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林健超个性化教案---高二---正余弦定理


博大教育个性化辅导教案
辅导科目:数学 本次课时: 课 题 月 日下午 — 时 授课教师:林鸿毅 已上课时: 年 级: 高二 剩余课时: 正余弦定理的运用 备课时间: 月 日 学生姓名: 林健超

授课时间: 教学目标

理解正余弦定理及其逆运用

重点、难点、 考点

边角关系的互化

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教学内容
正弦定理和余弦定理 一、知识点 (一)正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sin C

a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
(二)余弦定理: b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
由此可得: cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos B ? , cos C ? . 2ab 2ac 2ab

注: a 2 > b 2 ? c 2 ?A 是钝角; a 2 = b 2 ? c 2 ? A 是直角; a 2 < b 2 ? c 2 ? A 是锐角; (三)三角形面积公式: (1) S
ABC

?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B. 2 2 2

题型一:正余弦定理的基本应用: (四种题型: ) (1)已知两角一边用正弦定理; (2)已经两边及一边对角用正弦定理; (3)已知两边及两边的夹角用余弦定理; (4)已知三边用余弦定理 例 1、在 ?ABC 中,已知 a ? 20, A ? 30? C ? 45? 求 B, b, c 例 2.已知下列各三角形中的两边及一角,判断三角形是否有解,并作出解答 (1) a ? 2 3, b ? 6, A ? 30? (2) a ? 2, b ? 2, A ? 45?

(3) a ? 5, b ? 3, A ? 120?

(4) a ? 3, b ? 4, A ? 60? ;

例 3. (1)在 ?ABC 中,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,则 A=

(2)若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 , ?A= 60°,则边 BC = (3) 、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是= (4)在△ABC 中,已知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,则 ?A = 题型二:判断三角形的形状 例 4. (1)在 ?ABC 中,若 b ? a cos C 试判断 ?ABC 的形状。 (2)在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B 试判断 ?ABC 的形状。 (3)在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A 试判断 ?ABC 的形状。

例 5. (1)在 ?ABC 中,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,且 sin B sin C ?
3 ,判断三角形的形状; 4

(2)在 ?ABC 中, (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc且 sin A ? 2 sin B cos C ,判断其形状;

题型三:三角形的面积的问题 例 6、(1)已知 (2)在△
ABC

中,

, .

, 求





及外接圆的半径。

中,已知

2sin B cos A ? sin( A ? C)

(Ⅰ)求角 ; (Ⅱ)若 BC ? 2 ,△ ABC 的面积是 ,求 . 3 A AB

题型四、正余弦定理的综合应用 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积

?

4 , cos A ? , b ? 3 .k. 3 5

2、设 △ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 a cosB=3,b sinA=4. (Ⅰ)求边长 a; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

(一)求边的问题 1、在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? A、1 B、2 C、 3 ? 1 D、 3 )

?
3

,a ?

3, b ? 1,则 c ? (



2、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、 x ,则 x 的取值范围是( A、 1 ? x ? 5 B、 5 ? x ? 13 C、 0 ? x ?

5
2

D、 13 ? x ? 5
2

(a ? b)? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为 3、若 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足
(A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C) 1

(D)

2 3

B


4、如图,在△ABC 中,若 b ? 1, c ? 3 , ?C ? (二)求角的问题

2? ,则 a ? 3
) D、

3
2? 3

C
2 2 2

1

A

5、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则 ?A 为( A、

? 3

B、

? 6

C、

2? 3

? 2? 或 3 3


6、 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b2 ? ac ,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( A、

1 4
1 4

B、

3 4
1 4

C、

2 4
2 3

D、

2 3


7、已知在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3: 2 : 4 ,那么 cos C 的值为( A、 ? B、 C、 ? D、

2 3

2 8、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos B ?

A.—

1 2

B.

1 2

C. —1

D.1

9、已知 a , b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? 1, b ? 则 sin C ? 。

3 , A ? C ? 2B ,

10、在 ?ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为 (三)判断三角形形状的问题 11、在△ ABC 中,若 A、直角三角形

.

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C
B、等边三角形 C、钝角三角形



D、等腰直角三角形 )

12、在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(

A、直角三角形

B、等腰三角形

C、等腰直角三角形 )

D、正三角形

13、△ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

14、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( A、等腰三角形 15、在△ABC 中,若 B、直角三角形 C、等腰直角三角形

) D、等腰或直角三角形 )

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c

A、有一内角为 30°的直角三角形

B、等腰直角三角形

C、有一内角为 30°的等腰三角形 D、等边三角形 16、在△ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

(四)三角形的面积的问题 17.在△ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边.如果 a ? c ? 2b , ?B ? 30°,△ABC 的面积为 ( ) A、

3 ,那么 b ? 2

1? 3 2

B、 1 ? 3

C、 2 ? 3 2

D、 2 ? 3 )

18、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为( A、 14 B、 2 14 C、 15 D、 2 15

19、若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度等于 20、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 , ?A= 60°,则 BC 边的长是( A、5 (五)综合应用 1、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A , (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 B、6 C、7 D、8 )

3 3 2

,求 a+b 的值。

2、已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c。

3、 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B;(2)若 A=45° ,b=2,求 a,c.

4、在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? 5 ,sin B ? 10
5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

课后作业:


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