当前位置:首页 >> 建筑/土木 >>

第28讲算术平均数与几何平均数


名师作业·练全能 名师作业 练全能 第二十八讲 算术平均数与几何平均数

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.若 0<x<1,则 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3 )

解析:∵0<x<1,∴4-3x>0, 1 1 3x+4-3x?2 4 ∴x(4-3x)= ·3x(4-3x)≤ ·? 3 3? 2 ? =3, 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时取得等号. 3 答案:D 1 4 2.若 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是( x y A.3 C.9 B.6 D.12 y 4x · =9. x y )

1 4 y 4x 解析:x+y=(x+y)? x+y?=5+ + ≥5+2 ? ? x y 答案:C

3.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3x+27y+1 的最小值为( A.3 C.1 B.5 D.7

)

解析:由 x+3y-2=0 得 3y=-x+2, ∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3 9 =3x+ x+1≥2 3 9 3x· x+1=7. 3
-x +2

+1

9 当且仅当 3x= x,即 3x=3,即 x=1 时取得等号. 3 答案:D x 4.函数 f(x)= 的最大值为( x+1 2 A. 5 1 B. 2 )

C.

2 2

D.1

2 1 x+1 ( x) +1 1 1 解析:由已知条件得 = = = x+ ,因为 x>0,所以有 x+ ≥2, f(x) x x x x

当且仅当 x= 答案:B

1 1 1 即 x=1 时取“=”,故 ≥2,所以 0<f(x)≤ ,故选 B. 2 f(x) x

1 5.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( x A.有最大值 C.是增函数 B.有最小值 D.是减函数

)

1 2 2 解析:令导函数 f′(x)=2- 2=0,得 x=- .当 x∈?-∞,- ?时,f′(x)>0,故原 x 2 2? ? 函数 f(x)在 x∈?-∞,-

?

2 2? 上是增函数;同理当 x∈[- ,0)时,f(x)是减函数,故 f(x)= 2 2?

1 2 2x+ -1(x<0)有最大值 f?- ?=-2 2-1. x ? 2? 答案:A 6.若 a、b、c 都是正数,设 m= a2+b2 a+b 2 ,n= ,q= ab,r= ,那么 m、n、 2 1 1 2 + a b

q、r 的大小顺序是( A.m≥n≥q≥r C.m≥n≥r≥q

) B.m≥q≥n≥r D.n≥q≥m≥r a2+b2 a+b ≥ , 2 2

a+b 解析:∵ ≥ ab, 2 而

2 2ab 2ab = ≤ = ab, 1 1 a+b 2 ab + a b

故 m≥n≥q≥r. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之 和最小,则这两个数应分别为________. 解析:设填入的两个自然数为 x、y,则 x+4y=30. 1 1 1 ?30 30? 1 ?x+4y x+4y? 1 4y x 3 + = + = y ? 30? x + y ?=30(1+ x +y+4)≥10. x y 30? x 4y x 当且仅当 = ,即 x2=4y2 时,取等号,由 x+4y=30 得 x=10,y=5. x y

答案:10,5 点评:本题主要考查基本不等式及变形技巧.其中先配凑出 30,然后用 x+4y 去代换, 是顺利解题的关键思路. 8.三个数 a、b、c 成等比数列,若 a+b+c=1 成立,则 b 的取值范围为________. 解析:∵a+b+c=1,∴b=1-(a+c). 当 a、c 同为正数时,a+c≥2 ac=2|b|, 1 ∴b≤1-2|b|,解得 b∈[-1,0)∪(0, ]. 3 当 a、c 同为负数时,-(a+c)≥2|b|, ∴b≥1+2|b|,无解. 1 答案:[-1,0)∪?0,3? ? ? 9.如图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个 10 克的砝码.一个患者 想要买 20 克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者; 然后又将砝码放在右盘中,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者一次实际购买 的药量为 m 克,则 m________20 克.(请选择填“>、=或<”)

解析:设两次售货员分别在盘中放置 m1、m2 克药品,则

?① ?10b=m a ?② ?m=m +m ?
10a=m1b
2 1

)
2

①×②:100ab=m1m2·ab,m1m2=100, ∵m1≠m2,∴m=m1+m2>2 m1m2=20. 答案:> 10.(2011·东城)在实数集 R 中定义一种运算“*”,具有性质: ①对任意 a,b∈R,a*b=b*a; ②对任意 a∈R,a*0=a; ③对任意 a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c, 则 1] 1 ;函数 f(x)=x* (x>0)的最小值为________. x

1 解析:在③中,令 c=0 以及结合①②得,(a*b)*0=0]1,x)=x+ +1,又 x>0,所以有 x f(x)≥2 1 x× +1=3,即 f(x)的最小值是 3. x 3

答案:5

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=2,求证: a+1+ b+1+ c+1<4. a2+b2 1+a+1 a ,得 1· a+1≤ ,即 a+1≤ +1. 证明:证法一:由 ab≤ 2 2 2 b c 同理: b+1≤ +1, c+1≤ +1. 2 2 a b c 因此 a+1+ b+1+ c+1≤ +1+ +1+ +1=4. 2 2 2 由于三个不等式中的等号不能同时成立,故 a+1+ b+1+ c+1<4. 证法二:因为(a+b)2-2(a2+b2)=-(a-b)2≤0,所以 a+b≤ 2(a2+b2). 由 a+b≤ 2(a2+b2),得 a+1+ b+1≤ 2(a+1+b+1). 同理: c+1+1≤ 2(c+1+1), 所以 a+1+ b+1+ c+1+1 ≤ 2(a+b+2)+ 2(c+2)≤ 4(a+b+c+4) = 24<5.故结论成立. x2+7x+10 12.(1)求 y= (x>-1)的最小值; x+1 (2)已知 x>0,y>0,且 3x+4y=12.求 lgx+lgy 的最大值及相应的 x,y 值. 解析:(1)∵x>-1,∴x+1>0 x2+7x+10 (x+1)2+5(x+1)+4 ∴y= = x+1 x+1 4 =(x+1)+ +5≥2 x+1 4 (x+1)?x+1?+5=9.

?

?

4 当且仅当 x+1= 即 x=1 时,“=”成立. x+1 x2+7x+10 ∴当 x=1 时,函数 y= (x>-1)的最小值为 9. x+1 (2)∵x>0,y>0,且 3x+4y=12, 1 3x+4y?2 1 =3. ∴xy= (3x)·(4y)≤ ? 12? 2 ? 12

∴lgx+lgy=lgxy≤lg3. 3 当且仅当 3x=4y=6 即 x=2,y= 时“=”成立. 2 3 ∴当 x=2,y= 时,lgx+lgy 取最大值 lg3. 2 13.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴 影部分),这两栏的面积之和为 18000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空 白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位: cm),能使矩形广告面积最小?

解析:解法一:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm, 则 ab=9000.① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+ 2 25a·40b=18500+2 1000ab=24500. 当且仅当 25a=40b 时等号成立, 5 此时 b= a,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.

y-25 解法二:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, , 2 其中 x>20,y>25. y-25 18000 两栏目面积之和为 2(x-20) =18000,由此得 y= +25. 2 x-20 18000 18000x 广告的面积 S=xy=x? x-20+25?= ? ? x-20 +25x, 360000 整理得 S= +25(x-20)+18500. x-20 因为 x-20>0,所以 S≥2 360000 ×25(x-20)+18500=24500. x-20

360000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立, x-20 此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 18000 +25,得 y=175. x-20

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.


相关文章:
第28讲算术平均数与几何平均数
名师作业·练全能 名师作业 练全能 第二十八讲 算术平均数与几何平均数 班级___ 姓名___ 考号___ 日期___ 得分___ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每...
第40讲算数平均数和几何平均数
算术平均数与几何平均数(第... 10页 5财富值 第28讲算术平均数与几何平.....注重双基,回归课本 第 40 讲均值定理一、教学目标:掌握两个重要不等式及其各种...
算术平均数与几何平均数(二)
6.2算术平均数与几何平均数... 28页 免费 算术平均数与几何平均数(第... ...为了讲好平均值定理这节内容,在紧扣新教材的前提下,对例题作适当的调 整,适当...
第二册上6.2《算术平均数与几何平均数》第二课时
6.2算术平均数与几何平均数... 28页 免费 6.2 算术平均数与几何平均... 9页 1财富值 6.2算术平均数与几何平均数... 16页 免费 第6章§6.2 算术平均...
算术平均数与几何平均数
第六章 第二讲 算术平均数... 45页 5财富值 算术平均数与几何平均数课.....6.2算术平均数与几何平均数... 28页 免费喜欢此文档的还喜欢 6.2《算术平均...
...一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数
高考风向标文科数学一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数_专业资料。...1 +1 x+1 -x2+63x+28 3 1 于是年利润 y=年销售收入-年成本-年广告...
...一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数
高考风向标文科数学一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数_专业资料。...1+1 x+1 -x2+63x+28 3 1 于是年利润 y=年销售收入-年成本-年广告费...
算术平均数与几何平均数 - 高二数学同步辅导教材(第2讲)
算术平均数与几何平均数 - 高二数学同步辅导教材(第2讲)_专业资料。高二数学同步辅导教材(第 2 讲)一、本讲进度 6.2 算术平均数与几何平均数 二、本讲主要...
算术平均数与几何平均数 - 高二数学同步辅导教材(第2讲)
算术平均数与几何平均数 - 高二数学同步辅导教材(第2讲)_专业资料。高二数学同步辅导教材(第 2 讲)一、本讲进度 6.2 算术平均数与几何平均数 二、本讲主要...
...第3讲 算术平均数与几何平均数]
【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第5章 第3讲 算术平均数与几何平均数]_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测...
更多相关标签: