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必修1 函数学生版


2013 年寒假数学复习课(1) 函



一.映射题型: 1、设 f : A ? B 是集合 A 到 B 的映射,下列说法正确的是 ( ) A、A 中每一个元素在 B 中必有象 B、B 中每一个元素在 A 中必有原象 C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的 D、B 是 A 中所在元素的象的集合 2、从集合 A 到 B 的映射中,下

列说法正确的是 A、B 中某一元素 b 的原象可能不只一个 B、A 中某一元素 a 的象可能不只一个 C、A 中两个不同元素的象必不相同 D、B 中两个不同元素的原象可能相同 3、已知集合 A= ?x 0 ? x ? 4? , B= ?y 0 ? y ? 2?,下列从 A 到 B 的对应 f 不是映射的是
1 x 2 2 C、 f : x ? y ? x 3

A、 f : x ? y ?

B、 f : x ? y ?

1 x 3

1 D、 f : x ? y ? x 2 8

4.设 f : A ? B 是从 A 到 B 的一个映射,其中 A ? B ? ?? x, y ? x ? R, y ? R? , f :

? x, y ? ? ? x ? y, xy ? ,则 A 中(1,?2)的象是

, B 中(1,?2)的原象是

5.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {?2, ?1,0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对 M 中的每个 元素 x 与它在 N 中的象 f ( x) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是(
A8 个
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B 12 个
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C 16 个
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D 18 个
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6.集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是__________
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二.函数题型分类: (一)函数的定义 1、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数 关系的有( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

2.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是
y 2 o 2 x
y 2 o 2 x o y 2 2 x o y 2 2 x

-2

A

-2

B

-2

C

-2

D

-1-

3、设 A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? ? y 1 ? y ? 2? ,如图中表示 A 到 B 的函数的是(



4、已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1 1 3

2 3 2 2

3 1 3 1 。

x
g ( x)

则 f ? g ?1? ? 的值为 ? ?

;满足 f ? g ? x ? ? ? g ? f ? x ? ? 的 x 的值是 ? ? ? ? )

(二)函数相等 1、下列各式表示同一函数的是( x2 ?1 A. f ( x) ? 与 g ( x) ? x ? 1 x ?1 B. f ( x) ? x 2 ? 1 与 g ( x) ? x ? 1

1? x 1? ? 与 f ( x) ? 1? ? 1? x 1 D. f ( x) ? 1 与 g ( x) ? x ? x 2.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

C. f ( ? ) ?

(1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=
x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ; (4)f(x)= x
2

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;
2
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(5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1

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(三)定义域 第一部分常规函数 习题精炼 1.求下列函数的定义域:

-2-

(1) f ( x) ? x ?

2 x ?1

(2) f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? (3) f ( x) ?
( x ? 1) 0 x ?x

1 x ? 2x ?1
2

2. 已知函数 f ( x) ?
( A) A ? B ? B
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1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则 ? ? 1? x

( B) A ? B
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(C ) A ? B
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( D) A ? B? B

3 函数 y= ? x 2 ? x ? 2 的定义域为__________
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第二部分、抽象函数 习题精炼 1.(1)已知函数 f ( x) 的定义域是 [0, 4] ,求函数 f ( x 2 ) 的定义域;
x (2)已知函数 f ( x 2 ? 2) 的定义域是 [1, ??) ,求函数 f ( ) 的定义域. 2

2. 已知

的定义域为[-2,3],求

的定义域。

3. 已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求 f ( x 2 ) ? 23 的定义域:

(三)值域 Ⅰ、常规函数 1、已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( A、[ 1,+∞) B、[0,2] C、 (-∞,2] D、[1,2] )

-3-

1 2.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1 的定义域与值域都是[ 1,b ]. (b ? 1) ,求实数 b 的值。 2

Ⅱ、非常规函数 1.求 y ? 2 x ? 1 ? x 的值域

3 4 2 已知 f ( x) 的值域为[ , ],试求 y ? f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域 8 9
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3.求 y ? x ? 2 ? x ? 1 的值域

4.求函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | 的值域

-4-

Ⅲ、分式函数 1.分式函数 1 1.○ y ?
3x ? 1 x?2

2 ○y?

2x ? 1 ( x ? 3) x?3

③y?

x 2 ? 5x ? 6 x2 ? x ? 6

4 ○y?

2x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1

2、已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为 [1,3] ,求实数 b, c 的值。 x2 ?1

三、函数的表示法 (一) 确定函数的解析式 1、求下列函数的解析式: (1)已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,求 f (2 x ? 1) (2)已知 f ( x) 是一次函数,并且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) .

2、已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 2 ,求 f ( x ? 1) 的解析式.

1 1 3、已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? 3 ,求 f ( x) . x x

-5-

1 4、已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) x

(二) 分段函数与复合函数 Ⅰ、分段函数
?x ? 2 ? 1.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? ( x ? ?1) (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ( x ? 2)



A.1

B.1 或

2 3

C. ? 3

D. 3

? n ? 3, n ? 10 2.已知函数 f (n) ? ? ,其中 n ? N , f (8) ? ( ? f [ f (n ? 5)], n ? 10



A.2

B.4

C.6

D.7

?1 x?0 ? 3.定义符号函数 sgn x ? ? 0 x ? 0 ,则不等式: x ? 2 ? (2 x ? 1)sgn x ? ?1 x ? 0 ?

的解集是______

4. 已知 f(x)= ?
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?1, x ? 0, 则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________ ?0, x ? 0,

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Ⅱ、复合函数题型
? x ?1 1、已知 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? ? ?2 ? x ( x ? 0) ( x ? 0)

,求 f [ g ( x)] 与 g[ f ( x)] .

四 函数的单调性题型分类: (一) 函数的单调性的判断和证明 Ⅰ 判断单调性 1.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调性如何?

-6-

2、下列函数中,在 (??, 0) 内是减函数的是 ( A y?
1 x

) D y?? x

B y ? 1 ? x2

C y ? x2 ? x

3、已知函数 f ( x) ? x ?

4 ,求证:函数 f ( x) 在 [2, ??) 上单调递增. x

4 讨论 f ( x) ? x ?

1 在 (0, ??) 上的单调性. x

Ⅱ 利用单调性求最值 1、求 f ( x) ? x ?

1 在 [2, ??) 上的最小值 x

Ⅲ 利用单调性求系数 ax ? 1 1、已知 f ( x) ? 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

-7-

(二) 求函数的单调区间 1.(1) y ? x 2 ? x ? 2 的单调增区间是 (2) y ?
1 x2 ? 4 x

,点掉减区间是 ;



的单调减区间是

(3) y ? ? 1 ? 4 x 2 的单调减区间是

.

2.求下列函数的单调区间: (1) f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 6 x ? 9 ;
2 (2) y ? x ? 2 x .

(三) 复合函数的单调性 1、判断函数 f ( x) ? 4 ? x 2 在 (?2, 2) 上的单调性,并给出证明.

2.判断函数 y ?

1 x ? 2x ? 3
2

的单调性.

五 函数的奇偶性 题型分类: (一) 函数奇偶性的判断和证明 1、判断下列函数的奇偶性: 1 (1) f ( x) ? x 3 ? x (2) f ( x) ? x 2 (?1 ? x ? 3) ; (3) f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ;
-8-

(4) f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ; (5) f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 .

2、判断函数 f ( x) ?

1 ? x2 ? x ?1 1 ? x2 ? x ? 1

的奇偶性.

? x(1 ? x) 3、判断函数 f ( x) ? ? ? x(1 ? x)

( x ? 0) ( x ? 0)

的奇偶性.

(二) 奇偶性的利用 Ⅰ 求系数 1. (1)如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f (x) 为奇函数,则 a =_____

2.定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x ? m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

3.定义在 [?1 1] 上的函数 y ? f (x) 是减函数,且是奇函数,若 f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实 , 数 a 的范围。

Ⅱ 求函数值

-9-

1.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? _______

Ⅲ 求解析式 1.若奇函数 y=f(x) (x≠0) ,当 x∈(0,+∞)时 f(x)=x-1,则不等式 f(x-1)<0 的解集为 ( ) A.{x|x<0 或 1<x<2} B.{xlx<-l 或 0<x<1} C.{xlx<-2 或-l<x<0} D.{xlx<0} 2.若 f(x)是偶函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解集是( ) A.{x︱0<x<2} B.{x︱-2<x<0} C.{x︱-1<x<0} D.{x︱l≤x<2}

3. 若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时, f (x) =_______

- 10 -


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