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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第73炼 求参数的取值范围


第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

第 73 炼 求参数的取值范围
一、基础知识: 求参数的取值范围宏观上有两种思路:一个是通过解不等式求解,一个是利用函数,通 过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式:通过题目条件建立关于参数的不等式,从而通过解不等式进行求解。常见的 不等关系如下: (1

)圆锥曲线上的点坐标的取值范围 ① 椭圆(以

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 为例) ,则 x ? ? ?a, a ? , y ? ? ?b, b? a 2 b2

② 双曲线: (以

x2 y2 ? ? 1? a, b ? 0 ? 为例) ,则 x ? ? ??, ?a ? (左支) ??a, ??? (右支) a 2 b2

y?R
③ 抛物线: (以 y ? 2 px ? p ? 0? 为例,则 x ??0, ???
2

(2)直线与圆锥曲线位置关系:若直线与圆锥曲线有两个公共点,则联立消元后的一元二 次方程 ? ? 0 (3)点与椭圆(以
2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 为例)位置关系:若点 ? x0 , y0 ? 在椭圆内,则 a 2 b2

(4)题目条件中的不等关系,有时是解决参数取值范围的关键条件 2、利用函数关系求得值域:题目中除了所求变量,还存在一个(或两个)辅助变量,通过 条件可建立起变量间的等式, 进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数, 确定辅助 变量的范围后,则可求解函数的值域,即为参数取值范围 (1)一元函数:建立所求变量与某个辅助变量的函数关系,进而将问题转化为求一元函数 的值域,常见的函数有:① 二次函数;②“对勾函数” y ? x ?

a ? a ? 0 ? ;③ 反比例函 x

数;④ 分式函数。若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用 导数进行解决。 (2)二元函数:若题目中涉及变量较多,通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表 达式,则可通过均值不等式,放缩消元或数形结合进行解决。

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3、两种方法的选择与决策:通常与题目所给的条件相关,主要体现在以下几点: (1)若题目中含有某个变量的范围,则可以优先考虑函数的方向,将该变量视为自变量, 建立所求变量与自变量的函数关系,进而求得值域 (2)若题目中含有某个表达式的范围(或不等式) ,一方面可以考虑将表达式视为整体,看 能否转为(1)的问题进行处理,或者将该表达式中的项用所求变量进行表示,从而建立起 关于该变量的不等式,解不等式即可 二、典型例题:

6 x2 y 2 例 1:已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , F ,且经 1 、 F2 是其左右焦点,离心率为 a b 3
过点 ? 3,1? . (1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2)若 A1 , A2 分别是椭圆长轴的左右端点, Q 为椭圆上动点,设直线 AQ 斜率为 k ,且 1

? 1 1 k ?? ? , ? ? 2 3
解: (1) e ?

? ? ,求直线 A2 Q 斜率的取值范围; ?

c 6 ? a 3

?a : b : c ? 3 :1: 2

?椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1 代入 ? 3,1? 可得: b2 ? 4 3b2 b2
x2 y2 ?1 ?椭圆方程为: ? 12 4

? a ? 3b ? 12
2 2

(2)由(1)可得: A1 ?2 3,0 , A2 2 3,0 则k ?

?

? ?

?

设 Q ? x, y ? ,

y x?2 3

k A2 Q ?

y x?2 3

? k ? k A2Q

y y y2 ? ? ? 2 x ? 2 3 x ? 2 3 x ? 12
x2 y2 1 ? ? ? 1 ? y 2 ? ?12 ? x 2 ? 12 4 3

?Q 在椭圆上

? k ? k A2Q ?

y2 1 ?? 2 x ? 12 3

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? k A2 Q ? ?

1 3k

? 1 1 ? ?k ?? ? ,? ? ? 2 3 ?

??

1 ?2 ? ?2 ? ? ? ,1? 即 k A2 Q ? ? ,1? 3k ? 3 ? ?3 ?
x2 y2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,其左,右焦点分别是 F1 , F2 , 2 a b 2

例 2:已知椭圆 C :

过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E , G 两点,且 ? EGF2 的周长为 4 2 (1)求椭圆 C 的方程 ( 2 )若过点 M ? 2,0? 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 5 ,当 PA ? PB ? 时,求实数 t 的取值范围 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) 3
解: (1) e ?

c 2 ? a 2

? a : b : c?

2 :1:1

? EGF2 的周长 C ? 4a ? 4 2 ? a ? 2
?b ? 1

?椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P ? x, y ?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? tOP

? x1 ? x2 ? tx ?? ? y1 ? y2 ? ty

联立直线与椭圆方程: ?
2

? ? y ? k ? x ? 2? ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 2 ? ?x ? 2 y ? 1
1 2

?? ? ?8k 2 ? ? 4 ?1 ? 2k 2 ??8k 2 ? 2 ? ? 0 ,解得: k 2 ?

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 3 4k , y ? y ? k x ? x ? 4 k ? ? 4k ? ? 2 ? ? 1 2 1 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

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? 8k 2 2 2 ?x ? 2 ? ? ? ? t ? 2k 2 ? 1? x2 8 k 4 k ? ? y 2 ? 1 可得: ? ,代入 ? ? 2? ? ? ?2 ?? ? t ? 2k 2 ? 1? ? ? t ? 2k 2 ? 1? ? 2 4k ?y ? ? ? ? ? ? 2 ? t 2 k ? 1 ? ? ?
?t2 ? 16k 2 1 ? 2k 2

由条件 PA ? PB ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 5 2 5 可得: AB ? 3 3 2 5 3

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

20 8k 2 8k 2 ? 2 2 ? ?1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? , x x ? ,代入 x1 ? x2 ? 可得: 1 2 ? ? 9 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?? 8k 2 ?2 8k 2 ? 2 ? 20 1 ? k ? 4 ? ? ? 4k 2 ? 1??14k 2 ? 13? ? 0 ? ?? ? ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 2k ? 1 ? 9 ? ? ?? ?
2

?k2 ?

1 4

?1 1? ?k 2 ? ? , ? ?4 2?

?t2 ?

16k 2 1 ?8 ? =16 ? ? ? ,4 ? 2 1 1 ? 2k ?2 ?3 ? 2 k

? 2 6? ?2 6 ? ? t ? ? ?2, ? ,2 ? ??? 3 3 ? ? ? ?
例 3:在平面直角坐标系中,已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且在所 2 a b 2

有过焦点的弦中,弦长的最小值为 2 (1)求椭圆方程 (2)若过点 B ?0,2? 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 E , F ( E 在 B , F 之间) ,求三角形

OBE 与三角形 OBF 面积比值的范围
解: (1) e ?

c 2 ? a 2

? a : b : c?

2 :1:1

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由椭圆性质可得,焦点弦的最小值为

2b2 ? 2 a

?b ? 1, a ? 2

?椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 l : y ? kx ? 2 , E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ?

? S? OBE ?
?

1 1 ? OB ? x1 ? x1 , S? OBF ? ? OB ? x2 ? x2 2 2

x S? OBE x ? 1 ? 1 S? OBF x2 x2

联立直线与椭圆方程:

? y ? kx ? 2 ? ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
?? ? ?8k ? ? 24 ?1 ? 2k 2 ? ? 0 ? k 2 ?
2

3 2

x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 x2 ? ?0 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2

? x1 , x2 同号

?

? x1 ? x2 ?
x1 x2

8k ? ? ?? ? 32k 2 x x 1 ? 2k 2 ? ?? ? ? 1 ? 2 ?2 2 6 3 ?1 ? 2k ? x2 x1 1 ? 2k 2
32 k2 32 1 ? 1 ?6 ? ? ? ? ? 4, ? 2 3 ?1 ? 2k ? 3 2 ? 1 ? 3 ? k2

3 ?k ? 2
2

4?

x1 x2 16 ? ?2? x2 x1 3

? 1 t ? ? 2 ? 4 ? t ?1 ? x ? t 设 t ? 1 ? 0 ,所解不等式为: ? x2 ?t ? 1 ? 2 ? 16 ? 1 ? t ? 3 ? 3 3 ? t

?

x1 ? 1 ? S ?1 ? ? ? ,1? ? ?1,3? ,即? ? OBE ? ? ,1? ? ?1,3? x2 ? 3 ? S? OBF ? 3 ?

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x2 y 2 3 例 4:已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为 a b 3
圆心,椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切 (1)求椭圆 C1 的方程 (2) 设椭圆 C1 的左焦点为 F 右焦点为 F2 , 直线 l1 过点 F 动直线 l2 1, 1 且垂直于椭圆的长轴, 垂直于直线 l1 ,垂足为点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方 程 (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0 ,求 QS 的取 值范围 解: (1) e ?

??? ? ??? ?

??? ?

c 3 ? ? a ? 3c a 3
?b

? l : y ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切

? dO ? l ?

2 2

?b ? 2

? a ? 3c

2 2 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 c 即 c ? 1 ,解得 c ? 1

?a ? 3
? C1 : x2 y 2 ? ?1 3 2

(2)由(1)可得 l1 : x ? ?1

? 线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M

? PM ? MF2 即 dM ?l1 ? MF2
? M 的轨迹为以 F2 为焦点, l1 为准线的抛物线,设为 y2 ? 2 px ? p ? 0?

? F2 ?1,0?

?p?2

?C2 : y 2 ? 4x
2 ??? ? ? y12 ? ? y2 ? 则所求 QS 为关于 y2 的函数, , y1 ? , S ? , y2 ? , ? 4 ? ? 4 ?

(3) 思路: 由已知可得 Q ? 0,0? , 设 R?

只需确定 y2 的范围即可,因为 QR ? RS ? 0 ,所以有可能对 y2 的取值有影响,可利用此条 件得到 y2 关于 y1 的函数,从而求得 y2 范围。

??? ? ??? ?

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解: C2 与椭圆的交点为 Q ? 0,0? ,设 R ?

2 ? y12 ? ? y2 ? , y1 ? , S ? , y2 ? ? 4 ? ? 4 ?

??? ? ? y 2 ? ??? ? ? y2 ? y2 ? 1 ? QR ? ? 1 , y1 ? , RS ? ? 2 , y2 ? y1 ? ? 4 ? ? 4 ?
2 ??? ? ??? ? y12 ? y2 ? y12 ? ? QR ? RS ? ? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0 ,因为 y1 ? y2 ,化简可得: 16

? 16 ? y2 ? ? ? y1 ? ? ① y1 ? ?
考虑 QS ?

??? ?

2 ? y2 ? 1 2 ? ? ? y2 ? 4 ? 4 ?
2

?y

2 2

? 8 ? ? 64
2

? 16 ? 256 2 2 256 由①可得 y ? ? y1 ? ? ? y1 ? 2 ? 32 ? 2 y1 ? 2 ? 32 ? 64 y1 ? y1 y1 ? ??? ? 1 2 2 2 y2 ? 8 ? ? 64 ? 8 5 ? y2 ? 64 时,可得 QS ? ? 4 ??? ? ? QS ? ? ?8 5, ??
2 2

?

例 5:已知椭圆 C : 距离的最大值为 8

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,左焦点为 F1 ,椭圆上的点到 F1 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的方程 (2)在(1)的条件下,过点 N 的直线 l 与圆 x ? y ? 36 交于 G , H 两点, l 与点 C 的轨
2 2

迹交于 P, Q 两点,且 GH ? ?8 2,2 34 ? ,求椭圆的弦 RQ 长的取值范围

?

?

解: (1)由离心率可得: e ? 依题意可得: a ? c ? 8

c 1 ? a 3

? a : b : c ? 3: 2 2 :1

? 可得: a ? 6, c ? 2

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 32

x2 y 2 ?1 ? 椭圆方程为: ? 36 32
(2)由(1)可得椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 不妨设 N ? 2,0? 36 32

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① 当直线斜率不存在时, GH ? 8 2 ,符合题意,可得: RQ ? ② 当直线斜率存在时, 设直线 l : y ? k ? x ? 2?

32 3

dO ? l ?

2k 1? k2
2 2

在圆 x ? y ? 36 中
2 2

1 ?1 ? d ? r ? ? GH ? ? 36 ? GH 4 ?2 ?
2 2
2

? ? GH ? ? ?8 2,2 34 ?
解得: k ? 1
2

4k 2 ?4 ? 可得: 2 ? d ? 4 ? 2 ? 1? k2

设 R ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,联立直线与椭圆方程:

? y ? k ? x ? 2? x2 1 2 2 ? 2 2 y ? k ? x ? 2? ? 1 消去 可得: ?x y 36 32 ?1 ? ? ? 36 32
? ? 9k 2 ? 8 ? x 2 ? 36k 2 x ? 36k 2 ? 288 ? 0
2 36k 2 36k 2 ? 288 36 ? k ? 8? ? x1 ? x2 ? 2 , x1x2 ? ? 9k ? 8 9k 2 ? 8 9k 2 ? 8

? RQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1x2

36 ? k 2 ? 8? ? 36k 2 ? ? 1? k ? ? 2 ? ? 4? 9k 2 ? 8 ? 9k ? 8 ?
? 1? k ?
2

?3 6k ?

2 2

? 4 ? 3?6 k 2?

? 9k
2

2

? 8?

??8 k 9? ?
2

8

2

?1 2 1 ? k2 ?

9k 4 ? ? 9 k 4? 6k 4 2?

? 9k
2

? 8?

6 ?4

2

? 12 1 ? k ?
2

64k 2 ? 64

?9k

2

? 8?

96k 2 ? 96 ? 9k 2 ? 8

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12 k2 12 ? 1 2? 2 ? 12 ? 8 9k ? 8 9? 2 k
由 k ? 1 可得:
2

32 192 ? RQ ? 3 17

综上所述: RQ 的取值范围是 ? , ? ? 3 17 ?

? 32 192 ?

x2 y 2 例 6:已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 , a b
? P 恰有两个,动点 动点 P 在椭圆上,且使得 ?F 1PF ? 90 的点

P 到焦点 F1 的距离的最大值为 2 ? 2
(1)求椭圆 C1 的方程 (2)如图,以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2 ,过直线 x ? ?2 2 上的动点 T ,作圆 C2 的两 条切线,设切点分别为 A, B ,若直线 AB 与椭圆 C1 交于不同的两点 C , D ,求 范围
? P 恰有两个 解: (1)? 使得 ?F 1PF ? 90 的点

AB CD

的取值

??F1PF2 的最大值为 90?
? ? P 为短轴顶点时, ?F 1PF ? 90

?b ? c

? a2 ? b2 ? c2 2? b2 ? a 2 ?

b2 ?

c

P 到焦点 F1 的距离的最大值为 a ? c ? 2 2

? a ? 2, c ? 2

? 椭圆 C1 的方程:

x2 y 2 ? ?1 4 2
2 2

(2)由椭圆方程可得圆 C2 : x ? y ? 4 设 T ?2 2, t , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由圆的性质可得:

?

?

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AT : x1x ? y1 y ? 4, BT : x2 x ? y2 y ? 4
代入 T ?2 2, t 可得: ?

?

?

? ??2 2 x1 ? ty1 ? 4 ? ??2 2 x2 ? ty2 ? 4

? A, B 满足方程 ?2 2x ? ty ? 4 ? 0

则 O 到 AB 的距离 dO ? AB ?

4 8 ? t2

2 ? AB ? 2 r 2 ? dO ? AB ? 4

t2 ? 4 t2 ? 8
? ? t 2 ? 16 ? y 2 ? 8ty ? 16 ? 0

下面计算 CD :联立方程 ? 设 C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

? ??2 2 x ? ty ? 4 ? ?x ? 2 y ? 4
2 2

? y3 ? y4 ?

8t 16 , y3 ? y4 ? ? 2 t ? 16 t ? 16
2

t2 t2 ? CD ? 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? ? 8 8
? AB CD ?4

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ?

4 ? t 2 ? 8? t 2 ? 16

t 2 ? 4 t 2 ? 16 t 2 ? 4 t 2 ? 16 ? ? ? t 2 ? 8 4 ? t 2 ? 8? t 2 ? 8 ? t 2 ? 8?
2

不妨设 m ? t ? 8? m ? 8?

AB CD


?

m3 ? 12m 2 ? 256 12 256 ? 1? ? 3 3 m m m

AB 1 1? ? ? s ? 0 ? s ? ? ,所以 ? 1 ? 12s ? 256s3 m 8 CD ? ?
3

设 f ? s ? ? 1 ? 12s ? 256s

f ' ? s ? ? 12 ? 768s 2 ? 0 ? s ?

1 8

? 1? ? f ? s ? 在 ? 0, ? 单调递增 ? 8?
所以 f ? s ? ? ?1,2? ,即

AB CD

? 1, 2 ? ?

?

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例 7:已知椭圆 C : (1)求椭圆方程

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且离心率 e ? 2 2 a b ? 2?

(2)若直线 l : y ? kx ? m? k ? 0? 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 的垂直平分 线过定点 G ? ,0 ? ,求 k 的取值范围 解: (1) e ?

?1 ?8

? ?

c 1 ? 可得: a : b : c ? 2 : 3 :1 a 2

? 椭圆方程为

x2 y2 ? 3? ? ? 1 ,代入 ?1, ? 可得: 2 2 4c 3c ? 2?

1 9 1 ? ? 2 ? 1 ? c2 ? 1 2 4c 4 3c

? 椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,联立方程可得:

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 ? ? y ? kx ? m
?? ? ? 8km ? ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 12 ? ? 64k 2 m2 ? 4 ?16k 2 m2 ? 48k 2 ? 12m2 ? 36 ?
2

? 4 ? 48k 2 ? 12m 2 ? 36 ? ? 0

? m2 ? 4k 2 ? 3
设 MN 中点 P ? x0 , y0 ? ,则 P ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2

x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3

3m ? ? ?4km ?P? 2 , 2 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 ?
则 MN 的中垂线为: y ?

3m 1? 4km ? ?1 ? ? ? ?x? 2 ? ,代入 ? ,0 ? 可得: 2 4k ? 3 k? 4k ? 3 ? ?8 ?

m??

1 ? 4k 2 ? 3? ,代入 m2 ? 4k 2 ? 3 可得: 8k

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? 1 ? 2 2 ?? 8k ? 4k ? 3?? ? 4k ? 3 ? ?
? 4k 2 ? 3 ? 64k 2 ? k 2 ? 1 20

2

?k ?

5 5 或k ? ? 10 10
? ? ? 5? ? 5 ? , ?? ? ? ? ? ? 10 ? ? ? 10 ?

即 k 的取值范围是 ? ??, ? ?

例 8: 在平面直角坐标系 xOy 中, 原点为 O ,抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,线段 AB 是抛物线

C 的一条动弦.
(1)求抛物线 C 的准线方程和焦点坐标 F ;
2 (2) 当 AB ? 8 时, 设圆 D : x 2 ? ( y ? 1)2 ? r( r ? 0) ,若存在且仅存在两条动弦 AB ,满足

直线 AB 与圆 D 相切,求半径 r 的取值范围? 解: (1)由抛物线 x 2 ? 4 y 可得: F ? 0,1? ,准线方程: y ? ?1 (2)设直线 AB : y ? kx ? b , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,联立方程:

? y ? kx ? b ? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ? 2 ?x ? 4 y
? x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4b
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 16k 2 ? 16b ? 8 ? 1 ? k 2 k 2 ? b ? 2

?b ?

4 ? k2 2 1? k

? AB 与圆相切

? d D ? AB ?

b ?1 1? k2

?r

?r ?

4 ? k2 ?1 2 1? k 1? k
2

,不妨令 t ? 1 ? k 2 , t ? 1

?4 ? t ,1 ? t ? 2 ? 4 4 ? t3 则 r ? 3 ? t ,令 f ? t ? ? 3 ? t ? ? t t ?t ? 4 , t ? 2 ? ? t3

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? ? f ?t ? 在 ? ?1, 2 ? 单调递减,在

?

2, ?? 单调递增

?

f ?1? ? 3
则若关于 k 的方程有两解,只需关于 t 的方程有一解

? r ? 3 时, y ? r 与 y ? f ? t ? 有一个交点 ?r ? 3

x2 y2 15 例 9: 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,F1 , F2 是椭圆的两个焦点,P a b 4
是椭圆上任意一点,且 ? PF1F2 的周长是 8 ? 2 15 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设圆 T : ? x ? t ? ? y ?
2 2

4 ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条 9

切线交椭圆于 E , F 两点, 当圆心在 x 轴上移动且 t ? ?1,3? 时, 求

EF 的斜率和取值范围
解: (1) e ?

c 15 ? a 4

?a : b : c? 4 : 1 : 1 5

? PF1F2 的周长 C ? F1F2 ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2c ? 8 ? 2 15 ? a ? 4, c ? 15
? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

?椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 16

(2) 由椭圆方程可得:M ? 0,1? , 设过 M 且与圆 T 相切的直线方程为 y ? ki x ? 1?i ? 1,2?

?d ?

ki t ? 1 ki2 ? 1

?r?

2 3
2

? 3 ki t ? 1 ? 2 ki2 ? 1 ? 9 ? ki t ? 1? ? 4 ? ki2 ? 1? ,整理可得:

? 9t

2

? 4 ? ki2 ? 18tki ? 5 ? 0

?两条切线斜率 k1 , k2 是方程 ? 9t 2 ? 4 ? k 2 ? 18tk ? 5 ? 0 的两根

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

联立直线 ME 与椭圆方程可得:

? y ? k1 x ? 1 2 2 消去 y 可得: ?1 ? 16k1 ? x ? 32k1 x ? 0 ? 2 2 ? x ? 16 y ? 16
? xE ? ? 32k1 32k2 ,同理可得: xF ? ? 2 2 1 ? 16k2 1 ? 16k1

? kEF ?

yE ? yF ? k1 xE ? 1? ? ? k2 xF ? 1? k1 xE ? k2 xF ? ? xE ? xF xE ? xF xE ? xF

? ? 32k1 ? 32k2 ? k1 ? ? ? ? k2 ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 16k1 ? 1 ? 16k2 ? ? ? ? k1 ? k2 ? 1 ? 16k1k2 ? 32k1 32k2 ? ? ? ?? 2 2 ? 1 ? 16k1 ? 1 ? 16k2 ?
2 2 由 9t ? 4 k ? 18tk ? 5 ? 0 可得: k1 ? k2 ? ?

?

?

18t 5 , k1k2 ? 2 2 9t ? 4 9t ? 4

18t 1 9t 2 ? 4 ? 6t ? k EF ? ? 6? 2 5 28 28 ? 3t 1 ? 16 ? 2 ? 3t 9t ? 4 t 1 设 f ?t ? ? 6 ? ,可知 f ? t ? 为增函数,? t ? ?1,3? 28 ? 3t t ?
? 6 ? ? kEF ? ? ,18 ? ? 25 ?
例 10:已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,其中 F1 , F2 为左右焦点,且离心率为 e ? , 2 a b 3

直线 l 与椭圆交于两不同点 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,当直线 l 过 椭圆 C 右焦点 F2 且倾斜角为

? 时,原点 O 到直线 l 的距离为 4

2 2
(1)求椭圆 C 的方程 (2)若 OP ? OQ ? ON ,当 ? OPQ 的面积为 解: (1)设直线 l : y ? x ? c

??? ? ????

????

???? ??? ? 6 时,求 ON ? PQ 的最大值 2

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? dO ? l ?

c 2

?

2 ? c ?1 2
? a ? 3c ? 3

?e ?

c 3 ? a 3

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2

x2 y 2 ?1 ? 椭圆方程为 ? 3 2
(2)若直线 l 斜率存在,设 l : y ? kx ? m , P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

??? ? ???? ???? ?OP ? OQ ? ON
联立方程: ?

?N ? x , y ?2 1 ? x 2 1? y
2 消去 y 可得: 2 x ? 3 ? kx ? m ? ? 6 ,整理可得: 2

? y ? kx ? m ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

? 3k

2

? 2 ? x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 6 ? 0
2

? ? ? 6km ? ? 4 ? 3k 2 ? 2 ?? 3m2 ? 6 ? ? 24 ? 3k 2 ? 2 ? m2 ? ? 0

?3k 2 ? 2 ? m2

? x1 ? x2 ? ?

6km 3m2 ? 6 , x x ? 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

4m ? 6km ? ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? k ? ? ? 2 ? ? 2m ? 2 3k ? 2 ? 3k ? 2 ? 4m ? ? 6km ?N ?? 2 , 2 ? ? 3k ? 2 3k ? 2 ?
考虑 PQ ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ? ? 4 x1x2 ?
2

2 6 ? 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 2 ? m2 3k 2 ? 2

dO ? l ?

m 1? k2

? S? OPQ

m 1 1 2 6 ? 1 ? k 2 ? 3k 2 ? 2 ? m2 6 ? PQ ? dO ?l ? ? ? ? 2 2 2 2 3k ? 2 2 1? k

2 m 3k 2 ? 2 ? m2 ? 3k 2 ? 2

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? 4m2 ? 3k 2 ? 2 ? m2 ? ? ? 3k 2 ? 2 ? ? ? 3k 2 ? 2 ? ? 4m2 ? 3k 2 ? 2 ? ? ? 2m2 ? ? 0
2 2 2

即 3k ? 2 ? 2m
2

?

2 2

?

?0

? 3k 2 ? 2 ? 2m2

4m ? ? 6km 4m ? ? 3k 2 ? ? 6km ?N ?? 2 , 2 ? ? ?? 2 , 2 ? ? ?? , ? ? 3k ? 2 3k ? 2 ? ? 2m 2m ? ? m m ?
9k 2 4 6m 2 ? 6 4 2 ? ON ? 2 ? 2 ? ? 2 ?6? 2 2 m m m m m
2

2m 2 ? 2 ? 2? m 1 ? ? ? 24 ?1 ? k 2 ?? 3k 2 ? 2 ? m2 ? 3 ? 2 2 ? PQ ?? ? 24 ? 4? 2 2 4 4m m ?3k 2 ? 2?

?? 2 ? ? 2 ?? 6 ? 2 ? ? ?4 ? 2 ?? ? ? 2 ?? 2 ? 2 2 m ? ? m ? ? ? ? 25 ? ON ? PQ ? ? 6 ? 2 ?? 4 ? 2 ? ? ? ? m ?? m ? ? 2 ? ? ? ? ? ?
2 2 ?4? 2 ?m?? 2 2 m m ???? ??? ? ? m ? ? 2 时 ON ? PQ 的最大值是 5
等号成立条件: 6 ? 当斜率不存在时, P, Q 关于 x 轴对称,设 P ? x0 , y0 ? x0 , y0 ? 0

2

? 6 2 2 x0 y0 1 6 ?x ? ? ? 1 可得: ? 0 ,再由 ? S? OPQ ? x0 ? 2 y0 ? x0 y0 ? 2 3 2 2 2 ?y ?1 ? 0 ???? ??? ? 可计算出 ON ? PQ ? 2 6 ? 5
所以综上所述 ON ? PQ 的最大值是 5 三、历年好题精选

???? ??? ?

1、已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的动点, F1 , F2 分别是双 8 4

曲线的左右焦点, O 为坐标原点,则 是( )

PF1 ? PF2 OP

的取值范围

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

A.

?0,6?

B.

? 2,

6? ?

C.

?1 6? ? , ? ?2 2 ?

D. ? 0,

? ?

6? ? 2 ?

2、 (2015,新课标 I)已知 M ? x0 , y0 ? 是双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 上的 2
) D. ? ?

两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是( A.

???? ? ???? ?

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ?

B.

? 3 3? , ?? ? 6 6 ? ?

C. ? ?

? 2 2 2 2? , ? 3 3 ? ?

? 2 3 2 3? , ? 3 3 ? ?

3、 ( 2014 , 四 川 ) 设 m ? R , 过 定 点 A 的 动 直 线 x ? my ? 0 和 过 定 点 B 的 动 直 线

mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ? x, y ? ,则 PA ? PB 的最大值是______
4、 (2016,广东省四校第二次联考)抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,已知点 A, B 为
2

抛物线上的两个动点, 且满足 ?AFB ? 120 , 过弦 AB 的
?

中点 M 作抛物线准线的垂线 MN , 垂足为 N , 则 最大值为( A. ) B.

MN AB



3 3

1

C.

2 3 3

D.

2

5、 (2016,贵州模拟)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶 a 2 b2

点为 A ,过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 F 1 是线段 QF 2 的中点,若果

A, Q, F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过定点 M ? 0, 2? 的直线 l1 与椭圆 C 交于 G , H 两点,且 MG ? MH .若实数 ? 满足

???? ? ???? ? 1 MG ? ? MH ,求 ? ? 的取值范围. ?
x2 y 2 6、 (2015,山东理)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a b


3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心,以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心,以 1 为半 2

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

径的圆相交,交点在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 , P 为椭圆 C 上的任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 4a 2 4b 2

圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ①求

| OQ | 的值;②求 ?ABQ 面积最大值. | OP |

7、 (2014,四川)已知椭圆 C : 长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与 a 2 b2

(2) 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P, Q ① 证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点)

② 当

TF PQ

最小时,求点 T 的坐标

8、 (2014,湖南)如图, O 为坐标原点,椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别 a 2 b2

x2 y2 为 F1 , F2 ,离心率为 e1 ;双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F3 , F4 , a b
离心率为 e2 ,已知 e1e2 ? (1)求 C1, C2 的方程 (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB, M 为 AB 的中点, 当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值 9、 (2014,山东)已知抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意
2

3 ,且 2

一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 FA ? FD ,当 A

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

的横坐标为 3 时, ? ADF 为正三角形 (1)求 C 的方程 (2)若直线 l1∥l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ① 证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标 ② ? ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由

10、 (淮安、 宿迁、 连云港、 徐州苏北四市 2016 届高三上期末) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左顶点为 A(?4,0) ,过点 A 作 2 2 a b

斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 D ,交 y 轴于点 E . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q ,对于任意的

y E D P A O M x

k (k ? 0) 都有 OP ? EQ ,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存
在说明理由; (3)若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ,求

AD ? AE 的最小值. OM
11 、 (南通市海安县 2016 届高三上期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 a2 b2
(1)若椭圆 C 经过点 (

6 ,1) ,求椭圆 C 的方程; 2
PA ? 2 ,求椭圆 C PF

(2)设 A? ?2,0 ? , F 为椭圆 C 的左焦点,若椭圆 C 存在点 P ,满足 的离心率的取值范围;

12、已知定点 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,曲线 C 是使 | RF 1 | ? | RF 2 | 为定值的点 R 的轨迹,曲 线 C 过点 T (0,1) . (1)求曲线 C 的方程;

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

(2)直线 l 过点 F2 ,且与曲线 C 交于 PQ ,当 ?F1 PQ 的面积取得最大值时,求直线 l 的方 程; (3)设点 P 是曲线 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 、 PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线

PM 交曲线 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围.
13、已知圆 M : x ? 2

?

?

2

x2 y 2 ? y ? r (r ? 0) ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 a b
2 2

圆 M 的圆心,离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

2 . 2

(2) 若存在直线 l : y ? kx , 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A, B 两点, 与圆 M 分别交于 G , H 两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 的半径 r 的取值范围.
2 2 1 14、已知 F1 、 F2 是椭圆 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,且离心率 e ? ,点 P 为椭 2 a b 4 ? 圆上的一个动点, ?PF F 的内切圆面积的最大值为 .

1 2

3

(1) 求椭圆的方程;

? ???? ???? ???? ???? (2) 若 A, B, C , D 是椭圆上不重合的四个点,满足向量 F1 A 与 FC 共线, 与 共 F D F B 1 1 1
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 线,且 AC ? BD ? 0 ,求 | AC | ? | BD | 的取值范围.

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

习题答案:

1、答案:B
解析:设 P ? x, y ? ,其中 x ? 0 ,由焦半径公式可得: PF 1 ? ex ? a, PF 2 ? ex ? a

?

PF1 ? PF2 OP
2

?

ex ? a ? ex ? a x2 ? y2

?

2ex x2 ? y2

x2 6 代入可得: ?y ? ? 4, e ? 2 2

PF1 ? PF2 OP

?

ex ? a ? ex ? a x2 ? y2

? x2 ?
?

6x x2 ?4 2
6

?

6 3 4 ? 2 x2

因为 x ? 8
2

所以解得

PF1 ? PF2 OP

3 4 ? 2 x2

? ? 2,6?

由对称性可知:当 x ? 0 时, 2、答案:A 解析:由 C :

PF1 ? PF2 OP

? ? 2,6?

x2 ? y 2 ? 1 可得 F1 ? 3,0 , F2 2

?

? ?

???? ? 3,0 ,所以 MF1 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ,

?

?

?

???? ? MF2 ?

?

???? ? ???? ? x2 2 2 2 2 2 3 ? x0 , ? y0 ,则 MF1 ? MF2 ? x0 ? 1 得:x0 ? 2 ? 2 y0 ? y0 ? 3 ? 0 ,由 0 ? y0 2

?

2 y ??? 代入到不等式: MF 1 ? MF 2 ? 3 y0 ? 1 ? 0 ,解得 0

???? ? ???? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

3、答案:5 解析:由两条动直线 ?

? x ? ? my 可得两条信息:①两个定点坐标 A? 0,0? , B ?1,3? , ? m ? x ? 1? ? y ? 3
2 2 2

且两条直线垂直, 垂足即为 P , 所以 ? PAB 为直角三角形, 可知 PA ? PB ? AB ? 10 ,

由均值不等式可得

PA PB ?

PA ? PB 2

2

2

? PA PB ?

PA ? PB 2

2

2

? 5 ,等号成

立当且仅当 PA ? PB 4、答案:A

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第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

解析:过 A, B 分别作准线的垂线,垂足设为 Q, P 设 AF ? a, BF ? b ,由抛物线定义可得: AF ? AQ , BF ? BP 在梯形 AQPB 中,可得 MN 为中位线

? MN ?

1 1 a?b AQ ? BP ? ? ? AF ? BF ? ? ? 2 2 2
2 2

由余弦定理可知在 ? ABF 中, AB ? AF

? BF ? 2 AF BF cos AFB ? a 2 ? b 2 ? ab

2

AB ? a 2 ? b 2 ? ab ? ? a ? b ? ? ab
2 2

?a?b? ? ab ? ? ? ? 2 ?
MN AB
2 2

2

? AB ? ? a ? b ?
2

2

? a ? b? ?
4

2

?

3 2 ? a ? b? 4

1 2 ? a ? b ? 1 MN 3 ?4 ? ? ? 3 2 ? a ? b ? 3 AB 3 4

5、解析:设椭圆 C 的半焦距为 c ? c ? 0? 由F 1 为线段 F2Q 中点, AQ ? AF2

2c ? a 所以 A, Q, F2 三点圆的圆心为 F 1 ? ?c,0? ,半径为
又因为该圆与直线 l 相切,所以

?c ? 3 ? 2c ? c ? 1 2

x2 y 2 ? ? 1; 所以 a ? 4, b ? 3 ,故所求椭圆方程为 4 3
2 2

(2)若 l1 与 x 轴不垂直,可设其方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程
2 2 2 可得 3 ? 4k x ? 16kx ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0 ,得 k ?

x2 y 2 ? ?1 4 3

?

?

1 4

设 G ? x1 , y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,根据已知,有 x1 ? ? x2

?16k ? x ? x ? 1 ? ? x ? ? ? 1 2 2 ? ? 3 ? 4k 2 于是 ? ? x x ? ? x2 ? 1 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

消去 x2

?1 ? ? ? ,可得
?

2

?

64k 2 3 ? 4k 2

因为 k ?
2

64k 2 64 1 ? ? ? 4,16 ? ,所以 2 3 4 3 ? 4k 4? 2 k
2

?1 ? ? ? 即有
?

???

1

?

? 2 ? ? 4,16 ? ,有 ? ?
3 2

1

?

? ? 2,14 ?

6、解析: (1)? 椭圆离心率为

?e ?

c 3 , a : b : c ? 2 :1: 3 ? a 2

? 左、右焦点分别是 F1 (? 3b,0), F2 ( 3b,0) ,
圆 F1 : ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 9, 圆 F2 : ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 1, 由 两 圆 相 交 可 得 2 ? 2 3 , 即 1? b? 4

3 b ? 2, 交 点

(

2 2 2 , ? 1? ( ) ), 3b 3b
1? ( 2 ? 3b) 2 3b ?1, b2
2

4 ? 3b ? 4b 2
2

2 整理得 4b ? 5b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1, b 2 ?
4

1 (舍去) 4

故 b ? 1, a ? 4, 椭圆 C 的方程为
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)① 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1, 16 4

设点 P( x0 , y0 ) ,满足

y x0 2 ? y0 2 ? 1 ,射线 PO : y ? 0 x( xx0 ? 0) , 4 x0

代入

(?2 x0 ) 2 ? (?2 y0 ) 2 x2 y 2 | OQ | ? ? 1 可得点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) ,于是 ? ? 2. 16 4 | OP | x0 2 ? y0 2

② 点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) 到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍:

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

d?

| ?2kx0 ? 2 y0 ? m | 1? k
2

?3

|m| 1? k 2

? y ? kx ? m ? 2 ,得 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 16 ,整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4

? ? 64k 2m2 ?16(4k 2 ? 1)(m2 ? 4) ? 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) ? 0
| AB |? 1? k 2 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) 1 ? 4k 2

1 1 | m| | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 2 S? ? | AB | d ? ? 3 ? ? 4 16k ? 4 ? m ? 6 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 m 2 ? 1 6k 2 ? 4 ? m 2 , ?6 ? ?1 2 2(4 k2 ? 1 )
当且仅当 | m |? 16k 2 ? 4 ? m2 , m2 ? 8k 2 ? 2 等号成立. 而直线 y ? kx ? m 与椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 有交点 P,则 4

? y ? kx ? m 有解,即 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 4,(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 有解, ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4
其判别式 ?1 ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(1 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,即 1 ? 4k ? m ,则
2 2

上述 m ? 8k ? 2 不成立,等号不成立,
2 2

设t ?

|m| 1 ? 4k 2
2

? (0,1] ,则 S? ? 6
2

| m | 16k 2 ? 4 ? m2 ? 6 (4 ? t )t 在 (0,1] 为增函数, 1 ? 4k 2

于是当 1 ? 4k ? m 时 S? max ? 6 (4 ?1) ?1 ? 6 3 ,故 ?ABQ 面积最大值为 12. 7、解析: (1)由已知可得: ?

? ?a ? 3b ? ? 2c ? 2 a ? b ? 4
2 2

解得: a ? 6, b ? 2
2 2

x2 y2 ? ?1 椭圆方程为: 6 2
(2)① 由(1)可得: F ? ?2,0? ,设 T ? ?3, m?

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? kTF ?

m?0 ? ?m ?3 ? ? ?2 ?

所以设 PQ : x ? my ? 2 , P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,联立椭圆方程可得:

? x2 y2 ?1 ? ? ? ? m2 ? 3? y 2 ? 4my ? 2 ? 0 2 ?6 ? x ? my ? 2 ?
4m 2 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?3 m ?3 12 ? x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? ? 2 m ?3 ? y1 ? y2 ?
设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ? ?

6 4m ? ? , 2 ? 2 ? m ? 3 m ? 3?
m 3

? kOM ? ?

m 3

? OT 的斜率 kOT ? ?

?M 在 OT 上,即 OT 平分 PQ
② 由①可得: TF ?

m2 ? 1

由弦长公式可得: PQ ?

m2 ? 1 y1 ? y2 ? m2 ? 1 ?
2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2

2 ?? 4m ?2 ?2 ? 2 6 ? m ? 1? m ? 1 ? ?? 2 ?? ? ? 4? 2 m ? 3? m2 ? 3 ?? m ? 3 ? ? ?

m2 ? 3 ? ? m ?1? ? PQ 2 6 ? m 2 ? 1? TF
2

? m ? 3? ? 24 ? m ? 1?
2 2 2

1 ? 2 4 ? ? 4? ?m ?1? 2 24 ? m ?1 ?

?

1 ? ?2? 24 ?

?m
2

2

? 1? ?

? 4 3 ? 4? ? m ?1 3 ?
2

等号成立当且仅当 m ? 1 ?

4 ? m ? ?1 m ?1
2

?

TF PQ

最小时, T 点的坐标为 ? ?3,1? , ? ?3, ?1?

8、解析: (1)由 e1e2 ?

3 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a 4 ? b4 3 可得: ? ? ? 2 2 a a a 2

? a 4 ? b4 ?

3 4 a ? a 2 ? 2b2 4

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

?a : b ? 2 :1
? F2 ? b,0 ? , F4

?

3b,0

?
?b ? 1

F2 F4 ? 3b ? b ? 3 ? 1
?a ? 2
? C1 :

x2 x2 ? y 2 ? 1, C2 : ? y 2 ? 1 2 2

(2)由(1)可得: F1 ? ?1,0? ,设直线 AB : x ? my ? 1 ,联立方程可得:

? x ? my ? 1 ? 2 ? ? m2 ? 2 ? y 2 ? 2my ? 1 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? y1 ? y2 ?

2m 1 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?2 m ?2 4 m ?2
2

? x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ?

2 m ? ? ? AB 中点 M ? ? 2 , 2 ? ? m ?2 m ?2?
? PQ : y ? ? m x 即 mx ? 2 y ? 0 2

与双曲线联立方程可得:

m ? y ? ? x ? 4 m2 ? 2 2 2 2 2 ? 2 ? m x ? 4 ? x ? , y ? ? ? ? 2 2 ? m2 2 ? m2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

? PQ ? 2 x 2 ? y 2 ? 2

m2 ? 4 2 ? m2

设点 A 到直线 PQ 的距离为 d ,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d

? 2d ?

mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 m2 ? 4

,因为点 A, B 在直线 mx ? 2 y ? 0 的异侧

?? mx1 ? 2 y1 ?? mx2 ? 2 y2 ? ? 0
? mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 ? mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 ? ? m 2 ? 2 ? y1 ? y2

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ?
m2 ? 4

2

? 4 y1 y2 ?
?

2 2 ? 1 ? m2 m2 ? 2

?m ? 2d ?

2

? 2 ? y1 ? y2

2 2 1 ? m2 m2 ? 4

? S四边形APBQ ?
2

1 2 2 ? 1 ? m2 3 ? PQ ? 2d ? ?2 2? ?1 2 2 2 ? m2 2?m
? m ? 0 时, Smin ? 2

由0 ? 2 ? m ? 2

综上所述:四边形 APBQ 面积的最小值为 2 9、解析: (1)依题意可知 F ?

?p ? ? p ? 2t ? ,0 ? ,设 D ? t,0??t ? 0? ,则 FD 的中点为 ? ,0 ? ?2 ? ? 4 ?

? FA ? FD
由抛物线定义可知: 3 ?

p p ? t ? ,解得: t ? 3 ? p 或 t ? ?3 (舍) 2 2

?

p ? 2t ? 3? p ? 2 4

?抛物线方程为: y 2 ? 4 x

(2)① 由(1)可得 F ?1,0 ? ,设 A? x0 , y0 ? , D ? xD ,0?

? FA ? FD ? D ? x0 ? 2,0?

? xD ? 1 ? x0 ? 1 ? xD ? x0 ? 2

? AB 的斜率为 k AB ? ?
设直线 l1 : y ? ?

y0 2

? 直线 l1∥l

y0 x ? b ,代入抛物线方程: 2

y2 ?

8 y 8b ? ?0 y0 y0

? l1 和 C 有且只有一个公共点 E

?? ?

64 32b 2 ? ?0?b?? 2 y0 y0 y0 4 4 , xE ? 2 y0 y0

设 E ? xE , yE ? ,则可得: yE ? ?

2 当 y0 ? 4 时, k AE ?

y E ? y0 4y ? 2 0 xE ? x0 y0 ? 4

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? AE : y ? y0 ?

4 y0 ? x ? x0 ? 2 y0 ?4

2 ? y0 ? 4 x0 ,整理可得:

y?

4 y0 ? x ? 1? 2 y0 ?4

? AE 恒过点 F ?1,0?

2 当 y0 ? 4 时,可得: AE : x ? 1 ,过点 F ?1,0?

? AE 过点 F ?1,0?
② 由①可得: AE 过点 F ?1,0 ?

? AE ? AF ? EF ? x0 ?
设 AE : x ? my ? 1

1 ?2 x0

? A? x0 , y0 ? 在直线 AE 上,? m ?
设 B ? x1 , y1 ?

x0 ? 1 y0 y0 2 ? x ? x0 ? ? x ? ? y ? 2 ? x0 2 y0

直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ?

代入抛物线方程可得: y ?
2

8 y ? 8 ? 4 x0 ? 0 y0

? y0 ? y1 ? ?

8 8 4 ? y1 ? ? y0 ? , x1 ? ? x0 ? 4 y0 y0 x0

? d B ? AE ?
? S? ABE ?
x0 ?

? 4 8? ? x0 ? 4 ? m ? y0 ? ? ? 1 x0 y0 ? ? 1 ? m2

?

4 ? x0 ? 1? x0

? 1 ? ? 4 ? x0 ? ? ? x0 ? ? ?

? 1 ? 1 ?? 1 ? 4 ? x0 ? x0 ? ? 2 ? ? ? 2 ? x0 x0 ? ? ? ??
x0 ? 1 1 1 ? 2, x0 ? ? 2 x0 ? ?2 x0 x0 x0

1 ? 2? x0

? S? ABE

1 ? ? x0 ? x 1 ? 0 ? x0 ? 1 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 16 ,等号成立当且仅当 ? 2 ?x ? 1 0 ? x0 ?

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

0) 可得 a ? 4 ,又 e ? 10、解析: (1)由左顶点为 A(?4,
又因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , 所以椭圆 C 的标准方程为

1 ,所以 c ? 2 2

x2 y2 ? ? 1. 16 12

? x2 y 2 x 2 [ k ( x ? 4)]2 ?1 , ? ? ? ? 1. (2)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,由 ?16 12 消元得, 16 12 ? y ? k ( x ? 4), ?
化简得, ( x ? 4)[(4k 2 ? 3) x ? 16k 2 ? 12)] ? 0 ,

?16k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3 ?16k 2 ? 12 ?16k 2 ? 12 24k y ? k ( ? 4) ? 2 当x? 时, , 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?16k 2 ? 12 24k ?16k 2 12k , ) ( , ), 所以 D( . 因为点 为 的中点,所以 的坐标为 P AD P 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 3 则 kOP ? ? (k ? 0) 4k
所以 x1 ? ?4 , x2 ? 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,令 x ? 0 ,得 E 点坐标为 (0, 4k ) , 假设存在定点 Q(m, n)(m ? 0) ,使得 OP ? EQ , 则 kOP kEQ ? ?1 ,即 ?

3 n ? 4k ? ? ?1 恒成立, 4k m

?4m ? 12 ? 0, ?m ? ?3, 所以 (4m ? 12)k ? 3n ? 0 恒成立,所以 ? 即? ??3n ? 0, ?n ? 0,
因此定点 Q 的坐标为 (?3,0) . (3)因为 OM ? l ,所以 OM 的方程可设为 y ? kx ,

? x2 y 2 ?1 , 4 3 ? ? 由 ? 16 12 得 M 点的横坐标为 x ? ? 4k 2 ? 3 ? y ? kx ?
由 OM ? l ,得

AD ? AE xD ? xA ? xE ? xA xD ? 2 xA ? ? OM xM xM

?16k 2 ? 12 ?8 2 1 6 1 4k 2 ? 9 4 k ? 3 ? ( 4k 2 ? 3 ? )≥ 2 2 , ? ? ? 2 3 4 3 3 4k ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

当且仅当 4k 2 ? 3 ?

6 4k 2 ? 3

即k ? ?

3 时取等号, 2

所以当 k ? ?

3 AD ? AE 时, 的最小值为 2 2 . 2 OM

11、解析: (1)依题意可得: 2c ? 2 ? c ? 1

? a 2 ? b2 ? 1
将(

3 1 6 ,1) 代入椭圆方程可得: 2 ? 2 ? 1 2a b 2

?a 2 ? b 2 ? 1 ?a 2 ? 3 ? ? 解得: ? 2 ?? 3 1 ? ?b ? 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 2a

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2

2 2 x0 y0 (2)可知 F ? ?1,0? ,设 P ? x0 , y0 ? ,可知: 2 ? 2 ? 1 a b



PA ? 2 可得: PA2 ? 2 PF 2 PF

2 2 2 2? 2 2 ? ? x0 ? 2 ? ? y0 ? 2 ?? x0 ? 1? ? y0 ,整理可得: x0 ? y0 ?2 ? ?
2 2 ? x0 ? y0 ?2 ? 2 2 y ?x 2 ? 2a 2 ? a 2b 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 2 ? 1? ? a 2 ? 3 ? a 2 ? 联立方程: ? 0 ? 0 ? 1 ,可解得: x0 2 2 b ?a 2 ?a ? b 2 ? 1 ?

? x0 ???a, a?

2 ? x0 ? a2 ,即 0 ? a 2 ? 3 ? a 2 ? ? a 2

? 2 ? a2 ? 3 ? 2 ? a ? 3
?e ? c 1 ? 3 2? ? ?? , ? a a ? 3 2 ?
2

12、解析: (1)? RF 1 ? RF 2 ? TF 1 ? TF2 ? 2 ( 3 ) ? 1 ? 4 ? F 1 F2 ? 2 3

2分

? 曲线 C 为以原点为中心, F1 , F2 为焦点的椭圆
设其长半轴为 a ,短半轴为 b ,半焦距为 c ,则 2c ? 2 3 ,? a ? 2, c ? 3, b ? 1

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? 曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y 2 ? 1 ,得 4

4分

(2)设直线 l 的为 x ? my ? 3, 代入椭圆方程

(4 ? m2 ) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0 ,计算并判断得 ? ? 0 ,

? 2 3m y ? y4 ? ? ? ? 3 4 ? m2 设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) ,得 ? ?y y ? ? 1 3 4 ? 4 ? m2 ?
? PQ ? ( x 3 ? x 4 ) 2 ? ( y3 ? y 4 ) ? (1 ? m 2 )[( y3 ? y 4 ) 2 ? 4 y3 y 4 ?
4(1 ? m 2 ) 4 ? m2

F1 到直线 l 的距离 d ?
1 2

2 3 1? m
2

,设 t ? 1 ? m ,则 t ? 1
2

? S ?F1PQ ? | PQ | ?d ? 4 3 ?

1 ? m2 4 ? m2

?

4 3t t2 ? 3

?

4 3 ?2 3 t? t

当 t 2 ? 3,即m2 ? 2, m ? ? 2 时,面积最大

? ?F1 PQ 的面积取得最大值时,直线 l 的方程为:

x ? 2y ? 3 ? 0和 x ? 2y ? 3 ? 0 9 分

???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? = ???? ? ???? ? , ???? = ???? ? (3)由题意可知: ???? ???? | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:
2

m( 4 x0 ?16) ? 3x0 ?12 x0 ,
2 3

3 x0 , 4 3 3 而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 2 2
因为 x0 ? 4 ,所以 m ?
2

13、解析:(1)设椭圆的焦距为 2C,因为 a= 2 ,

c 2 ? , a 2

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

? c ? 1, b ? 1,所以椭圆 C 的方程为
(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 联立直线与椭圆方程得:

x2 ? y 2 ? 1. 2

? y ? kx 2 ,则 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? ? 2 2 2 1 ? 2 k x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
8 8(1 ? k 2 ) , | AB |? (1 ? k ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

M( 2, 0 )到直线 l 的距离 d ?

| 2k | 1? k2



?| GH |? 2 r 2 ?
轴与已知矛盾,

2k 2 ,显然若点 H 也在直线 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 1? k2

? 要使得|AG|=|BH|,
只要|AB|=|GH|,

?2 r2 ?

2k 2 8(1 ? k 2 ) k4 2 ? r ? 2(1 ? ), ? 2k 4 ? 3k 2 ? 1 1? k2 1 ? 2k 2
2,

当 k ? 0 时, r ?

当 k ? 0 时, r 2 ? 2(1 ?

1 2?3 1 1 ? ( 2 )2 2 k k

),

?

1 1 1 1 1 ? 0 ? ( 2 ) 2 ? 3( 2 ) ? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2?r? 3 2 1 1 k k k ( 2 )2 ? 3( 2 ) ? 2 2 k k

综上 2 ? r ? 3 . 14、解析:(1)由几何性质可知:当 ?PF 1F 2 内切圆面积取最大值时, 即 S?PF1F2 取最大值,且 ( S ?PF1F2 ) max
2 由? r ?

1 ? 2c ? b ? bc . 2

4 2 3 ? 得r ? 3 3

第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何

又 C?PF1F2 ? 2a ? 2c 为定值, S ?PF1F2 ? 综上得

r C?PF1F2 , 2

bc 2 3 ; ? 2a ? 2c 3
c 1 ? ,可得 a ? 2c ,即 b ? 3c , a 2

又由 e ?

经计算得 c ? 2 , b ? 2 3 , a ? 4 ,

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆方程为 16 12
(2) ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线垂直于 x 轴时, | AC | ? | BD |? 6 ? 8 ? 14 . ②当直线 AC 斜率存在但不为 0 时,

??? ?

??? ?

? y ? k ( x ? 2) ? 设 AC 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,由 ? x 2 y 2 消去 y 可得: ? ? 1 ? ?16 12

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,
代入弦长公式得:

???? 24(k 2 ? 1) | AC |? , 3 ? 4k 2

1 ? y ? ? ( x ? 2) ? 1 2 1 1 ? k 同理由 ? 2 消去 y 可得 (3 ? 4 2 ) x ? 16 2 x ? 16 2 ? 48 ? 0 , 2 k k k ?x ? y ?1 ? ?16 12

??? ? 24(k 2 ? 1) 代入弦长公式得: | BD |? , 3k 2 ? 4
所以 | AC | ? | BD |?

????

??? ?

168(k 2 ? 1) 2 ? (3 ? 4k 2 )(4 ? 3k 2 ) 12 ?

168 1 1 ? 2 k ? 1 (k ? 1) 2
2

???? ??? ? 96 1 49 2 ? t ? (0,1) ? t ? t ? 12 ? (12, ] | AC | ? | BD |? [ ,14) , ,则 ,所以 k 2 ?1 4 7 ??? ? ??? ? 96 由①②可知, | AC | ? | BD | 的取值范围是 [ ,14] . 7


第九章

第 73 炼 求参数的取值范围

解析几何


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