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第28讲算术平均数与几何平均数


名师作业·练全能 名师作业 练全能 第二十八讲 算术平均数与几何平均数

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.若 0<x<1,则 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3 )

解析:∵0<x<1,∴4-3x>0, 1 1 3x+4-3x?2 4 ∴x(4-3x)= ·3x(4-3x)≤ ·? 3 3? 2 ? =3, 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时取得等号. 3 答案:D 1 4 2.若 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是( x y A.3 C.9 B.6 D.12 y 4x · =9. x y )

1 4 y 4x 解析:x+y=(x+y)? x+y?=5+ + ≥5+2 ? ? x y 答案:C

3.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3x+27y+1 的最小值为( A.3 C.1 B.5 D.7

)

解析:由 x+3y-2=0 得 3y=-x+2, ∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3 9 =3x+ x+1≥2 3 9 3x· x+1=7. 3
-x +2

+1

9 当且仅当 3x= x,即 3x=3,即 x=1 时取得等号. 3 答案:D x 4.函数 f(x)= 的最大值为( x+1 2 A. 5 1 B. 2 )

C.

2 2

D.1

2 1 x+1 ( x) +1 1 1 解析:由已知条件得 = = = x+ ,因为 x>0,所以有 x+ ≥2, f(x) x x x x

当且仅当 x= 答案:B

1 1 1 即 x=1 时取“=”,故 ≥2,所以 0<f(x)≤ ,故选 B. 2 f(x) x

1 5.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( x A.有最大值 C.是增函数 B.有最小值 D.是减函数

)

1 2 2 解析:令导函数 f′(x)=2- 2=0,得 x=- .当 x∈?-∞,- ?时,f′(x)>0,故原 x 2 2? ? 函数 f(x)在 x∈?-∞,-

?

2 2? 上是增函数;同理当 x∈[- ,0)时,f(x)是减函数,故 f(x)= 2 2?

1 2 2x+ -1(x<0)有最大值 f?- ?=-2 2-1. x ? 2? 答案:A 6.若 a、b、c 都是正数,设 m= a2+b2 a+b 2 ,n= ,q= ab,r= ,那么 m、n、 2 1 1 2 + a b

q、r 的大小顺序是( A.m≥n≥q≥r C.m≥n≥r≥q

) B.m≥q≥n≥r D.n≥q≥m≥r a2+b2 a+b ≥ , 2 2

a+b 解析:∵ ≥ ab, 2 而

2 2ab 2ab = ≤ = ab, 1 1 a+b 2 ab + a b

故 m≥n≥q≥r. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之 和最小,则这两个数应分别为________. 解析:设填入的两个自然数为 x、y,则 x+4y=30. 1 1 1 ?30 30? 1 ?x+4y x+4y? 1 4y x 3 + = + = y ? 30? x + y ?=30(1+ x +y+4)≥10. x y 30? x 4y x 当且仅当 = ,即 x2=4y2 时,取等号,由 x+4y=30 得 x=10,y=5. x y

答案:10,5 点评:本题主要考查基本不等式及变形技巧.其中先配凑出 30,然后用 x+4y 去代换, 是顺利解题的关键思路. 8.三个数 a、b、c 成等比数列,若 a+b+c=1 成立,则 b 的取值范围为________. 解析:∵a+b+c=1,∴b=1-(a+c). 当 a、c 同为正数时,a+c≥2 ac=2|b|, 1 ∴b≤1-2|b|,解得 b∈[-1,0)∪(0, ]. 3 当 a、c 同为负数时,-(a+c)≥2|b|, ∴b≥1+2|b|,无解. 1 答案:[-1,0)∪?0,3? ? ? 9.如图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个 10 克的砝码.一个患者 想要买 20 克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者; 然后又将砝码放在右盘中,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者一次实际购买 的药量为 m 克,则 m________20 克.(请选择填“>、=或<”)

解析:设两次售货员分别在盘中放置 m1、m2 克药品,则

?① ?10b=m a ?② ?m=m +m ?
10a=m1b
2 1

)
2

①×②:100ab=m1m2·ab,m1m2=100, ∵m1≠m2,∴m=m1+m2>2 m1m2=20. 答案:> 10.(2011·东城)在实数集 R 中定义一种运算“*”,具有性质: ①对任意 a,b∈R,a*b=b*a; ②对任意 a∈R,a*0=a; ③对任意 a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c, 则 1] 1 ;函数 f(x)=x* (x>0)的最小值为________. x

1 解析:在③中,令 c=0 以及结合①②得,(a*b)*0=0]1,x)=x+ +1,又 x>0,所以有 x f(x)≥2 1 x× +1=3,即 f(x)的最小值是 3. x 3

答案:5

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=2,求证: a+1+ b+1+ c+1<4. a2+b2 1+a+1 a ,得 1· a+1≤ ,即 a+1≤ +1. 证明:证法一:由 ab≤ 2 2 2 b c 同理: b+1≤ +1, c+1≤ +1. 2 2 a b c 因此 a+1+ b+1+ c+1≤ +1+ +1+ +1=4. 2 2 2 由于三个不等式中的等号不能同时成立,故 a+1+ b+1+ c+1<4. 证法二:因为(a+b)2-2(a2+b2)=-(a-b)2≤0,所以 a+b≤ 2(a2+b2). 由 a+b≤ 2(a2+b2),得 a+1+ b+1≤ 2(a+1+b+1). 同理: c+1+1≤ 2(c+1+1), 所以 a+1+ b+1+ c+1+1 ≤ 2(a+b+2)+ 2(c+2)≤ 4(a+b+c+4) = 24<5.故结论成立. x2+7x+10 12.(1)求 y= (x>-1)的最小值; x+1 (2)已知 x>0,y>0,且 3x+4y=12.求 lgx+lgy 的最大值及相应的 x,y 值. 解析:(1)∵x>-1,∴x+1>0 x2+7x+10 (x+1)2+5(x+1)+4 ∴y= = x+1 x+1 4 =(x+1)+ +5≥2 x+1 4 (x+1)?x+1?+5=9.

?

?

4 当且仅当 x+1= 即 x=1 时,“=”成立. x+1 x2+7x+10 ∴当 x=1 时,函数 y= (x>-1)的最小值为 9. x+1 (2)∵x>0,y>0,且 3x+4y=12, 1 3x+4y?2 1 =3. ∴xy= (3x)·(4y)≤ ? 12? 2 ? 12

∴lgx+lgy=lgxy≤lg3. 3 当且仅当 3x=4y=6 即 x=2,y= 时“=”成立. 2 3 ∴当 x=2,y= 时,lgx+lgy 取最大值 lg3. 2 13.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴 影部分),这两栏的面积之和为 18000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空 白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位: cm),能使矩形广告面积最小?

解析:解法一:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm, 则 ab=9000.① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+ 2 25a·40b=18500+2 1000ab=24500. 当且仅当 25a=40b 时等号成立, 5 此时 b= a,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.

y-25 解法二:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, , 2 其中 x>20,y>25. y-25 18000 两栏目面积之和为 2(x-20) =18000,由此得 y= +25. 2 x-20 18000 18000x 广告的面积 S=xy=x? x-20+25?= ? ? x-20 +25x, 360000 整理得 S= +25(x-20)+18500. x-20 因为 x-20>0,所以 S≥2 360000 ×25(x-20)+18500=24500. x-20

360000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立, x-20 此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 18000 +25,得 y=175. x-20

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.


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