盒子至多有一只球的概率(设
盒子的容量不限)。 解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N?N?
N ? ( N ? 1) ?

? N ? N n 种放法

而每个盒子中至多放一只球,
N ? ( N ? 1) ?

共有
A ? . N
n N n

n ? [ N ? (n ? 1)] ? AN 种放法



p?

? [ N ? ( n ? 1)] Nn

推广: 假设每人的生日在一年 365 天中任一天是
等可能的,即都是
1 365

那么随机选取n ( < 365)个人,他们的生日各不相

同的概率为
365 ? 364 ? ... ? ( 365 ? n ? 1) P ( A) ? 365 n

(这里 365 天作为盒子数 N )

古典概型的基本模型-取数问题

例5.某城市电话号码升位后为六位数,且第
一位为6或8。

求(1)随机抽取的一个电话号码为不重
复的六位数的概率;

(2)随机抽取的电话号码末位数是8的
概率。

解: 记(1)所求事件为A,
(2)所求事件为B.

解 样本点总数:

2 ?10

5

事件A的样本点数: 2×9×8×7×6×5
事件B的样本点数: 2 ?10 ?1
4

2? 9?8? 7 ? 6? 5 P( A) ? =0.1512 5 2 ? 10 4 2 ? 10 P( B) ? ? 0.1 5 2 ? 10

例6 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四 解

?
周五

12 7 周六 周日

故一周内接待 12 次来访共有 712 种.

1 2

2

3 2

4 2

?
周五 周六

12 2
周日

周一 周二

周三 周四

12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种.
故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为

212 p ? 12 ? 0.0000003 7

即百万分之0.3!这是一个非常小的概率! 但是根据题意它确实发生了!这与实际推 断原理矛盾!从而假设不正确,因此可以 推测接待是有时间规定的。

课堂练习
练习1. 将一颗骰子接连掷两次,试求下列事 件的概率: (1)两次掷得的点数之和为8; (2)第二次掷得3点. 解:设 A 表示“点数之和为8”事件

B 表示“第二次掷得3点”事件

? ? {(1,1), (1,2),?, (1,6), ( 2,1),?, ( 2,6),?, (6,1),?(6,6)} A ? {(2,6), ( 3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B ? {(1,3), ( 2,3), ( 3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}
所以

5 P ( A) ? 36

6 1 P( B) ? ? 36 6

练习2 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10 号的纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率; (2)求最大号码为5的概率.
? 10 ? (1)总的选法种数为 n ? ? ?, ?3 ? ? 5? 最小号码为5的选法种数为 m ? ? ?, ? 2?



故小号码为5的概率为

? 5 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 12 ? 4? (2)最大号码为5的选法种数为 ? ?, ? 2? 故最大号码为5的概率为 ? 4 ? ? 10 ? 1 P?? ? ? ? ? . ? 2 ? ? 3 ? 20

练习3 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试 求每个盒子至多有一只球的概率.
解 将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种放法. 每个盒子中至多放一只球共有6 ? 5 ? 4 ? 3 种不同放 法. 因而所求的概率为

6? 5? 4? 3 p? 64

? 0.2778.

练习4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 15! . ? ?? ?? ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? 5! 5! 5! (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

? 3 ? ? 2 ? ? 1 ?? 12 ? ? 8 ? ? 4 ? ? ? 4? ?? ? 4? ?? ? 4? ? ? (3!?12! ) ( 4! 4! 4! ) 种. ?1 ? ?? ?1 ? ?? ?1? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

因此所求概率为

3!?12! 15! 25 p1 ? ? . 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,

12! 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 种 2! 5! 5!
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有

3 ? (12! 2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
3 ? 12! 15! 6 p2 ? ? . 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91

注: 对于上述离散概率模型,计算事件 概率的原理很简单,只要计算样本空间 所包含的基本结果的总数和事件所包含 的基本结果的个数。但这两者的计算并 不容易,需要用到组合和排列的知识, 有时技巧性也很强,需要多练习。

作业 P15

2、3、4、


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