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分析法在立体几何问题中应用浙江省湖州中学


分析法在立体几何问题中应用 湖州中学 凌 红 立体几何在高中是一个难点,特别是添辅助线,让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的,比 如要证明线面平行,只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可;要证明两条异面直线垂直,只要构造一个 包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可,但是如何去寻找所需要的直线与平面呢?幸好空间向量的引 入,使得立体几何也可以转化成代数问题进行计

算,不需要添加辅助线,只要能建立适当的空间直角坐标系,通 过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违,那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决,因此 如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来,利用分析法讨论两类问题:如何添加辅助线和建立适当 空间直角坐标系. 一、分析法解决辅助线问题 例 1 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,求证: B 1 D ? 平面 ACD 1.

D1

C1 B1

A1

D

C

A

B

分析: 要证明 B1D ? 平面 ACD1 , 只要证明 B1D 垂直于平面 ACD1 内的两条相交直线.利用分析法, 可以将 B1D ? 平面 ACD1 看成是已知条件,则根据线面垂直的定义,有 B1D 垂直于平面 ACD1 内的所有直线,所以只要选取 其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明 B1D ? AC 和 B1D ? CD1 ,即两条异面直线垂直,常用的方 法就是构造线面垂直.先来证明 B1D ? AC .利用分析法, B1D ? AC 可以看成是已知条件,由于 A、C、D 处于 下底面,只要过 D 有一条垂直垂直于 AC 的直线即可,因为底面是一个正方形,故对角线互相垂直,所以只要 连接 BD ,就应有 AC ? 平面 BB1 D .这样问题就转化为证明 AC ? 平面 BB1 D .由于 AC ? BD, AC ? B 1 B ,即 可证明.然后同理可证 B1D ? CD1 .证明过程略. 评注:其实这个题,如果用三垂线定理,应该是比较容易想到连接 BD ,因为 BD 是 B1D 在下表面内的射影。但 由于课改后,在必修 2 中对三垂线定理只字不提,增大了此类题目的难度. 类似地, 《普通高中课程标准实验教科书》 (人教版)数学必修 2 的 73 页上有这样一个探究题:如图,直四
' ' ' ' 棱柱 A B C D ? ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时, ' AC ? B ' D' ?

A' B'

D'

C'
A D

B

C
分析:连接 AC ,只要 A ' C ? B D ,就有 AC ? B D .
' '
' ' ' ' ' '

例 2 如图, ABCD 是平行四边形, S 是平面 ABCD 外一点, M 为 SC 的中点. 求证: SA // 平面 MDB . S M

D

C

A

B

分析:要证明 SA // 平面 MDB ,只要在平面 MDB 中找到一条直线与 SA 平行.利用分析法,可以将 SA // 平面 MDB 看成已知条件,根据线面平行的性质定理,过 SA 的平面只要与平面 MDB 相交,则 SA 与交线平行.题目 中包含 SA 有两个平面只有平面 SAB 和平面 SAD ,而这两个平面与平面 MDB 的交线在这个几何体的外面,不 太好找.我们可以改变策略,在四棱锥中构作一个包含 SA 的平面.根据确定平面的公理 2 的推论:一条直线和直 线外一点可以唯一确定一个平面,我们选取点 C ,连接 AC 交 BD 于 O ,构作平面 SAC ,它与平面 MDB 的交 线是 OM ,故只要证明 SA // OM .由于底面是平行四边形, M 是 SC 的中点,易得 SA // OM .证明过程略. 评注:由于线面平行的话,直线上所有点到平面的距离相等,而且垂直于同一个平面的两条直线平行,两条平行 直线也可确定一个平面,有时也利用平行四边形构作平面.如下题. 在正方体 ABCD ? A 、AC 上的点, A1M ? AN . 1B 1C1D 1 中, M 、 N 分别是 A 1B 求证: MN // 平面 BB1C1C . 二、分析法建立空间直角坐标系 利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性,因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量 方法的重要性.在必修 2 的最后一章,介绍了空间直角坐标系,重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定, 以及空间向量的模长,从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转 化为代数问题的关键,所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来,利用分析法谈谈建立空间直角坐 标系的问题.
? 例 3 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD , 已知 ?ABC ? 45 ,AB ? 2 ,

BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
(1) 求证: SA ? BC ;

(2) 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. S

C B D A

分析:要建立空间直角坐标系,最好有一个线面垂直.先来分析下底面,由于下底面是 ?ABC ? 45 的平行四边
?

形,且 AB ? 2 , BC ? 2 2 ,故连接 AC ,有 ?ABC 是已 ?CAB 为直角的等腰直角三角形.取 BC 的中点为 O , 连接 AO ,则 AO ? BC .利用分析法,将 SA ? BC 看成已知条件,所以应有 BC ? 平面 SAO ,则 SO ? BC . 因为侧面 SBC ? 底面 ABCD ,根据面面垂直的定义,有 SO ? 底面 ABCD .故可取 O 为原点, OA 所在的直线 为 x 轴, OB 所在的直线为 y 轴, OS 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系.证明过程略. 附:分析法得到意想不到的结果 例 4 设 a, b, c 都为正数,求证: abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) . 分析:由于 a, b, c 都为正数,当 a ? b ? c ? 0, b ? c ? a ? 0, c ? a ? b ? 0 时,可以将 a, b, c 看成是三角形的三边. 由不等式的右边联想到海伦公式,有

abc a ? b ? c abc(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)(b ? c ? a )(c ? a ? b)(a ? b ? c ) ? 16S 2 ? 16? ?r ( ) 4R 2
得 R ? 2 r (其中 R, r 分别为三角形的外接圆与内切圆的圆心)


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