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数列的求和


数列专题训练

数列的求和
一、求和方法: 1、公式法:等差、等比数列求和公式(请在空白部分写出求和公式) 常见公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?

2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n ? n(n ? 1)

n(n ? 1) 2

1 ? 2 ? 4 ? ?

? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ? 6
2、倒序相加法:如等差数列求和公式的推导。 3、分组求和:解决形如{an+bn}的类型,其中{an},{bn}为等差或等比数列较,若出现字母,注 意讨论,并进行总结。 4、裂项求和:如数列 {

1 1 1 1 } 的前 n 项和。提示: ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 6 6 6 6 例1 : 求 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

5、错项相减:如等比数列求和公式的推导。 通项形如{ x n ? y n }的数列,其中一个为等差数列,一个为等比数列,求和时,在和式两 边同乘以等比数列的公比。 例 2 :求数列 {n ? 2 } 的前 n 项和
n

二、强化训练

1、

1 2 ?1

?

1 3? 2

???

1 n ?1 ? n

2.

1 1 1 1 ? ? ??? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

3、求通项为 a n ?

n 的数列的前 n 项和 s n 。 2n

4、求和: s ? 1 ? 2 x ? 3x ? ?nx
2

n ?1

5.

?an ? 中 a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? an ? 1 ? ? ?1? ? n ? N ? ? 则S100 ?
n

1

数列专题训练

三、提高训练 1.已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2 。数列 ? an ? 的 前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。
*

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 的最小正整数 m。

3 m * , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 an an ?1 20

2. 已知数列 {a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 a n 与a n ?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {a n } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

2

数列专题训练

作业
1..在数列 {a n } 中, a n ? A.9

1 n ? n ?1

, 若其前n项和S n ? 9 ,则项数 n 为
C.99
n?1





B.10

D.100 (
n

2.数列 1, ?1 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 A. 2
n ?1

?

2

? ,?, ?1 ? 2 ? ? ? 2 ? ,? 的前 n 项和等于
n ?1



?n

B. 2

?n?2
n ?1

C. 2 ? n ? 1
n

D. 2 ? n ? 2 ( D.2 ( ) )

3.设 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) A.-1 4.数列 1, B.0

? n, 则S17 ? S 33 ? S 50 =
C.1

1 1 1 , , ?, 的前n项和为 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
B.

A.

n n ?1

2n n ?1
n 2

C.

2 n( n ? 1)
2

D.

4 n( n ? 1)
( )

5.数列{ a n }的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 则a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
2

A. (2 ? 1)
n

2

B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

6.数列{ a n }的通项公式为 a n ? 4n ? 1, 令bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n , 则数列{ bn }的前 n 项和为 n
( )

A. n

2

B. n(n ? 2) C. n(n ? 1) D. n(2n ? 1)
2

7. 已知{ a n }的前 n 项和 S n ? n ? 4n ? 1, 则 | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a10 | 的值为

8.求下面数列的前 n 项和 (1) 数列 ? 1 , 4 , ? 7 , 10 ,??, (?1) (3n ? 2) ,??
n

3

数列专题训练

(2)数列 {

2n ? 3 }. 2 n ?3

(3)数列 1, ?1 ? a ? , 1 ? a ? a

?

2

? ,?, ?1 ? a ? ? ? a ? ,? 。
n ?1

9.数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1,2S n ? (n ? 1)a n , (I)求 a n 与 a n ?1 的关系式,并求{ a n }的通项公式; (II)求和 Wn ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n ?1 ? 1
2 2

4

数列专题训练

§7.4
再现型题组

数列的求和(解答部分)

⒈【提示或答案】设数列的通项为 an ,前 n 项和为 S n ,

则 an ?

? (3n ? 2) a n ?1 1 1 1 ? S n ? (1 ? ? 2 ? ?? ? n?1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? ? (3n ? 2)] a a a
(1 ? 3n ? 2)n 3n 2 ? n ? 2 2

1

当 a ? 1 时, S n ? n ?
1?

1 n a n ? (1 ? 3n ? 2)n ? a ? 1 ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 2 2 a n ? a n ?1 1? a
【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成,每一部分都是易于求和的特殊数列,可 以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时,要对公比分类讨论。 2.【提示或答案】? Sn ?

1 4 3n ? 5 3n ? 2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 1 1 4 3n ? 5 3n ? 2 ? Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2
1 1 1 ? 3n ? 2 3n ? 5 3n ? 5 ? 1 1 Sn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? Sn ? 4 ? n 2 2 2 ? 2 2 2 ?2 2

两式做差得

【基础知识聚焦】 解题的关键是抓住式子的结构特征, 选择合适的求和方法。 若数列 ? an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,则求 ?an ? bn ? 的和用拆项法,?an bn ? 用错位相减,? 用裂项相消。

?

1 ? ? ? a n an ? k ?

n n ?1 1 ? 2 ??? n 2 2 2 1 1 【答案】 Sn ? n ? n ? 2 ? 2 4
【变式与拓展】 Sn ? 3.【提示或答案】设数列的通项为 bn ,则 bn ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

5

数列专题训练

1 1 1 1 1 ? Sn ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? n ?1 n ?1
【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消,这是高考中经常考察的方法,即把一个数列的通项 公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和. 【变式与拓展】求数列

1 1 1 , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1)

【答案】? a n ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) n ?1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? S n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] ? 2( ? )? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 n?2
4. 【提示或答案】 ?W ? C n ? 4C n ? 7C n ? ? ? (3n ? 2)C n
0 1 2 n ?1 n ? (3n ? 1)C n ①,

n n n 1 0 ? (3n ? 1)C n ? (3n ? 2)C n ?1 ? (3n ? 5)C n ?2 ? ? ? 4C n ? C n 0 1 n 1 0 ?W ? (3n ? 1)C n ? (3n ? 2)C n ? (3n ? 5)C n ?2 ? ? ? 4C n ? C n ②,

①+②得 2W ? (3n ? 2)(C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? (3n ? 2) ? 2 ,
0 1 2 n n

?W ? (3n ? 2) ? 2 n ?1.
【基础知识聚焦】选择数列求和的方法,关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律,然 后选定一种求和方法, 并作出相应的变换.题目中? an ? 3n ? 1 , C n ? C n 又
k n?k

,?而

运用反序求和方法是比较好的想法 【变式与拓展】 已知函数函数 f ( x) ? (1)求 m 的值; (2)已知数列 ?a n ?满足 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 1 (m ? 0), x1 , x2 ? R,当x1 ? x2 ? 1时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 。 4 ?m 2
x

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1), 求 an n

【答案】 m ? 2 , an ?

n . 4

5.【提示或答案】当 n 为奇数时, an? 2 ? an ,? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 1 ; 当 n 为偶数时, an ? 2 ? an ? 2,? a2 ? 2, a4 ? 4,?, a100 ? 100 .

? S100 ? ? 2 ? 4 ? ? ? 100 ? ? 50 ? 2600 .
【基础知识聚焦】对通项公式中含有 ? ?1? 的一类数列,在求 S n 时,要注意讨论 n 的奇
n

6

数列专题训练

偶性。 【变式与拓展】试求 S n .

? n ? n ? 4?    n为偶数 ? 4 ? 【答案】 S n ? ? . 2 ? ? n+1? ? 4     n为奇数 ?

巩固型题组
6.解:(1)? an ?1 ? 2Sn ,? Sn ?1 ? 2Sn ,?

Sn ?1 ? 3? S1 ? a1 ? 1 Sn
n ?1

数列 {S n } 是首项为1,公比为3的等比数列: Sn ? 3 当 n ? 2 时, an ? 2Sn ?1 ? 2 ? 3
n?2

(n ? N *)

1, n ? 1 (n ? 2),? an ? { n ? 2 2?3 , n ? 2
, 当 n ? 1 时 , T1 ? 1 ; 当 n ? 2 时 ,
,

? 3 ( 2 ) ?Tn ? a1 ? 2a 2 a ?3? nan
1 Tn ? 1 ? 4 0 3 ? 6? ? n ? ? ? 3 n?

2

2

3

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ?2n3n ?1 , ??2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ?3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n)3n ?1

1 1 ? (n ? )3n?1 (n ? 2) 2 2 1 1 ?Tn ? ? (n ? )3n ?1 (n ? N *) 2 2 ?Tn ?

, 又 当

n ?1 时 , 上 式 也 成 立 。

【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法,这种方法的实质是转化为等比数列求和, 这是高考命题的热点,在复习中务必引起充分的重视。 7. 解(1)由 S 4 ? A ? 4 ? B ? 4 , S 6 ? A ? 6 ? B ? 6 得 Sn ?
2
2

3 2 43 n ? n , an ? 3n ? 23 2 2

(2)由 an ? 0 , n ? 1 ? 0 得 n ? 7 . 所以当 n ? 7 时

3 43 Tn ? ?(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ? n 2 ? n ,当 n ? 7 时 2 2
Tn ? ?(a1 ? a2 ? ? ? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ? an )

? S n ? 2S7 ?

3 2 43 n ? n ? 154 2 2

7

数列专题训练

? 3 2 43 ?? 2 n ? 2 n    n? 7 ? 从而 S n ? ? ? 3 n 2 ? 43 n ? 154   n>7 ?2 ? 2
【点评】 解题的关键时分清从那一项开始 an ? 0 , 然后再对 n 讨论。 本题容易忽略对 n 的讨论, 而直接得出 Sn ? 【变式】 an ? ?

3 2 43 n ? n ? 154 出错。 2 2

?1    n ? 1 则 Sn ? ?3n ? 1  n ? 2

【答案】 Sn ?

3n2 ? n ? 2 2

8. 解:设相邻两层楼梯长为 a a,则

S ? a[(1 ? 2 ? ?? ? k ? 1) ? 0 ? (1 ? 2 ? ?? ? (n ? k ))] ? a[k 2 ? (n ? 1)k ?
当 n 为奇数时,取 k ?

n2 ? n ] 2

n ?1 时,S 达到最小值. 2 n n?2 当 n 为偶数时,取 k ? 或 时, S 达到最大值. 2 2

【点评】最值问题转化为函数问题,是解决问题的基本解法,在解题过程中要注意 k 取值 的实际意义,即应取正整数,所以对 n 应分情况讨论。

提高型题组
9.解:(I)依题意可设 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0), 则 f ( x) ? 2ax ? b
2 `

由 f ( x) ? 6 x ? 2 得 a ? 3, b ? ?2, 所以 f ( x) ? 3x ? 2 x.
`

2

又由点 (n, Sn ) (n ? N *)

均在函数 y ? f ( x) 的图像上得 S n ? 3n ? 2n
2
2 2

当 n ? 2 时 an ? S n ? S n ?1 ? 3n ? 2n ? ?3(n ? 1) ? 2( n ? 1) ? ? 6n ? 5 ? ? 当 n ? 1时 a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 6 ? 1 ? 5
2

所以 an ? 6n ? 5(n ? N )
*

8

数列专题训练

(II)由(I)得 bn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (6n ? 5) ? 6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故, Tn ? 因此使得

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ?? ??( 6n ? 5 ? 6n ? 1) ? = ? 2 (1 ? 6n ? 1). 2? ?

1 1 m 1 m (1 ? )? (n ? N * ) 成立的 m 必须且必须满足 ? , 即 m ? 10 2 6n ? 1 20 2 20

故满足最小的正整数 m 为 10 【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算 技能,考查分析问题的能力和推理能力。 10.(I)? 4S n ? (a n ? 1) ①,而 4S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) ②,
2 2

①—②得 a n ? a n ?1 ? 2(a n ? a n ?1 ) ? 0 ? (a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0,
2 2

? a n ? 0,? a n ? a n ?1 ? 2(n ? 2),?{a n }是公差d ? 2 的等差数列, 而4a1 ? (a1 ? 1) 2 ? a1 ? 1,
(II)? S n ? n ,?
2

? a n ? 2n ? 1;

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? 2 ??? 2 S1 S 2 Sn 1 2 n

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2), 2 n(n ? 1) n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) S1 S 2 Sn 2 2 3 n ?1 n ? ? 2? 1 ? 2. n

【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题,由于运用了数列求和的思想,作 出了一个巧妙的放缩变换,然后与数列求和挂上了钩.

课堂小结
数列求和的基本方法:

1. 基本公式法: ?1? 等差数列求和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

q ?1 ? na1 , ? ? 2 ? 等比数列求和公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a1 ? an q ? ,q ?1 ? 1? q ? 1? q
1 ? 3? Cn0 ? Cn ? Cn2 ? ? ? Cnn ? 2n .

2. 错位相消法:一般适应于数列 ?anbn ? 的前 n 向求和,其中 ?an ? 成等差数列,?bn ? 成等比数
列。
9

数列专题训练

3. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和。 4. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,
只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有:

?1? 若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则
? 2?
? 3?
1

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; an an ?1 d ? an an ?1 ?

1? 1 1 ? ? ? ? ; ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1 1 ? n?k ? n k

?

n ?1 ? n ;

?

? 4 ? Cnm?1 ? Cnm?1 ? Cnm ; ? 5 ? n ? n ! ? ? n ? 1?!? n !.
5. 倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的。

反馈型题组
11.C 12.B 13.C 14.B 15.D 16.B 17. 67

18.(1)当 n 为奇数时, S n ? (2) 8 ?

? 3n ? 1 3n ;当 n 为偶数时, S n ? ; 2 2

2n ? 1 2 n ?3
n(n ? 1)a ? a n ?1 n(n ? 1) . ; a ? 0,1时, S n ? (1 ? a) 2 2

(3) a ? 0时, S n ? n; a ? 1时, S n ?

19. (I)? ?

?2 S n ? ( n ? 1) a n n , 两式相减得a n ? a n ?1 (n ? 2), n ?1 ?2 S n ?1 ? nan ?1

?

an a a a n n ?1 2 ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n,? a n ? n; a1 a n ?1 a n ? 2 a1 n ? 1 n ? 2 1

(II) Wn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? [(1 ? ) ? ( ? )] 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 2 3 2 4

1 1 1 1 1 3 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? )] ? [ ? ? ]. 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

10


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