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2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题四 立体几何 第1讲空间几何体


第1讲

空间几何体

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两个考向:1.三视图几乎是每年的必 考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或 由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算等,均属低中档题 .2. 对于空间几何体的表面积与体积, 由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、 锥与球的接 切问题相结合,特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点, 题型一般为选择题或填空题.

1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关 系.

2. 空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视 图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线. 3. 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),

z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段, 直观图中仍分别平行于坐标轴. 平行于 x 轴和 z 轴的 线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4. 空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); 1 ②S 锥侧= ch′(c 为底面周长,h′为斜高); 2 1 ③S 台侧= (c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长,h′为斜高); 2 ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 ③V 台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 ④V 球= πR3. 3

考点一 三视图与直观图的转化 例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧视图可能为 ( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

答案

(1)B (2)D

解析

(1)底面为正三角形,一侧棱垂直于底面.由虚线知可

能有一侧棱看不见. 由题知这个空间几何体的侧视图的底面边 长是 3,故其侧视图只 可能是选项 B 中的图形. (2)如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的投影为 B,故选 D.

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法 得到的三个平面投影图, 因此在分析空间几何体的三视图问题时, 先根据俯视图确定几 何体的底面, 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 调整实线和虚 线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. (1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐 标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平 面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )

(2)(2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

答案 解析

(1)A (2)D (1)根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选 A.

(2)根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线, 因此俯视图不可能是 D. 考点二 几何体的表面积及体积 例2 (1)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( )

A.8

B.6 2

C.10

D.8 2

(2)(2013· 浙江 ) 若某几何体的三视图 ( 单位: cm) 如图所示,则此几何体的体积等于 ________ cm3.

答案

(1)C (2)24

解析

(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥, SA⊥平面 ABC, △ABC

中∠ABC=90° ,SA=AB=4,BC=3,因此图中四个面的三角形均为 直角三角形,SB=4 2,AC=5,S△SAC=10,S△SAB=8,S△SBC=6 2, S△ABC=6,所以最大面积是 10. (2)由三视图可知,其直观图为: AB=4,AC=3,∠BAC=90° , ∴BC=5. 作 AH⊥BC 于 H, AB· AC 12 AH= = . BC 5 作 A1M⊥BB1 于 M,A1N⊥CC1 于 N.连接 MN. 1 12 1 V= ×(5×3)× +(3×4)× ×2=24. 3 5 2 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是 关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放 在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何 体以易于求解. (1)(2013· 江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.200+9π C.140+9π

B.200+18π D.140+18π

(2)(2012· 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

答案 解析

(1)A (2)38 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成.

1 V=10×4×5+ ×π×32×2=200+9π. 2 (2)将三视图还原为直观图后求解. 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱, 所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π=38. 考点三 多面体与球 例3 如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对 角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一 个球面上,则该球的体积为 ( )

A.

3 π 2

B.3π

C.

2 π 3

D.2π

要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定 球心的位置,由于△BCD 是直角三角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角 形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点 A 的距离等于这个点到 B,C,D 的距 离即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可. 答案 A 解析 如图,取 BD 的中点 E,BC 的中点 O, 连接 AE,OD,EO,AO. 由题意,知 AB=AD,所以 AE⊥BD. 由于平面 ABD⊥平面 BCD,AE⊥BD, 所以 AE⊥平面 BCD.

因为 AB=AD=CD=1,BD= 2, 所以 AE= 2 1 3 ,EO= .所以 OA= . 2 2 2

1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD= BC= , 2 2 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 4 3 3 所以该球的体积 V= π( )3= π.故选 A. 3 2 2 多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元 素间的关系, 或只画内切、 外接的几何体的直观图, 确定球心的位置, 弄清球的半径(直 径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a, PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2 求解. (1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ( ) 3 . 2

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上,则这个球的表面积是________.

答案 解析

(1)D (2)16π (1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示, PA⊥面 ABCD,

△PAC、△PBC、△PCD 均为直角三角形,且斜边相同,所以球心 1 为 PC 中点 O, OA= PC=OB=OD=2 3.球的表面积为 S=4π(OA)2 2 =48π. (2)该几何体是一个正三棱柱, 底面边长为 3, 高为 2.设其外接球的球心为 O,上、下底面中心分别为 B、C,则 O 为 BC 的中点,如图所示. 2 则 AB= ×3sin 60° = 3,BO=1, 3 ∴该棱柱的外接球半径为 R= ∴球的表面积是 S=4πR2=16π. AB2+BO2=2,

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分, 表面积就是全面积, 是一个空间几何体中“暴 露”在外的所有面的面积, 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”. 多面体的表 面积就是其所有面的面积之和, 旋转体的表面积除了球之外, 都是其侧面积和底面面积 之和. 2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关 键一环就是求出这个量. 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面. 3. 一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体, 而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方

法进行补形)、 还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体, 不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几 何体的一部分来求解). 4. 长方体的外接球 (1)长、 宽、 高分别为 a、 b、 c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径, 即 =2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R. a2+b2+c2

1. 从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体, 其三视图如图,则该几何体体积的值为 ( )

A.5 2 C.9 答案 C

B.6 2 D.10

解析 由三视图知,其直观图为 棱锥 A-BCDE. 27 1 9 V=27- - ×3× =9.故选 C. 2 3 2 2. 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积 分别为 A. 6π 答案 A 解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为 2 2 2 B.2 6π C.3 6π D.4 6π ( )

长方体的外接球恰为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长. AB· AC= ? ? AD= 据题意?AC· ? AD= ?AB· 2, 3, 6, AB= 2, ? ? 解得?AC=1, ? ?AD= 3, AB2+AC2+AD2= 6, 6 . 2

∴长方体的对角线长为 ∴三棱锥外接球的半径为

4 6 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π·( )3= 6π. 3 2

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1. 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则原梯形的面积为 A.2 C.2 2 答案 D 1 解析 直观图为等腰梯形,则上底设为 x,高设为 y,则 S 直观图= y(x+2y+x)= 2, 2 1 由直观图可知原梯形为直角梯形,其面积 S= · 2 2y· (x+2y+x)=2 2× 2=4. 2 2. (2013· 湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个 面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A. 3 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 ( ) B. 2 D.4 ( )

答案 D 解析 ∵俯视图是面积为 1 的正方形, ∴此正方体水平放置,

又侧视图是面积为 2的矩形, ∴正方体的对角面平行于投影面, 此时正视图和侧视图相同,面积为 2. 3. (2013· 课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.16+8π C.16+16π 答案 A

B.8+8π D.8+16π

解析 将三视图还原成直观图为: 上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体. 1 所以 V=2×2×4+ ×22×π×4 2 =16+8π. 故选 A. 4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( )

A.

3?8+π? 6

B.

3?8+2π? 6

C.

3?6+π? 6

D.

3?9+2π? 6

答案 A 解析 该几何体由底面半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 的正方形的四棱锥组成,

1 1 1 3π 4 3 且高都为 3, 因此该几何体的体积 V= ×( ×π×12)× 3+ ×(2×2)× 3= + 3 2 3 6 3 = 3?8+π? ,故选 A. 6 ( )

5. (2012· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 B

B.30+6 5 D.60+12 5

解析 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图的图形特征求其表面积. 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3, AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE, 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41,

1 则 AB 边上的高 h=6,故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,该几何体的体积为 ( )

A.

3 π 3

B.

3 π 6

C.

3 π 2

D. 3π

答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分, 然后把截面放在平面上, 底面 相对接的图形,圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,故圆锥的高为 h= 22-12= 3.易

1 1 3 知该几何体的体积就是整个圆锥的体积,即 V 圆锥= πr2h= π×12× 3= π.故选 A. 3 3 3 7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使 平面 ABC⊥平面 ACD,得到如右图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点), 且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图象大致是 ( )

答案 B 解析 由平面 ABC⊥平面 ACD,且 O 为 AC 的中点,可知 BO⊥平面 ACD,易知 BO= 1 2,故三棱锥 N-AMC 的高为 ON=2-x,△AMC 的面积为 · MC· AC· sin 45° = 2x,故 2 1 2 三棱锥 N-AMC 的体积为 y=f(x)= · (2-x)· 2x= (-x2+2x)(0<x<2),函数 f(x)的图 3 3 象为开口向下的抛物线的一部分. 二、填空题 8. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分

别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______. 答案 1 6

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 VD1-EDF=VF-DD1E= S△D1DE· AB 3 1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 9. (2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1∶V2=________.

答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h, 1 ?1 AE· sin∠DAE? h AD· ? 3 ?2 V1 则 = V2 1 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 = 1 . 24

10.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱 锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________. 答案 16π 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b≥4 ab=8 2,当且 仅当 a=b=2 2时等号成立,此时四边形 ABCD 为正方形,其中心到四个顶点的距离 相等,均为 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上,这个球的表面 积是 4π×22=16π. 11.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为________.

答案

2π 1 + 6 6

解析 据三视图可知,该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的 组合体,其直观图如图所示,其中 BA,BC,BP 两两垂直,且 BA=BC =BP=1,∴(半)球的直径长为 AC= 2,∴该几何体的体积为 1 4 AC 1 1 2π 1 V=V 半球+VP-ABC= × π( )3+ × ×BA· BC· PB= + . 2 3 2 3 2 6 6 三、解答题 12.(2013· 福建)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P—ABCD 的正视 图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D—PBC 的体积. (1)解 在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E.

由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4,依据勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD, 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60° , 得 PD=4 3. 正视图如图所示:

(2)证明 取 PB 中点 N,连接 MN,CN. 在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, 1 ∴MN∥AB,MN= AB=3, 2 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形, ∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC. (3)解 1 VD—PBC=VP—DBC= S△DBC· PD, 3

又 S△DBC=6,PD=4 3, 所以 VD—PBC=8 3. 13.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于 点 F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱 锥 P—EFCB 的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,∴EF⊥PB.

(2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB 2 1 1?x+y?2 = xy≤ ? =1. 4 4? 2 ? ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin 30° =2× =1. 2 1 SEFCB= (2+4)×2=6. 2 1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3


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