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一元二次方程根的分布练习题


根分布例题选讲
例1.设关于 x 的方程 4 ? 2 ? b ? 0(b ? R) , (1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。
x x ?1

例2.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f[f(x)]=x 也无实根.

例3.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

变式:已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求 m 的取值范围.

例4.已知方程 4 x ? 2(m ? 1) x ? (2m ? 3) ? 0(m ? R) 有两个负根,求 m 的取值范围.
2

1

例5.求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 . (1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小. (2)有两个实根 ? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 . (3)至少有一个正根.
2

例6. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

变式:已知方程 2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间,求 a 的取值范围.

例7.已知二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围.

2

变式: 如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的 取值范围.

, 例8.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?11 ? 上有零
2

点,求 a 的取值范围.

二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况, 在其它的一些场合下也 可以适当运用.下面再举两个例子: x+1 例9.求函数 y = 2 (1<x<2)的值域. x -3x+2

例 10. 已知抛物线 y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点) 有公共点,求 m 的取值范围.

3

练习题: 1.已知二次方程 (3m ? 1) x 2 ? (2m ? 3) x ? m ? 4 ? 0 有且只有一个实根属于( -1, 1),求 m 的取值 范围.

2.已知方程 m ? 2 2 x ? (2m ? 1) ? 2 x ? m ? 0 在 (??, 1) 上有两个根,求 m 的取值范围.

3. 已知二次方程 (2m ? 1) x 2 ? 2mx ? (m ? 1) ? 0 有且只有一个实根属于 (1, 2) , 且 x ? 1, x ? 2 都不是方程的根,求 m 的取值范围.

4.已知二次方程 (m ? 1) x 2 ? (3m ? 4) x ? (m ? 1) ? 0 的两个根都属于(–1,1) ,求 m 的取值 范围.

5.若关于 x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间[0,2]上,求实数 a 的取值 范围.

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