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2.1 平面向量的实际背景及基本概念


第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念

同学们都知道,数学是一门基础学科,是解

决其他一些学科问题的有力工具.其实数学的很
多理论是由其他学科的一些知识抽象而来的.成

为理论后又反过来对其他学科起作用.比如同学
们学习的物理,它与数学就有非常密切的关系.

老鼠由A向东北方向以每秒6米的 速度逃窜,如果猫由B向正东方 向以每秒10米速度追赶,那么猫 能否抓到老鼠?为什么?

嘻嘻!大笨 猫!

唉, 哪儿去了?

A B

1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念.(重点) 2.能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量 是否平行、共线、相等.(重点、难点)

课堂探究 1 向量的物理背景与概念

请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小 又有方向的量.

在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些

量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长
度、质量等.还有一些量,如我们在物理中所学习 的位移、力是既有大小又有方向的量,例如:物体 受到的重力是竖直向下的(图2.1-1),物体的质 量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的

浮力是竖直向上的(图2.1-2);被拉长的弹簧的
弹力是向左的(图2.1-3),被压缩的弹簧的弹力 是向右的(图2.1-4),并且在弹性限度内,弹簧 拉长或压缩的长度越大,弹力越大.

一、向量的定义 既有大小,又有方向的量叫做向量.
数量只有大小,可以进行代数运算、比较大小;向量有方 向,大小,不能比较大小.

思考:时间,路程,功, 速度,加速度是向量 吗?为什么?

课堂探究 2 二、向量的表示方法 B(终点)

A(起点)
方向、 长度 ) (1)几何表示法: 有向线段(起点、
?? (2)字母表示法: a,b, AB

问题1:“向量就是有向线段,有向线段就是向
量.”的说法对吗? 不对,①向量只有大小和方向两个要素;与起点 无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是 相同的向量;②有向线段有起点、大小和方向三

个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是
不同的有向线段.

课堂探究 3 三、向量的有关概念 1.向量的长度(模):向量AB的大小,也就是向量 的长度(或称模). 记作 |AB|
??? ? AB

2.两个特殊向量:

零向量---长度为0的向量叫做零向量,记作 0.
单位向量---长度等于1个单位的向量,叫做单 位向量. 问:在平面上把所有单位向量的起点平移到同 一点P,那么它们的终点的集合组成什么图形?

P

例1.如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置, 在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移,并 求出A地至B,C两地的实际距离(精确到1km).

解:AB

表示A地至B地的位移,且 200km.

??? ? AB ?
??? ? AC ?

AC 表示A地至C地的位移,且

280km.

课堂探究 4

四、向量间的关系
(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相 等向量. ? ? 记作: a=b
a
b

. o

(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行 ? 向量.
如:

? 规定: 0 与任一向量平行.
C OA = a OB = b

a ? b ? c

平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c

.
O

A

B

l

OC = c

问:把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ,这时它们是不是平行向量? 各向量的终点与直线l之间有什么关系?

问题2:两个向量是否可以比较大小? 向量不能比较大小,我们知道,长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向 量之间只有相等关系,没有大小之分,对于向 量 a ,b , a ? b 或 a ? b 这种说法是错误的.

例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写

???? ??? ? ??? ? 出图中与 OA, OB, OC 相等的向量.
???? ??? ? ???? 解:OA ? CB ? DO; ??? ? ??? ? ??? ? OB ? DC ? EO; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OC ? AB ? ED ? FO.

方向相同 长度相等

1.下列命题中正确的是( C )
? ? ? ? A. | a |?| b |? a ? b

? ? ? ? B. | a |?| b |? a ? b

? ? ? ? C. a ? b ? a // b

D.单位向量都相等

2.如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形 BCMF是平行四边形,请分别写出: (1)与CM长度相等且共线的向量;(2)与ED相等 的向量;
A

解:(1)DE,BF,FB,FA,
AF,ED,MC (2)FB,AF,MC
B F E M

D

C

3.已知边长为2的等边三角形ABC,求BC边上的中线 ???? 向量 AD 的模.

?? ?2 2 2 解 : |AD| = 2 - 1 ?? ? 所以| AD |= 3

向量的概念; 向量的表示方法; 零向量、单位向量的概念; 平行向量的定义; 相等向量的定义;

共线向量与平行向量的关系.

无论哪个时代,青年的特点总是怀抱着各 种理想和幻想。这并不是什么毛病,而是 一种宝贵品质。 ——加里宁


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