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江苏省泰兴市第一高级中学2014-2015学年高一上学期期末模拟考试(一)数学试题


泰兴市第一高级中学2014秋学期高一年级期末模拟考试(一)

数学试卷
一、填空题(每题 5 分) 1.已知集合 M ? ?x y ? lg x? , N ? x y ? 1 ? x 2 ,则 M∩N=_____________. 2. 已知扇形的中心角为 120°,半径为 3. 已知幂函数 y=f(x)的图象过点 4. ( ,则此扇形的面积为 ,则

f(2)= . . . . .

?

?

1 ) 81

3 ? 4

5 ? 2 lg 4 ? lg = 8

5. 已知向量 a ? (1,?4), b ? ( x,8) ,若 a // b ,则 x= 6.已知 sin(? ? 45?) ? ?

2 ,且 0? ? ? ? 90? ,则 cos 2? 的值为 10

? ? ? ? 7.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ? ,那么 | a ? 3b | 等于
8. log2 sin



?
12

? log2 cos

?
12

的值为

.

9.已知角 ? 的终边经过点(-8,-6),则 10. 将函数 f ( x) ? 2 cos( ?

1 ? cos 2? ? sin 2? = cos(? ? ? )

.

x 3

?
6

) 的图象向左平移


? 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 4

g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式为

c-b 2A 11.在△ABC 中,sin = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边), 2 2c
则△ABC 的形状为 ____.

12.如图 , AB 是半径为 3 的圆 O 的直径 , P 是圆 O 上异于 A, B 的一 点, Q 是线段 AP 上靠近 A 的三等分点 , 且 AQ ? AB ? 4, 则 BQ ? BP 的值为 .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

13. 在直角坐标系中, 如果两点 A(a, b), B(?a, ?b) 在函数 y ? f ( x) 的图象上, 那么称 ? A, B? 为函数 f ( x ) 的一组关于原点的中心对称点( ? A, B? 与 ? B, A? 看作一组).

? ? ?cos x , x ? 0 则函数 f ( x) ? ? 关于原点的中心对称点的组数为 2 ? ?log4 ( x ? 1), x ? 0



?? x2 ? 2ax; x ? 1 7 a ? 0 , f ( x ) ? ,若方程f ( x) ? a 2 ,有且仅有两个不等实 14.已知实数 ? 16 ?log3 x, x ? 1
根,且较大的实根大于 3,则实数 a 的取值范围为 二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? .

1 x

的定义域为集合 A,集合 B ? {x | ax ? 1 ? 0, a ? N *} ,集合

C ={x | log1 x ? 1} ,且 C ? (A∩B). ≠
2

(1)求 A∩C;

(2)求 a .

16. (本小题满分 15 分) 已知向量 m ? ? sin 2 x, ? 1? ,向量 n ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (2)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, A 为锐角,a ? 13, c ? 2 ,且 f ( A) 恰 是 f ( x) 在 ? 0,

??

?

?

3 cos 2 x, ? 0.5 ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m .

?

? ?? 上的最大值,求 A 和 b . ? 4? ?

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x

? m ? 0? 的最大值为 2.

(1)求函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的单调递减区间;

π π (2)△ABC 中, f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B ,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 4 4 且 C=60° , c ? 3 ,求△ABC 的面积.

18.(本小题满分 16 分) 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生 产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
项 目 类 别

年固定成本 20 40

每件产品成本 m 8

每件产品销售价 10 18

每年最多可生产的件数 200 120

A 产品 B 产品

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定, 预计 m ? [6,8] ,另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美元的特别关税,假设生产出来 的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函 数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.

19.(本小题满分 16 分) 如图,A,B 是单位圆上的相异两定点(O 为圆心),且 ?AOB ? ? (?为锐角 ) .点 C 为单位圆上 的动点,线段 AC 交线段 OB 于点 M. (1)求 OA ? AB (结果用 ? 表示); (2)若 ? ? 60? (1)求 CA ? CB 的取值范围; (2)设 OM ? tOB(0 ? t ? 1) ,记

S ?COM ? f (t ), 求函数 f(x)的值域. S ?BMA

20. (本小题满分 16 分) 已知 f (log2 x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? a , a ? R . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 的值域; (3)设 h( x) ? 2
?x

f ( x) , a ? 0 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

a ?1 成立, 2

求 a 的取值范围.

高一数学期末模拟考试(一)参考答案
1(0,1] 2、π 3、8 4、28 5、-2

6、

x ? 10、g ( x) ? 2 cos( ? ) ? 1 3 4

7 25

7、 7

8、-2

9、 5

14

11、直角三角形

12、24

13、2

?4 7 ? ? ,4? ? 14、 ? 7 ?

15. (本小题满分 14 分) 解: (1)A= (0,??) ……2 分 C= (0, ) ……4 分

1 2

1 A ? C ? (0, ) ……6 分 2 1 * (2) B= (?? , ) a ? N ……8 分 a 1 A ? B ? (0, ) ……9 分 a

? A? B ∵C ≠
?0 ? a ? 2

?

1 1 ? 又 a>0 a 2

……12 分

a? N*

∴a=1……14 分

2 16、解: (1) f ( x) ? m ? n ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x cos 2 x ?

?

?? ? ??

?

1 ……2 分 2

?
?T ?

1 ? cos 4 x 3 1 ?? ? ?1? sin 4 x ? ? sin ? 4 x ? ? ? 2 ,……………… 4 分 2 2 2 6? ?
2? ? ? . 4 2
……………… 6 分

(2) 由(1)知: f ( x) ? sin(4 x ? 当 x ? ?0,

?
6

)?2,

? ? 5? ? ?? 时, ? ? 4 x ? ? ? 6 6 6 ? 4?
?
6 ?

?当 4x ?

?
2

时 f ( x) 取得最大值 3 ,此时 x ?

?
6

.………………10 分

? 由 f ( A) ? 3 得 A ?

? . 6

2 2 2 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A



?

13

?

2

? b 2 ? 22 ? 2 ? 2b cos

?
6

, ∴ b ? 3 3 .………………14 分

17. (本题满分 14 分)

解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .……………………2 分
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .…………………………4 分 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2

? k ? Z? ,

π 5π 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ? k ? Z ? .………………………6 分 4 4 ?π ? 所以 f ( x) 在 ?0,π? 上的单调递减区间为 ? , π ? . ……………………7 分 ?4 ?

(2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2R ?

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60?

π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .……………………………9 分

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② ………11 分 将①式代入②,得 2 ? ab? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

3 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去) .…………………………13 分 2
3 3 1 .……………………………………………14 分 S?ABC ? ab sin C ? 4 2

18. (本小题满分 16 分) 解: (1) y1 ? 10x ? (20 ? mx) ? (10 ? m) x ? 20 0 ? x ? 200 且 x ? N ……3 分

y2 ? 18x ? (8x ? 40) ? 0.05x 2 ? ?0.05x 2 ? 10x ? 40 0<x≤120 且 x ? N
(2)∵ 6 ? m ? 8 ∴ 10 ? m ? 0

……6 分

∴ y1 ? (10 ? m) x ? 20为增函数 又 0 ? x ? 200, x ? N ∴x=200 时,生产 A 产品有最大利润(10-m)×200-20=1980-200m(万美元) ……9 分

y2 ? ?0.05x 2 ? 10x ? 40 ? ?0.05( x ? 100) 2 ? 460 0 ? x ? 120, x ? N
∴ x ? 100 时,生产 B 产品有最大利润 460(万美元)……12 分

( y1 ) max ? ( y2 ) max ? 1980? 200m ? 460 ? 1520? 200m
?? 0,6 ? m ? 7.6 ? ……14 分 ?? 0, m ? 7.6 ?? 0,7.6 ? m ? 8 ?
∴当 6 ? m ? 7.6 当 7.6 ? m ? 8 m=7.6 投资 A 产品 200 件可获得最大利润 投资 B 产品 100 件可获得最大利润 ……16 分

生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润

19.解:(1) OA ? AB ?| OA || AB | cos(? ? ?OAB) ……………………………2 分

? ? | AB | cos ?OAB ? ?2 sin 2
(2)当 ? ? 60? 时, OA ? OB ?

?
2

……………………………4 分

1 2

(I) CA ? CB ? (OA ? OC) ? (OB ? OC)

? OA ? OB ? OA ? OC ? OC ? OB ? 1 ………………………5 分
设 ?BOC ? ? ,由条件知, ? ? [0, 所以, CA ? CB ?

2? ], 3

3 ? 3 1 3 ? cos( ? ? ) ? cos? ? ? cos? ? sin ? ? cos? 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 1 ? cos? ? sin ? ? ? 3 ( cos? ? sin ? ) 2 2 2 2 2 2
3 ? ? 3 cos( ? ? ) 2 6
……………………………7 分

?
?
因为 ? ? [0,

2? ? 3 3 ] ,所以 cos(? ? ) ? [? , ] 3 6 2 2

………………9 分

所以, CA ? CB ?[0,3] (II)设 AM ? ? AC(0 ? ? ? 1) ,则

……………………………10 分

OM ? OA ? AM ? OA ? ? AC ? (1 ? ?)OA ? ?OC ? tOB
所以 OC ?

t

?

OB ?

1? ?

?

OA 1? ?

由 OC ? 1 可得, |

t

?

OB ?

?

OA |? 1 ,

即( ) ? (
2

t

1? ?

?

?

)2 ? 2 ?

t

?

?

1? ?

?

? OA ? OB ? 1 ,整理得 ? ?

t2 ? t ?1 2?t

所以,

CM 1 ? ? 1? t2 ? ? 2 , AM ? t ? t ?1

……………………………12 分

S ?COM OM ? CM t 1? t2 t2 ? t ? ? ? 2 ? 2 所以 S ?COM MB ? AM 1 ? t t ? t ? 1 t ? t ? 1
t2 ? t (0 ? t ? 1) 即 f (t ) ? 2 t ? t ?1
而 f (t ) ? ……………………………14 分

t2 ? t 2t ? t ?1? 2 2 t ? t ?1 t ? t ?1

令 2t ? 1 ? a(?1 ? a ? 1),g (a) ? 1 ?

a ( a ?1 2 a ?1 ) ? ?1 2 2

?1?

4a , a ?3
2

当 a=0 时,g(0)=1; 当 a ? 0 时, g (a) ? 1

4 3 a? a

,利用单调性定义可证明函数 y ? a ?

3 在(-1,0)和 a

(0,1)都是递减的,因此, a ? 所以,函数 f (t ) ?

3 3 ? 4或a ? ? ?4, a a

t2 ? t (0 ? t ? 1) 值域是(0,2). t2 ? t ?1
t

………………16 分

20.解:⑴设 log2 x ? t ,则 x ? 2

? f (t ) ? a(2t )2 ? 2 ? 2t ? 1 ? a ? f ( x )? a ( x2 2 ) ? ? 2x ? 2 ?a 1;
⑵设 2 ? m(m ? 0) ,则 g (m) ? am ? 2 ? m ? 1 ? a(m ? 0)
t 2

┄┄┄┄┄3 分

当 a ? 0 时,

1 ? 0 ,? g (m) 的值域为 (??,1 ? a) a

当 a ? 0 时, g (m) ? ?2m ? 1,? g ( m) 的值域为 (??,1) 当 a ? 0 时,

1 1 1 ? 0 , g (m) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增 a a a 1 ┄┄┄┄┄6 分 ? g (m) 的值域为 [1 ? a ? , ??) a

综上,当 a ? 0 时 f ( x ) 的值域为 (??,1 ? a)

当 a ? 0 时 f ( x ) 的值域为 [1 ? a ?

1 , ??) ; a

┄┄┄┄┄7 分

⑶由题 h( x) ? a ? 2x ? 2 ? (1 ? a) ? 2? x ? 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

a ?1 2

? h( x) 在 [0,1] 满足 h( x) max ? h( x) min ?

a ?1 ┄┄┄┄┄9 分 2 1 1? a 1 x ? 2 , s ? [ , 2] 设 2 ? s ( s ? [ , 2]) ,则 h( x) ? r ( s ) ? as ? 2 s 2 1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时 r ( s) 在区间 [ , 2] 单调递增 2 4 1 a ?1 3 3 3 a ?1 ? a? ? a? ? r (2) ? r ( ) ? ? a ? (舍去) 5 2 2 2 2 2 2 当 a ? 1 时,不合题意 ┄┄┄┄┄11 分 当 0 ? a ? 1 时,


1? a 1 4 1 ? 即 ? a ? 1 时, r (s) 在区间 [ , 2] 单调递增 2 a 2 5

1 a ?1 3 3 3 a ?1 ? a? ? a? ? r (2) ? r ( ) ? 2 2 2 2 2 2


?a? 4
5

?a?

4 5

1 1? a 1 1? a 1? a 1 4 ? ? 2 即 ? a ? 时 r ( s) 在 [ , ] 递减,在 [ , 2] 递增 5 5 2 a 2 a a

? 1? a a ?1 )? ?r (2) ? r ( 5? 7 4 a 2 ? ?a? ?? ? 8 5 ?r ( 1 ) ? r ( 1 ? a ) ? a ? 1 ? a 2 ? 2


┄┄┄┄┄14 分

1? a 1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时 r (s) 在区间 [ , 2] 单调递减 2 5 a
┄┄┄15 分

2 1 a ?1 3 3 3 a? 1 ?? a ? ( a ? ) ? ? r ( ) ? r (2) ? ? a ? (舍去) 7 2 2 2 2 2 2
综上所述: a ? [

5? 7 4 , ] 8 5

┄┄┄┄┄16 分


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