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甘肃省兰州五十五中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案


2013—2014 学年度第一学期期末(理)试卷
高二年级 年级
时间 120 分钟 满分 120 分 题 得 号 分 一 二 三 四 五 总分

数学(理) 座位号

总分人

评卷人

得分

一、选择题(每小题 4 分,满分 48 分)

2 1. “ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ”的否定是(

) B. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R, x2 ? 1 ? 0 ) D. (2,-3,4)

A. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0
2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

2、向量 a ? (2,?1,2) ,则与其共线且满足 a ? x ? ?18 的向量 x 是 ( A. ( , ,? )

1 1 2 3

1 4

B. (4,-2,4) C. (-4,2,-4)

2 3、已知 p :| x |? 2; q : x ? x ? 2 ? 0, 则 p 是 q 的





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4、如果命题“p 或 q”是真命题,“非 p”是假命题,那么( A.命题 p 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题 5、抛物线 y ? ? A. x ?

B.命题 q 一定是假命题 D.命题 q 是真命题或者假命题 ) C. y ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ? 2

1 32

1 32

D. y ? ?2 )

6、已知 x ? y ≥ 0, 3x ? y ? 6 ≤ 0, x ? y ? 2 ≥ 0,则 2 x ? y 的最小值是( A. 9 B. 4 C. 3 D. 2

7、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a3 ? ?5, S5 ? ?20, 则a10 等于





A.-90

B.-27

C.-25

D.0 )

8、已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

9、已知两点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方 程是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

10、如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 与 DF1 所成角的余弦值是( A. ) C.

A1 B1 ,则 BE1 4

15 17

B.

1 2

8 17

D.

3 2

11、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x+2y-3=0,则该双曲线的离 心率为( A. 5 或 )

5 4
2

B.

5或

5 2

C.

3或

3 2

D. 5 或 )

5 3

12、抛物线 y=x 上到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( A. (

3 5 , ) 2 4

B.(1,1)

C. (

3 9 , ) 2 4

D.(2,4)

一、选择题答题卡 序号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、

评卷人

得分

填空题(每小题 4 分,满分 16 分)

13 、

已知椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 ? 0 上一点 P 到椭圆的一个焦点 . 。

的距离等于 4,那么点 P 到另一个焦点的距离等于

14.已知数列{an}满足 an?1 ? 2an (n ? N ? ),且a2 ? a4 ? a3 ? 2 ? 0, 则a6 等于 15.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? .

16、在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 底面ABCD , AB ? 4, AD ? 3, AA 1 ? 5,

?BAD ? 60? ,则 AC1 的长为
评卷人 得分 三、解答题



17. (本小题满分 8 分) 已知△ABC,内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, a ?

2, b ? 3, B ? 60? ,求 C.

18. (本小题满分 8 分) 已知公比 q>1 的等比数列{an}满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. 求:{an}的通项公式及{an}的前 n 项和公式.

19. (本小题满分 8 分)

M 是 AD 中点, 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AA 1 ? 1 , BC ? 2 ,

N 是 B1C1 中点.
(Ⅰ) 求证: NA1 // CM ; (Ⅱ)求证:平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .
A A1 D M

D1

N B1

C1

C B

20. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C 的焦点为 F1 ?2 2, 0 , F2 2 2, 0 ,且过点 A?3,0? . (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 M , N 两点,求线段 MN 的中点 P 坐标.

?

? ?

?

21. (本小题满分 10 分) 如图, 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,点 M , N 分别

A 和 B1B 的中点. 为A 1
(Ⅰ)求异面直线 CM 与 D1 N 所成角的余弦值; (Ⅱ)求点 D1 到平面 MDC 的距离.

22. (本小题满分 12 分) 如图, F1 , F2 是双曲线 x ? y ? 1的两个焦点,O 为坐标原点,圆 O 是以 F1F2 为直径的
2 2

圆,直线 l : y ? kx ? b 与圆 O 相切,并与双曲线交于 A、B 两点. (Ⅰ)根据条件求出 b 和 k 的关系式; (Ⅱ)当 OA ? OB ? k ? 1时,求直线 l 的方程;
2

(Ⅲ)当 OA ? OB ? m(k 2 ? 1) ,且满足 2 ? m ? 4 时,求 ?AOB 面积的取值范围.

2013—2014 学年度第一学期高二数学(理)期末答案
一、选择题(12×4 分) 1-6 ACBDBA 7-12 CACABB

二、填空题(4×4 分) 13、 12 . 14. 16 或-8 . 15. ?
1 4

. 16、 62 .

三、解答题(共 56 分)

17、解: ?ABC中,a ? 2, b ? 3, B ? 60?

?

a b 2 3 2 ? ? ? ? sin A ? ------------4 sin A sin B sin A sin B 2
a?b? A? B ? A ? 45? 又 A+B+C=180? ? C=75?

----------------6

---------------------------8

18、解: a3 ? 2是a2和a4的等差中项 ?2(a3 ? 2) =a2 +a4

--------------------1

a2 +a3 +a4 =28?2(a3 ? 2) +a3 =28 ? a3 =8 ---------------------3
8 1 ? ? 8 ? 8q ? 28 ? q ? 或q ? 2 q 2 公比q ? 1 ?q ? 2
-----------------------5

?an ? 2n , Sn ? 2n?1 ? 2

----------------------8

19.证明:以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D-xyz
z

2 2 ? B( 2 ,1,0), A( 2 ,0,1), D1 (0,0,1), C (0,1,0), M ( ,0,0), N ( ,1,1) 2 2
A1

D1

N B1

C1

? 2 ? ? 2 ? , ? 1, 0 , CM ? , ? 1, 0 (Ⅰ) NA1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? . a3 ? 2 ? ? ? ?

D M A B

C

y

? NA1 ? CM ,? NA1 // CM ????4 分
(Ⅱ)证法一: D1 B ?

x

?

? 2 ? 2,1, ?1 , MN ? ? 0,1,1? , CM ? ? , ? 1, 0 ? ? 2 ?. ? ?

?

? D1B ? MN ? 0+ 1?1 ? 0, D1B ? CM ? 1 ?1 ? 0 ? 0 ,
? D1B ? MN , D1B ? CM ,又 MN ? CM ? M ,????6 分
(注条件少一个扣 1 分) ? D1B ⊥平面 A1MCN ,又 D1B ? 平面 A1BD1 ,

? 平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .????8 分
证法二: D1 A1 ?

?

2, 0, 0 , D1 B ?

?

?

? 2 ? 2,1, ?1 , MN ? ? 0,1,1? , CM ? ? , ? 1, 0 ? ? 2 ?. ? ?

?

设 平 面 A1 M C N 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) ,

? n ? MN ? y ? z ? 0 ? ?? ,取 2 n ? CM ? x ? y ? 0 ? ? 2

n ? ( 2 ,? 1 , 1 ) ????6 分
? ? m ? D1 A1 ? 2 x ? 0 设 平 面 A1BD1 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , ? ? ,取 m ? D B ? 2 x ? y ? z ? 0 ? ? 1

7分 m ? ( 0 , 1???? , 1)

n ? m ? ( 2,1, ?1) ? ? 0,1,1? ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 , ? n ? m ,
? 平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .????8 分
20.

21.【解析】 (Ⅰ)分别是以 DA1 、 DC1 、 DD1 所成在 直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系. 则 M ? 2,0,1? C ? 0,2,0? N ? 2,2,1? D1 ? 0,0, 2?

? MC ? ? ?2, 2, ?1?
cos ? MC , D1 N ??

D1 N ? ? ?2, ?2,1? ??????2 分
4 ? 4 ?1 1 ?? 3? 3 9

??????????4 分

1 ? 异面直线 CM 与 D1 N 所成角的余弦值为 . ??????????5 分 9

(Ⅱ)? DM ? ? 2,0,1? DC ? ? 0, 2,0 ? 设面 DMC 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

DD1 ? ? 0,0, 2?

?2 x ? z ? 0 则? ? n ? ?1,0, ?2 ? ?y ? 0

??????????8 分

? 点 D1 到平面 MDC 的距离 h ?

DD1 ? n n

?

4 4 5 . ????????10 分 ? 5 5

22. 解: (Ⅰ) 圆O : x2 ? y 2 ? 2
?d ? b ? 2 ? b2 ? 2 ? k 2 ? 1? ? k ? 1? ??????????3 分 k ?1
2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知: ?

1 ?m 1? k 2

?k 2 ? 1?

1 m

于是 b2 ? k 2 ? k 2 ? 2

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?

2 b2 ? k 2 ? 1 ????????10 分 1? k 2

又 O 到 AB 的距离 d ? 2

? S?AOB

2 ? ? ? 1 3? ? ? AB ? d ? 2 ? 4m ? 1?? 2m ? 1? ? 2 ?8 ? m ? ? ? 17 ? ? ? ?3 10,3 34 ? 2 2 ? ? ? ? ? ?

??????????12 分


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