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2016-2017年数学·必修5(苏教版)练习:章末知识整合3 Word版含解析


章末知识整合

[整合· 网络构建]

专题 1 转化与化归思想的应用 [典例 1] 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围. 分析: “范围”问题是数学中的常见问题, 一般可将“范围”看 成函数定义域、值域,或看成不等式的解集等. 解:法一(看成函数的值域): a+3 因为 ab=a+b+3,所以 b= (显然 a≠

1),且 a>1. a-1 a+3 (a-1)2+5(a-1)+4 4 所以 ab=a· = =(a-1)+ + a-1 a-1 a-1 5≥9,当且仅当 a-1= 4 , a-1

即 a=3 时取等号. 4 又 a>3 时,(a-1)+ +5 单调递增, a-1 所以 ab 的取值范围是[9,+∞).

法二(看成不等式的解集): 因为 a,b 为正数,所以 a+b≥2 ab. 又 ab=a+b+3, 所以 ab≥2 ab+3, 即( ab)2-2 ab-3≥0. 解得 ab≥3 或 ab≤-1(舍去), 所以 ab≥9,即 ab 的取值范围是[9,+∞). 法三:若设 ab=t, 则 a+b=t-3, 所以 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根.

Δ=(t-3) -4t≥0, ? ? 从而有?a+b=t-3>0, ? ?ab=t>0,
t≤1或t≥9, ? ? 即?t>3, 解得 t≥9,即 ab≥9, ? ?t>0, 所以 ab 的取值范围是[9,+∞). 归纳拓展 不等与相等是相对的, 在一定条件下可以互相转化. 解题过程就 是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程. 无论哪种类型的不等 式, 其求解思路都是通过等价转化, 把它们最终归结为一元一次不等 式(组)或一元二次不等式(组)的求解.由于不等式的解集一般是无限 集, 因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔 除或增补的, 这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换, 而 这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等. [变式训练]

2

2x2+2mx+m 1.如果关于 x 的不等式 <1 对一切实数 x 均成立, 4x2+6x+3 则实数 m 的取值范围是________.
? 3? 3 解析:因为 4x +6x+3=?2x+2? + >0 恒成立,从而原不等式 4 ? ?
2 2

可以利用不等式的基本性质,等价转化为 2x2+2mx+m<4x2+6x+ 3(x∈R). 即 2x2+(6-2m)x+(3-m)>0 对一切实数 x 恒成立, 所以Δ=(6 -2m)2-4×2(3-m)=4(m-1)· (m-3)<0,解得 1<m<3. 答案:(1,3) x2+2x+a 2.已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 x 恒成立,试求实数 a 的取值范围. x2+2x+a 解:法一:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立,等 x 价于 x2+2x+a>0 恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 而 y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在定义域内单调递增, 所以当 x=1 时,ymin=3+a. 于是当 ymin=3+a>0 时,不等式 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3. a 法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞),当 a≥0 时,函数 f(x)的值 x 恒为正; 当 a<0 时, 函数 f(x)单调递增, 故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 于是当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故-3<a<0.综上可 得实数 a 的取值范围是 a>-3. 专题 2 函数与方程思想的应用

[典例 2]

设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M, 如果 M?[1,

4],求实数 a 的取值范围. 解:M?[1,4]有两种情况: 其一是 M=?,此时 Δ<0;其二是 M≠?,此时 Δ=0 或Δ>0,下 面分三种情况计算 a 的取值范围. 设 f(x)=x2-2ax+a+2, 则有 Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2), (1)当 Δ<0 时,-1<a<2, M=??[1,4]; (2)当 Δ=0 时,a=-1 或 2. 当 a=-1 时,M={-1}?[1,4]. 当 a=2 时 ,M={2}?[1,4]; (3)当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2. 设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2, 且 x1<x2, 那 么 M = [x1 , x2] , M ? [1 , 4] ? 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 4 ?
? ?f(1)>0,且f(4)>0, ? ?1≤a≤4,且Δ>0. ?

-a+3>0, ? ?18-7a>0, 即? 1≤a≤4, ? ?a<-1或a>2. 18 解得 2<a< , 7
? 18? 所以 M?[1,4]时,a 的取值范围是?-1, 7 ?. ? ?

归纳拓展

函数思想是指用联系变化的观点分析问题, 通过函数的形式把问 题中的数量关系表示出来,运用函数的概念、图象、性质等对问题加 以研究,使问题获得解决. 方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识,通过解方程或对 方程的讨论使问题得以解决. 函数与方程二者密不可分,如函数解析式 y = f(x) 也可看作方 程.函数有意义则方程有解,方程有解则函数有意义等.函数与方程 思想体现了静与动, 变量与常量的辩证统一, 是重要的数学思想方法 之一.具体包括: (1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的 取值情况. (2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等 问题,以及函数在实际中的应用. (3)利用方程解决有关函数的问题. 函数、方程、不等式三者密不可分,从求解一元二次不等式的过 程中可见一斑. 在不等式问题中, 很多可以从函数的角度进行求解. 如 f(x)>a 恒成立等价于 f(x)min>a. [变式训练] 3.求证:sin2 x+ 4 ≥5. sin2 x

4 证明:设 sin2x=t,原式变形为 f(t)=t+ , t 则 f(t)在 t∈(0,1]时为单调递减函数. 因为 0<sin2 x≤1, 所以当 sin2 x=1. 即 t=1 时,f(t)有最小值,f(t)min=5.

4 4 所以 f(t)=t+ ≥5,即 sin2 x+ 2 ≥5. t sin x 4.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)在整个定义域上是减函数,且 f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数 a 的取值范围. 解:由 f(1-a)+f(1-a2)<0 得 f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1), -1<1-a<1, ? ? 2 所以?1-a>a -1, ?0<a<1. ? ?-1<1-a2<1 所以 a 的取值范围是(0,1). 专题 3 分类讨论思想的应用 [典例 3] 解关于 x 的不等式 x2-ax-2a2<0(a∈R). 分析:先将不等式左边分解因式,然后对两根的大小比较,分类 求解不等式. 解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为 x1=2a,x2=-a. (1)当 a>0 时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; (2)当 a=0 时,原不等式化为 x2<0,无解; (3)当 a<0 时,x1<x2, 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述,原不等式的解集为: 当 a>0 时,{x|-a<x<2a};a=0 时,x∈?; 当 a<0 时,{x|2a<x<-a}. 归纳拓展 分类讨论是一种重要的解题策略,分类相当于缩小讨论的范围,

故能将问题化整为零,各个击破.在解答数学题时,由于许多题目不 仅在涉及的知识范围上有较强的综合性, 而且就问题本身来说, 也受 到多种条件的交叉制约, 形成错综复杂的局面, 很难从整体上加以解 决.这时就从分割入手,把整体划分为若干个局部,先去解决各个局 部问题,最后达到整体上的解决.通俗一点说,就是“化整为零,各 个击破”,这种处理数学问题的思想,就是“分类讨论”的思想,分 类讨论问题充满了数学辩证思想, 它是逻辑划分思想在解决数学问题 中的具体运用.分类讨论的一般步骤: (1)明确讨论对象,确定对象的范围. (2)确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏. (3)逐类讨论,获得阶段性结果. (4)归纳总结,得出结论. [变式训练] 5.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,求实数 a 的 取值范围. 解:当 a-2=0,即 a=2 时,原不等式为-4<0,所以 a=2 时 成立.
? ?a-2<0, 当 a-2≠0 时,由题意得? ? ?Δ<0, ? ?a<2, 即? 2 ?4(a-2) -4(a-2)(-4)<0. ?

解得-2<a<2. 综上所述,a 的取值范围为-2<a≤2. 4 6.求函数 y=2-3x- 的最值. x 解:显然 x≠0.

? 4? ①当 x>0 时,y=2-?3x+x?, ? ?

4 4 令 y1=3x+ ,因为 x>0,所以 3x>0, >0. x x 4 故 y1=3x+ ≥2 x 4 3x· =4 3. x

4 2 当且仅当 3x= ,即 x= (负值舍去)时,取等号, x 3 所以(y1)min=4 3, 当 y1 取最小值时,y 取最大值.所以当 x= ymax=2-4 3.
? 4? ②当 x<0 时,y=2-?3x+x?, ? ? ? 4? 4 令 y2=3x+ ,则-y2=(-3x)+?-x?. x ? ?

2 时, 3

4 因为 x<0,所以-3x>0,- >0. x 故-y2≥2
? 4? (-3x)?-x?=4 3, ? ?

即 y2≤-4 3, 4 2 当且仅当-3x=- ,即 x=- (正值舍去)时,取等号 x 3 所以(y2)max=-4 3,当 y2 取最大值时,y 取最小值. 题型 4 数形结合思想的应用 [典例 4] 求使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围. 分析:因不等式左边为对数式,右边为整式,故不可解,所以可 借助函数图象求解. 解:如右图所示,

在同一平面直角坐标系中作出函数 y1=log2(-x), y2=x+1 的图 象,易知两图象交于点(-1,0).显然 y1<y2 的 x 的取值范围是(-1, 0). 归纳拓展 数形结合就是把数学关系的精确刻画 (代数关系 )与几何图形的 直观形象有机结合起来, 从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在 联系,使问题变得简单,数形结合常用于解方程、解不等式、求函数 的值域、求参数的范围等,有时,可以用数形结合的思想寻找解题思 路,具体体现为: (1)由数化形,由条件绘制相似图形,使图形能充分反映出它们 的数量关系,从而解决问题. (2)由形化数,借助于图形,通过观察研究,得出图形中蕴含的 数量关系,反映出事物的本质特征. (3)数形转换,化抽象为直观,化难为易. [变式训练] 7.已知 f(x)是定义域 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, 则不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析:作出 y=f(x)的图象如图所示, f(5)=f(-5)=5. 所以|x+2|<5,即-7<x<3.

答案:(-7,3) 8. 已知函数 f(x)=ax2+bx, 且-1≤f(-1)≤0, 2≤f(1)≤4, 求 的取值范围. 解:由-1≤f(-1)≤0,2≤f(1)≤4, 可得-1≤a-b≤0,2≤a+b≤4. b+1 a+2



b+1 的取值范围即是求经过 a+2

点(a,b)和点(-2,-1)的直线的斜率的范围. 关于 a,b 构成的平面区域如图所示, 根据图象可以得到 b+1 ?2 ? 的取值范围是?3,1?. ? ? a+2


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