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离散型随机变量 家发中学


第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列

第七 节 离散 型随 机变 量及 分布 列

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1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,

识分布列对于刻画随机现象的重要性,会求某些取有 限个值的离散型随机变量的分布列. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.

1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取两个,可以

作为随机变量的是
A.至少取到1个白球 C.取到白球的个数

(
B.至多取到1个白球 D.取到的球的个数

)

解析:由随机变量的概念可知,选项C正确.

答案: C

2.设离散型随机变量X的概率分布如下: X P 则p的值为 1 A.6 1 C.3 1 1 6 2 1 3 3 1 3 4 p ( 1 B.2 1 D.4 )

1 1 1 解析:由离散型随机变量概率分布的性质有 + + +p= 6 3 3 1 1,∴p= . 6

答案:A

3.袋中有大小相同的6只钢球,分别标有1,2,3,4,5,6六个 号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X 的所有可能取值个数为 A.36 B.12 ( )

C.9

D.8

解析:X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11共9种. 答案:C

4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描 述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于________.

1 解析:设成功率为 P,则失败率为 P, 2 1 2 ∴P+ P=1,即 P= . 2 3 1 1 ∴P(X=0)= P= . 2 3

1 答案:3

i 5.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3),则 P(X 2a =2)=________.

1 2 3 6 解析:由题意知, + + = =1,∴a=3. 2a 2a 2a 2a i 2 1 即 P(X=i)= ,∴P(X=2)= = . 6 6 3 1 答案:3

1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 , 常用字母X,Y,ξ,η,…表示,所有取值可以 列出 的随机变量,称为离散型随机变量. 一一

2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X所有可能取的值为

x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…n)
的概率p1,p2,…,pn,则表
X P x1 x2 ? ? xi ? ? xn

p1

p
2

pi

pn

称为离散型随机变量X的 概率分布列 ,简称为X的 分布 列 .有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=

1,2,?,n表示X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0,i=1,2,3,…,n ;② ;

3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X P 1 P 0 q

其中P= P(X=1) ,称为成功概率.

(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次
n-k Ck C M N-M 品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)= ,k= Cn N

0,1,2,?,m,其中m= min{M,n} ,且n≤N,M≤N, n,M,N∈N*,称分布列

X P

0

1

? ?

m
n-m Cm C M N- M Cn N

1 n-1 n-0 C C C0 C M N-M M N-M n n C CN N

为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何 分布列,则称随机变量X服从超几何分布.

[做一题]

[例1] 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列.

[自主解答] 0.3+m=1, ∴m=0.3.

由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+

首先列表为:
X
2X+1 |X-1|

0
1 1

1
3 0

2
5 1

3
7 2

4
9 3

从而由上表得两个分布列为:

(1)2X+1的分布列:
2 X+ 1 P 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3

(2)|X-1|的分布列:
|X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

保持题目条件不变,求P(1<2X+1<9) 解:P(1<2X+1<9)=P(2X+1=3)+P(2X+1=5)+

P(2X+1=7)=0.1+0.1+0.3=0.5.

[悟一法] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要 注意检验,以保证每个概率值均为非负数. 2.若X是随机变量,则2X+1,|X-1|等仍然是随机变 量,求它们的分布列可先求出相应随机变量的值,再

根据对应的概率写出分布列.

[通一类] 1.设随机变量ξ的分布列为: ξ P -1 a 0 b 1 c

其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)=________.

解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. 1 又a+b+c=1,∴b=3, 2 ∴P(|ξ|=1)=a+c=3.
2 答案:3

2.设随机变量Y的分布列为:
Y P -1 1 4 2 m 3 1 4

1 3 7 试计算事件“Y≤2”和“2≤Y≤2”的概率.
1 1 1 解:∵4+m+4=1,∴m=2. 1 1 ∴P(Y≤2)=P(Y=-1)=4, 3 7 3 P(2≤Y≤2)=P(Y=2)+P(Y=3)=4.

[做一题] [例2] 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一 2 等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 3 .现有10 件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.

[做一题] [例2] 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一 2 等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 3 .现有10 件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.

(1)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;

(2)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分
布列; (3)随机选取3件产品,求这3件产品都不能通过检测的概率.

[自主解答]

(1)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件

为A,事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取 二等品通过检测”, 6 4 2 13 ∴P(A)=10+10×3=15. (2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.
0 1 C3 1 C2 3 4C6 4C6 P(X=0)= C3 =30,P(X=1)= C3 =10, 10 10 2 3 C1 1 C0 1 4C6 4C6 P(X=2)= C3 =2,P(X=3)= C3 =6. 10 10

∴X的分布列如下: X P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B,事件 B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检 测”, 1 13 1 所以,P(B)=30· (3) =810.

[悟一法]

求离散型随机变量分布列的步骤:
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各取值的概率P(X=xi)=Pi; (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事 件的概率是否正确.

[通一类] 2.某旅游公司为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁共 4 条旅游线 路,每个旅游团任选其中一条,求选择甲线路旅游团数的 分布列.
解:设选择甲线路旅游团数为 ξ,则ξ=0,1,2,3. 2 33 27 C1 · 3 27 3 P(X=0)=43=64,P(X=1)= 43 =64, 3 C2 · 3 9 C 1 3 3 P(X=2)= 43 =64,P(X=3)= 43 =64.

∴X的分布列为:
ξ P 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

[做一题] [例3] 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中

7 任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是9. (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变 量X的分布列.

[自主解答]

(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白

球”为事件A, 设袋中白球的个数为x,
2 C10 -x 7 则P(A)=1- C2 =9, 10

得到x=5. 故白球有5个.

(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,
k 3 k C5 C5 其中P(X=k)= C3 ,k=0,1,2,3. 10


于是可得其分布列为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

[悟一法]
1.对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以 直接应用公式给出. 2.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为 抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质

上是古典概型.

[通一类] 3.从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公 益活动. (1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 3 人中男生人数 X 的分布列.
1 C2 C 10 5 4 解:(1)所选 3 人中恰有一名男生的概率 P= 3 = . C9 21

(2) ξ的可能取值为0,1,2,3.
2 1 C3 5 C 10 5 5C4 P(X=0)=C3=42,P(X=1)= C3 =21, 9 9 2 3 C1 C 5 C 1 5 4 4 P(X=2)= C3 =14,P(X=3)=C3=21. 9 9

∴X的分布列为: ξ P 0 5 42 1 10 21 2 5 14 3 1 21

[热点分析] 高考对本节内容的考查多以实际问题为背景,以解 答题的形式考查离散型随机变量分布列的求法,且常与

排列、组合、概率、均值与方差等知识综合考查,难度
适中,属中档题.

[考题印证] (2011· 湖南高考)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

日销售量(件) 频数

0 1

1 5

2 9

3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存

货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则
不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列 和数学期望.

[考题纠错]———————————(前人之鉴,后人之师) [错解] (1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为

1 5 3 0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=20+20=10. (2)由题意知,X的可能取值为2,3. 9 5 1 P(X=2)=20,P=(X=3)=20=4.

故X的分布列为 X P 2 9 20 3 1 4

9 1 33 X的数学期望为E(X)=2×20+3×4=20.

[错因] 本题错解的原因在于混淆了随机变量X的实际 意义.X为第二天开始营业时该商品的件数,实事上,

“X=2”对应日销售量为1件,“X=3”对应日销售量为
0,2,3件,三种情况.

[正解]

(1)同错解.

(2)由题意知,X的可能取值为2,3. 5 1 P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=20=4; P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为 1 9 5 3 2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=20+20+20=4.

故X的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

1 3 11 X的数学期望为E(X)=2×4+3×4= 4 .

1.第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至

23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学
院招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志 愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm):
男 9 15 女

98
8650 7421

16
17 18

77899 124589 23456 01

1

19

若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高 在175 cm以下定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才 能担任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽 取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是“高个子”

的概率是多少?
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用 ξ 表示所选志愿 者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ξ 的分布列,并 求 ξ 的数学期望.

解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是30=6, 1 所以选中的“高个子”有12×6=2人, 1 “非高个子”有18×6=3人. 用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”,则它的对立事 件 A 表示“没有1名‘高个子’被选中”,
2 C3 3 7 则P(A)=1-C2=1-10=10. 5

7 因此,至少有1人是“高个子”的概率是10.

ξ (2)依题意,的可能取值为 0,1,2,3,则
1 2 C3 14 C 28 8 4C8 P( ξ =0)=C3 =55,P( ξ =1)= C3 =55, 12 12 1 3 C2 C 12 C 1 4 8 4 P( ξ =2)= C3 =55,P( ξ =3)=C3 =55. 12 12

因此,ξ 的分布列如下:

ξ
P

0 14 55

1 28 55

2 12 55

3 1 55

14 28 12 1 故E( ξ )=0×55+1×55+2×55+3×55=1.

2.济南市开展支教活动,有五名教师被随机地分到A、 B、C三个不同的乡镇中学,且每个乡镇中学至少分 一名教师.

(1)求甲、乙两名教师同时分到一个中学的概率;
(2)求A中学分到两名教师的概率; (3)设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数,求X 的分布列和期望.

解:(1)设甲、乙两位教师同时分到一个中学为事件A, 1 2 2 3 3 基本事件总数N=2C5 C3A3+C3 5A3. 所以P(A)=1
2 3 1 3 C3 A3+C3 A3

2 2 3 3 3 C C A + C 5A3 2 5 3 3

6 =25.

(2)设A中学分到两名教师为事件B,所以P(B)=
2 2 C2 5C3A2

1 2 2 3 3 C 5C3A3+C5A3 2

2 =5. 3

(3)由题意知X的可能取值为1,2,3,
2 2 3 2 C1 ? C C + C 7 2 5 4 2 4A2? P(X=1)= 1 =15,P(X=2)=5, 2 2 3 3 3 C C A + C 5A3 2 5 3 3

2 P(X=3)=1 =15. 2 2 3 3 3 C 5C3A3+C5A3 2

2 C2 A 5 2

所以X的分布列为 X P 1 7 15 2 2 5 3 2 15

7 2 2 5 E(X)=1×15+2×5+3×15=3.


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