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2.1.1 直线的倾斜角和斜率 吕晓娟


浅谈“直线的倾斜角和斜率”的教学设计 南昌大学附属中学 吕小娟

在新课标理念下,要求“以教师为主导,以学生为主体”的教学模式,倡导教师进行探究式 教学,充分发挥学生的主观能动性.在教学中,教师设计问题情境,引导学生提出问题----分析 问题----探究问题---解决问题,那么本文通过“直线的倾斜角和斜率”的教学设计来体现新课标 理念. 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》 (北京师范大学出版社编著)必修 2 第二 章第一节《直线与直线方程》的第一课时,是解析几何学习的开端,担负着开启全章的重任, 因此在本课时的教学中不但要落实显性知识,更重要的是要揭示隐性知识:研究解析几何的 基本方法——坐标法. 直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数 表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位 置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础.通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐 标平面内几何要素代数化的过程,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.本课有着开 启全章,奠定基调,渗透方法的作用. 一、设计思想 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜 程度的,倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度,而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾 斜程度.二者联系的桥梁是正切函数值, 进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率.倾斜 角是一个桥梁,利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题.而在建立直线方程,研 究直线的几何性质时斜率起着重要的作用.因此, 坐标法和斜率是本课时的核心概念.据此确定 本课时的教学重难点点是: 1.使学生经历几何问题代数化的过程,并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法, 体会坐标法. 2.理解斜率的定义,掌握过两点的直线的斜率分式. 那么教学中怎样来实现这两个教学目标呢? 首先利用直角坐标系中不同直线的图形, 让学生直观感知确定直线的两个主要几何要素: 一个点和一个方向,并以此为基础引出解析几何解决问题的基本方法——坐标法;其次利用 代数方法刻画直线的方向,从而定义直线的倾斜角和斜率;最后推导过两点的直线斜率的计 算公式.
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探索确定直线的几何要素主要意图在于突出解析几何的几何直观性, 让学生在充分把握 几何特征的基础上学习如何利用代数方法刻画几何问题. 直线的倾斜角的描述借助多媒体技术,形成一种图形并茂、声像同步.人机交互的教学 环境,让学生能形象生动体会倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的 直线, 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 ? , 那么 ? 就叫做直线的倾斜角.当直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为零,这样,直线倾斜角 .结合多媒体高效率的教学模式,使学生对抽象的定义清晰形象化, ? 的范围是 0°≤ ? <180° 能很快掌握下来,通过这种教学示范培养学生的创新意识. 对直线斜率的处理,新课标所采用的方法与传统的处理方法不同.在这里我们用直线 l 上 两点的垂直增量与水平增量的比来定义斜率,当水平增量为一个单位长时,垂直增量(有方 向的量)就是这条直线的斜率.这是新课标的一个特点,而这种定义的方式蕴涵了导数、微分 的思想.在今后学习三角函数中单位圆上的三角函数线时,学生还可以知道这种定义方式实际 上与直线倾斜角的正切线是一致的.而传统的处理方法是借助日常生活中表示倾斜面的“坡度” 引出直线斜率的概念的,在具体教学中,我将两种方法一起拿来理解,比较,加深对斜率概念 的理解.直线的斜率是内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关 系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用.因此,正确理解斜 率概念,熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键. 二、教学目标 1.结合具体图形探索确定直线的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点 的直线斜率的计算公式. 体会在直有坐标系下, 以坐标轴为“参照系”, 用统一的标准刻画几何 元素的思想方法. 2.经历结合具体图形探索确何问题代数化的过程,了解解析法的基本步骤,感受解析几何 的思想方法. 3.初步了解解析几何解决问题的基本方法,体会“数形结合”的思想通过解析几何发展史的 简单介绍,渗透数学文化教育. 三、教学问题诊断分析 1.在初中的平面几何中, 学生已经知道“两点确定一条直线”, 如何使学生在这一知识的基础 上,顺利、地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线,是比较困难的.事实上, 已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向,在平面几何中是没有参照系的,因此已知“两个 点可以确定直线的方向 ”这与引入坐标系后“一个点和直线的方向确定一条直线 ”是一致的.在
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数学中应注意引导学生认识到这种联系. 2.函数是以图助数,利用图形使代数问题直观化,解析几何则是以数助形,用坐标法研究 几何问题.它们都体现了数形结合思想,但角度不同.学生知道一次函数的图象是一条直线,这 里研究的是直线的方程,学生容易将二者混淆,误认为方程就是一次函数。因此在教学时要 注意澄清二者不同. 3.对斜率概念的理解是本节的难点,学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条 直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样,另外,为什么要用倾斜角的正切表示斜率对 学生来说也有一定困难, 教学中通过日常生活的例子, 充分利用学生已有的知识 (坡度概念) , 引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来. 四、教学过程设计 (一)开篇语 引导性语言:在初中,不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示,开口向上或向下 的抛物线可以用二次函数来表示,这样就把对图形的研究转化为对函数的研究,这里沟通数 形关系的桥梁是坐标系.这种以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研 究几何图形性质的方法,叫坐标法.用坐标法研究几何的学科称为解析几何,它是 17 世纪法 国数学家笛卡儿和费马创立的.解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑,数学从 此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一. 本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识,当时是在函数的观点下 进行,是借助于“形”研究“数”的问题,从今天开始要转化一个角度,利用坐标系,借助于“数” 研究“形”的问题,也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识 ——直线的 倾斜角和斜率,并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想.那么如何 用代数的方法表示平面中其它简单图形?如与 x 平行或垂直的直线, 开口向右或左的抛物线, 圆等等. 设计意图:通过对已有知识及思想方法的回忆,寻找新的知识“生长点”,引导学生用“坐 标法”的思想“数” 来思考新的问题. (二)课题引言 通过生活中学生很熟悉的例子:让学生看课件展示:南昌八一大桥的斜拉锁桥,中过石拱 桥,跷跷板引入课题.让学生思考如果把跷跷板抽象成一条直线,那么跷跷板的运动过程中就 形成了一系列的直线,那么这些直线有什么共同点呢?
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设计意图:数学来源于生活,从实际问题提炼数学知识,让学生了解数学无处不在. (三)探究新知 1.形成倾斜角的定义 问题 1:请你在平面直角坐标系中画出两条直线,说出他们的不同这处.

y p

y

o

x

o
(2)

x

(1)

预设的答案:图(1)中的两条直线者经地点 P,但“倾斜程度”不同. 图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同,但没有公共点. 设计意图:明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素. 师生活动:引导学生发现:两点确定一条直线,过一点不能确定一条直线. 问题 2:如图 2,在直角坐标系中,过点 P 的不同直线的区别在哪里? 预设的答案:图(1)中的两条直线者经地点 P,但“倾斜程度”不同. 设计意图:引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同.从而发现直线上一点和直线 的倾斜程度也能确定一条直线. 问题 3:直线的倾斜程度是以什么为参照的? 设计意图:教师引导形成统一的认识:以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上以 x 轴为基准. 问题 4:在平面直角坐标系中,如何确定一条直线的位置? 预设的答案: (1)两点确定一条直线; 师生活动:对前面发现进行总结. 问题 5:两直线相交可以形成 4 个角,你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢? 设计意图:教师引导形成统一的认识,自然而然引入倾斜角概念. 问题 3:根据定义,倾斜角 ? 的取值范围是什么呢? 设计意图: 注意倾斜角的取值范围 0° ≤ ? <180° . (2)一点及直线相对于 x 轴的“倾斜程度”.

问题 6:任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?你认为确定平面 直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?
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设计意图:使学生理解确定一条直线位置的几何要素是:直线上的一个点以及它的倾斜角, 两者缺一不可. 2.形成斜率的定义 引导性语言:刚刚我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素,那么 如何用代数的语言描述上述几何要素呢? 设计意图:告知目标,明确思维的方向,将几何要素代数化. 问题 7:在日常生活中,我们有没有碰到过表示倾斜程度的量? 设计意图:基于学生的客观现实,结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法. 师生活动:引导学生在生活中举例,比如,山坡,楼梯等,教师适时再一次给出新课引入时 的动画.

跷跷板

南昌八一大桥

问题 7:通过观察课件,让学生发现在倾斜角不变的情况下,升高量与前进量都在变化, 找出之间的关系? 问题 8:从上面的讨论,我们发现,如果使用“倾斜角”的概念,“坡度”实际就是“倾斜角 ? 的正切值”,由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度? 设计意图:探索描述直线的倾斜程度的代数表示,由此引出斜率概念. 问题 9:是否每条直线都有斜率?倾斜角不同,斜率是否相同?由此可以得到怎样结论? 设计意图:沟通数形关系,加深概念理解.明确可以用斜率表示直线的倾斜程度. 问题 10:除了用坡度还可以从哪方面理解斜率? 设计意图:这里我们用直线 l 上两点的垂直增量与水平增量的比来定义斜率,当水平增量为 一个单位长时,垂直增量(有方向的量)就是这条直线的斜率.为引入直线斜率的计算公式作 铺垫.
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问题 11: (1)完成下面的表格 1,并分析直线的倾斜角不同时,直线的斜率取什是否也不 同,在此基础上总结斜率的意义. 表1 α κ=tanα 30° 45° 60° 120° 135° 150°

(2) 根据三角函数的相关知识, 思考当倾斜角在 (0° ,180° ) 内变化时, 斜率 k 如何变化? 并填写表 2. 表2 0° < ? <90° 90° < ? <180° ? 的取值范围 ? =90° k 的取值范围 K 关于 ? 的单调性 设计意图:初步体验斜率与倾斜程度的关系,并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化 关系. 活动方式:学生独立完成,并交流认识斜率的意义,及倾斜角与斜率的关系. 预设的结论:倾斜角是 90° 的直线没有斜率;倾斜角 ? 不是 90° 的直线者有斜率;倾斜角 不同,直线的斜率也不同。斜率大于 0 的直线的倾斜角为锐角,并且斜率越大倾斜角越大; 斜率小于 0 的直线的倾斜角为钝角,并且斜率越小倾斜角越大.因此,我们可以用斜率表示直 线的倾斜程度. 3.斜率公式 问题 12:已知直线将过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,试用点 P1、P2 的坐标表示直线 的斜率 k? 设计意图:将斜率坐标化,让学生初步体会坐标法思想. 学生活动:学生在刚才所画的直线上标记上述条件,由于不同学生的标记方法不同,将 他们标记的情况收集整理,得到所有的情况之后再分类讨论,分组合作,分别求解.通过这样 的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识,同时认识到分类讨论和合作学习的必要
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性. 思路分析:根据斜率的定义解决问题,因此首先要构造直角三角形. 解决过程: (略) 。 交流完善:辅助问题: 1.各种一般情形得出的结论一致吗?与 P1、P2、这两点坐标顺序有关系吗?为什么? 2.当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论还适用吗?

形成结论: 斜率公式:经过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是:K= 4.初步应用,巩固双基 根据知识点设计 1-2 个例题,如: 例如下图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这些直 线的倾斜角是锐角还是钝角. 设计意图:直接利用斜率定义式求解,熟悉斜率公式,并体验斜率与倾斜角之间的关系. 变式.设直线的斜率为 k,倾斜角为 α,若-1<k<1,则 α 的取值范围是 ( )

y 2 ? y1 . x2 ? x1

A.(-

,



B.

C.(0,

)∪(



)D.

设计意图:根据斜率的定义式,结合图象,熟悉倾斜角和斜率的关系。 5.课堂小结

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1.在本节课中,你学到了哪些新的概念?他们之间有什么关系?怎样求出已知两点的直线的 斜率? 从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度,到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度. 2.这个过程中主要体现了什么数学思想?

设计意图:培养学生反思的习惯,鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。 师生活动:让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法:倾斜角(形)和斜率(数)。利用 确定直线的两种方法,归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体 现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

五、反思小结,提高认识 计算机辅助教学与发现法相结合,即在多媒体课件支持下,让学生在教师引导下,积极探 索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构. 新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者, 使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课采用让学生动手实践、自主 探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,按照“创设情境——学生活动——意义建构—— 数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程, 并以多媒体手段辅 助教学,使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程,切实改 进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人.这堂课经历了用代数方法刻画斜率的过程, 感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想.

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