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数学状元之路数学必修五课时作业27


第三章
不等式

3. 3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时作业(27)

简单线性规划的应用

作业 目标 作业 设计

掌握线性规划的方法,能解决一些线性规划的综合 问题和线性规划的实际应用问题.

限时

:40 分钟 满分:90 分

一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1. 利用图解法求线性规划问题时, 目标函数值等于 0 时表示 的直线与可行域的某一条边界平行时,则( A.有无穷多个最优解 B.有唯一确定的最优解 C.无最优解 D.最优解的个数不能确定 )

解析:目标函数值等于 0 时表示的直线与可行域的某一条边 界平行,当平移直线与边界直线重合时,取得最值.

答案:A

2. 某学校用 800 元购买两种教学用品, A 种用品每件 100 元, B 种用品每件 160 元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最 少,A,B 应各买的件数为( A.2,4 C.4,2 ) B.3,3 D.不确定

解析:设买 A 种用品 x 件,B 种用品 y 件,剩下的钱为 z 元. ? ?x≥1, ?y≥1, 则? * x , y ∈ N , ? ? ?100x+160y≤800,

z = 800 - 100x- 160y 最小时的整

? ?x=3, 数解(x,y)即为所求,由可行域可得? ? ?y=3.

答案:B

3. 在“家电下乡”活动中, 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近 的乡镇.现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型 货车运输费用 400 元, 可装洗衣机 20 台; 每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花 的最少运输费用为( A.2 000 元 C.2 400 元 ) B.2 200 元 D.2 800 元

解析:设需使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,运输费用 z ? ?20x+10y≥100, ?0≤x≤4, 元,根据题意,得线性约束条件? ?0≤y≤8, * * ? ?x∈N ,y∈N .

求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值.
? ?x=4, 解得当? ? ?y=2

时,zmin=2 200.

答案:B

?x+2y-19≥0, ? 4.设二元一次不等式组?x-y+8≥0, ?2x+y-14≤0 ?

所表示的平面区

域为 M, 则使函数 y=ax(a>0, a≠1)的图像过区域 M 的 a 的取值 范围是( ) B.[2, 10] D.[ 10,9]

A.[1,3] C.[2,9]

解析:区域 M 是三条直线相交构成的三角形区域,显然 a> 1,只需研究过(1,9),(3,8)两种情形,故有 a1≤9,且 a3≥8,即 2≤a≤9.

答案:C

5.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨,生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原 料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,销售每吨乙产品可 获得利润 3 万元, 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 B.20 万元 D.27 万元 )

解析:设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,则获得的利润为 z =5x+3y. ?x≥0,y≥0, ? 由题意得?3x+y≤13, ?2x+3y≤18, ?

可行域如下图阴影所示.

由图可知,当 x,y 在 A 点取值时,z 取得最大值,此时 x=3, y=4,z=5×3+3×4=27(万元).

答案:D

6.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要 2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍, 且对每个项目的投 3 资不能低于 5 万元.对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利 润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润.该公司正确 规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( A.36 万元 C.30.4 万元 B.31.2 万元 D.24 万元 )

解析:设甲、乙两项目的投资分别为 x,y,利润为 z, ?0<x+y≤60, ? ?x≥2y, 则? 3 ?5≤x≤60, ? ?5≤y≤60,

目标函数为 z=0.4x+0.6y,可行域如下图阴影部分所示.

作直线 l0:0.4x+0.6y=0,平移 l0 经过点 A 时,z 最大.

2 ? ?x= y, 由? 3 得 A(24,36), ? ?x+y=60 所以 zmax=0.4×24+36×0.6=31.2, 故获得的最大利润为 31.2 万元.

答案:B

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束 ?5x-11y≥-22, ? 条件?2x+3y≥9, ?2x≤11, ?

则 z=10x+10y 的最大值是__________.

解析: 先画出满足约束条件的可行域, 如图中阴影部分所示.
? ?5x-11y=-22, 由? ? ?2x=11, ? ?x=5.5, 解得? ? ?y=4.5,

但 x∈N*,y∈N*,结合图知当 x=5,y=4 时,zmax=90.

答案:90

8. 某实验室需购某种化工原料 106 千克, 现在市场上该原料 有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元,另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元,在满足需要的条件下,最少要花费 __________元.

解析:设第一种为 x 袋,第二种为 y 袋,总的花费为 z 元, 由题意知 35x+24y≥106(x,y 均为整数), z=140x+120y, 其中 x=0,1,2,3,4,相应 y 值和花费如下: x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500; x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540; z=4,y=0,z=560. 易知最少需花费 500 元.

答案:500

9.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石 CO2 的排 放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁, 若要求 CO2 的排放量不超 过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为__________(万元).

解析:设购买铁矿石 A 为 x 万吨,购买铁矿石 B 为 y 万吨, ? ?0.5x+0.7y≥1.9, ?x+0.5y≤2, 所花费用为 z,由题意可知? ?x≥0, ? ?y≥0,

? ?5x+7y≥19, ?2x+y≤4, 即? ?x≥0, ? ?y≥0.

可行域如图中阴影部分所示.

1 z 目标函数 z=3x+6y,即 y=-2x+6.在 A 点处 z 有最小值.
? ?5x+7y=19, 由? ? ?2x+y=4 ? ?x=1, 得? ? ?y=2.

故 A(1,2),

∴zmin=3×1+6×2=15.

答案:15

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.某工厂制造 A 种仪器 45 台,B 种仪器 55 台,现需用薄 钢板给每台仪器配一个外壳.已知钢板有甲、乙两种规格:甲种 钢板每张面积 2 m2, 每张可作 A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个.乙种钢板每张面积 3 m2,每张可作 A 种仪器外壳 6 个和 B 种仪器外壳 6 个,问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省? (“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)

解:设用甲种钢板 x 张,乙种钢板 y 张, ?x,y∈N, ? 依题意?3x+6y≥45, ?5x+6y≥55, ? 作出可行域如图所示.

钢板总面积 z=2x+3y.

由图可知当直线 z=2x+3y 过点 P 时,z 最小.
? ?3x+6y=45, 由方程组? ? ?5x+6y=55, ? ?x=5, 得? ? ?y=5.

所以甲、乙两种钢板各用 5 张用料最省.

11. 某公司计划 2012 年在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广 告收费标准分别为 500 元/分和 200 元/分, 假定甲、 乙两个电视台 为该公司所做的广告,每分钟能给公司带来的收益分别为 0.3 万 元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时 间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分 ? ?x+y≤300, ?500x+200y≤90 000, 钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得? ?x≥0, ? ?y≥0, 目标函数为 z=3 000x+2 000y.

? ?x+y≤300, ?5x+2y≤900, 二元一次不等式组等价于? ?x≥0, ? ?y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域如图所 示.

当在 M 点时,目标函数取得最大值.
? ?x+y=300, 由? ? ?5x+2y=900,

解得 x=100,y=200,

∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 故该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分 钟广告时,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

12. 某人上午 7: 00 时, 乘摩托车以匀速 v 千米/时(4≤v≤20) 从 A 地出发到相距 50 千米的 B 地去,然后乘汽车以匀速 w 千米/ 时(30≤w≤100)自 B 地向相距 300 千米的 C 地驶去,要求在当天 16:00 时至 21:00 时这段时间到达 C 地.设汽车所需要的时间 为 x 小时,摩托车所需要的时间为 y 小时.

(1)写出满足上述要求的 x,y 的约束条件; (2) 如果途中所需的经费为 p ,且 p = 100 + 3(5 - x) + 2(8 - y)(元),那么 v,w 分别是多少 时所需的经费最少?此时需花费多少元?

50 300 解: (1)依题意得: v= y , w= x , 又 4≤v≤20,30≤w≤100, ? ?3≤x≤10, ?5 25 ? 所以 2≤y≤ 2 , ? ? ?9≤x+y≤14, 影部分.

所以满足条件的点的范围是图中阴

(2)∵p=100+3×(5-x)+2×(8-y), ∴3x+2y=131-p, 作出一组平行直线 3x+2y=t(t 为参数), 由图可知,当直线 3x+5y=t 经过点(10,4)时,其在 y 轴上截 距最大, 此时 p 有最小值, 即当 x=10, y=4 时, p 最小, 此时 v=12.5, w=30,pmin=93 元.


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