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余弦定理


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环球雅思学科教师辅导教案
学员编号: 学员姓名:XYZ 授课类型 星 级 T-余弦定理 ★★ 年 级:高二 辅导科目:数 学 C-余弦定理应用 ★★★ 课 时 数:3 学科教师: T-能力提升 ★★★

教学目的 授课日期及时段

理解平面基本定理及掌握向量的基本运算 2015 年 月 日 —— 教学内容

正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么?你能用文字语言、数学语言叙述吗?你能用哪 些方法证明呢? 正弦定理:在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等,即:

a b c ? ? ? 2 R ,其中 2 R 为三角形 sin A sin B sin C

外接圆的直径。 说明:正弦定理说明同一个三角形中,边与它所对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 2 R ,使

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 。
2,运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢? 由

a b b c ? , ? ,可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。 ” “已知两边及其一边的对角可以 sin A sin B sin B sin C

求其他角。 ”等解三角形问题。 3,思考:如图,在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? c, AC ? b, ?BAC ? A ,求 a 即 BC 。 本题是“已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边。 ”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解? 困难:因为角 B、C 未知, 较难求 a 。
C

b
B A

a
B

b
B

b

c
B

B

B

1

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吾日三省吾身)

(1)余弦定理:在 ?ABC 中, AB ? c, BC ? a, AC ? b, 则:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ; (第一种形式) c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 。
(2)语言表述:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc (3)变形: ; cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 2ac ; (第二种形式)
a 2 ? b2 ? c 2 2ab 。

cos C ?

(二)剖析升华 (1)余弦定理与正弦定理一样,也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是 余弦定理的特例. (2)等式 a ? b ? c ? 2bc cos A 含有四个量 a、b、c、A ,从方程的角度看,已知其中三个量,总可以求出第四个
2 2 2

量。 (3)根据已知量与未知量的性质可以知道,余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢?利用余弦定理及推论可以解 决以下两类三角形的问题: ①已知三边求三角形的三个角; ②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。 这两种类型问题在有解时都只有一个解,把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度 进行刻画,使其变成了可计算的公式。 (4)从余弦定理和余弦函数的性质可知:在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的 角是直角;如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角;如果两边的平方和小于第三边的平方, 那么第三边所对的角是钝角;

2

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同步讲解

例 1: ?ABC 中, a ? 7, b ? 5, c ? 3 ,求这个三角形的最大角。 解:∵ a ? b ? c , ∴这个三角形的最大角是 A 。

b2 ? c 2 ? a 2 52 ? 32 ? 72 1 ? ?? . cos A ? 2? 5?3 2 2bc
所以这个三角形的最大角是 A ?

2? 。 3 引申:已知三角形三边长为 a、b、c ,怎样判断 ?ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?
例 2: ?ABC 中, a ? 2 3, c ? 解:根据余弦定理可知:

6 ? 2, B ?

?
4

,求 b 及 A 。

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 3

?

? ??
2

? 12 ? 8 ? 4 ?8

? ? 2 ? 2 3 ?? 3 ? ? 2 6 ?? 6 ? 2 ?
6? 2
2

6 ? 2 cos

?

?
4

∴b ? 2 2 ;

又 cos A ?

b ?c ?a 2bc
2 2

2

?2 2 ? ? ? 6 ? 2 ? ? ?2 3? ? 2 ? 2 2 ?? 6 ? 2 ?
2 2

2

1 ? . 2

∴A?

?
3



思考:你可以用平面几何知识求解本题吗? 分析:如图,在 ?ABC ,过 C 作 CH ? AB 于 H , B ? 在 ?AHC 中, HA ?

?
4

, a ? 2 3 ,则 BH ? 6, HC ? 6 ,


2, HC ? 6, AC ? b ? 2 2, A ?

?
3

3

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A

H

B

a?2 3

C

例 3:如图所示,有两条直线 AB 和 CD 相交成 80 角,交点是 O ,甲、乙两人同时从点 O 分别沿 OA、OC 方向

0

4.5km / h , 3 时后两人相距多远(结果精确到 0.1km / h )? 出发,速度分别是 4km / h、

分析:经过 3 时,甲到达点 P, OP ? 12 ? km? ,乙到达点 Q, OQ ? 13.5 ? km? ,问题转化为在 ?OPQ 中,己知

OP ? 12 ? km? , OQ ? 13.5 ? km? , ?POQ ? 800 ,求 PQ 的长。
解:经过 3 时后,甲到达点 P, OP ? 12 ? km? ,乙到达点 Q, OQ ? 13.5 ? km? ,依余弦定理,知:

PQ ? OP 2 ? OQ 2 ? 2 ? OP ? OQ cos ?POQ ? 122 ? 13.52 ? 2 ?12 ?13.5cos800 ? 16.4 ? km ?
答: 3 时后两人相距约 16.4km 。 例 4:下图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 2, 3, 5, 的长度及 ? DAB 的大小(长度精确到 0.1 ,角度精确到 1 )。
0

的图形。试计算图中线段 BD

4

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解:在 ?BCD 中, BC ? 1, CD ? 1, ?BCD ? 1350 , 因为 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos ?BCD
2 2 2

? 12 ? 12 ? 2 ?1?1cos1350 ? 2?2 2
所以 BD ? 1.8. 在 ?ABD 中, AB ? 1, BD ?

2 ? 2 , AD ? 3.

AB 2 ? AD 2 ? BD 2 因为 cos ?DAB ? 2 AB ? AD
? 12 ?

? 3? ? ?2 ? 2 ?
2
0

2 ? 1? 3 ? 0.1691.
所以 ?DAB ? 80 . 思考:你还能用其他方法求线段 BD 的长度及 ? DAB 的大小吗? (二) 、迁移运用 1、在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为 ( C A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2、在 ?ABC 中, a ? 4, b ? 3, C ?

)

,则 c ? 。 ( 13 ) 3 3、在 ?ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ?ABC 的类型。 (钝角三角形) 4、平行四边形两条邻边的长分别是 4 6cm和4 3cm, 它们的夹角是 45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它 的面积.( 4 3cm 和 4 15cm , 48cm ) .
2

?

连接高考
例 1(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c.已知 a -c =2b, 且 sinAcosC=3cosAsinC, 求 b. 解:由余弦定理得
2 2

a2-c2=b2-2bccosA.
又 a -c =2b,b≠0,所以 b=2ccosA+2.
2 2



5

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又 sinAcosC=3cosAsinC, sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC, sin(A+C)=4cosAsinC, sinB=4sinCcosA. 由正弦定理得 sinB= sinC, 故 b=4ccosA. 由①、②解得 b=4. 例 2 在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ( ) ②

b c

解析:法一:因为在△ABC 中,A+B+C=π , 即 C=π -(A+B),所以 sinC=sin(A+B). 由 2sinAcosB=sinC, 得 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0. 又因为-π <A-B<π ,所以 A-B=0,即 A=B. 所以△ABC 是等腰三角形. 法二:利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC 可化为 2a·

a2+c2-b2 2 2 2 2 2 2 =c,即 a +c -b =c ,即 a -b =0, 2ac
2

即 a =b ,故 a=b.所以△ABC 是等腰三角形. 答案:B 例 3 在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA= 8 A. 17 13 C. 15 15 B. 17 13 D. 17 ( )

2

1 解析:S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA= bcsinA,∴sinA=4(1-cosA),16(1-cosA)2+cos2A 2 15 =1,∴cosA= . 17 答案:B

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例 4 (2010?长沙模拟)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=4,C=60°,S△ABC=83,则边长 c =______. 解析:S△ABC=12absinC=12×4×b×32=83,∴b=8.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=42+82-2×4×8×12 =48,∴c=43. 答案:43 例 5 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA,sinA),若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=________. 解析:∵m⊥n,∴ 3cosA-sinA=0, π ∴tanA= 3,∴A= . 3 ∵acosB+bcosA=csinC, ∴sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC, ∴sin(A+B)=sin C,∴sinC=sin C, ∵sinC≠0,∴sinC=1. π π ∴C= ,∴B= . 2 6 π 答案: 6 例6 π π b sin2C (2010· 长郡模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, <C< 且 = , 3 2 a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC 的形状; (2)若| BA ? BC |=2,求 BA ? BC 的取值范围. b sin2C 解:(1)由 = 及正弦定理有 sinB=sin2C, a-b sinA-sin2C π π ∴B=2C 或 B+2C=π,若 B=2C 且 <C< , 3 2 2 ∴ π<B<π,B+C>π(舍); 3 ∴B+2C=π,则 A=C,∴△ABC 为等腰三角形. (2)∵| BA ? BC |=2,∴a2+c2+2ac· cosB=4, 2-a2 π π ∴cosB= 2 (∵a=c),而 cosB=-cos2C, <C< , a 3 2 1 4 2 ∴ <cosB<1,∴1<a2< ,又 BA ? BC =accosB=2-a2,∴ BA ? BC ∈( , 1). 2 3 3
2 2

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同步练习
1、 (2012 年上海)在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定. )

2、 (2011 年辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B ? b cos A ? 2a 则
2

b ?( a



(A) 2 3

(B) 2 2

(C)

3

(D) 2
2 2

3、 (2010 年天津)在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则 A= ( (A) 30
0



(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

4、 (2010 年湖南)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c 。若 ?C ? 120 , c ? A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a , b 的大小关系不能确定

2a ,则[(



5(2012 年北京)在 ?ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

1 ,则 b ? 4



6、 (2012 年湖北) 设△ABC 的 内角 A,B,C, 所对的边分别是 a, b, c 。 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则角 C=______________。 7、 (2012 年重庆)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? 8、 (2010 年山东)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 的大小为 9、 (2010 年江苏)在锐角三角形 ABC, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 10、 (2011 年江苏)在△ABC 中,角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? ? a b tan A tan B

?

1 ) ? 2 cos A, 求 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6 3

易错题精讲
例题 1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a ? b ? c ,求 A 的取值范围。
2 2 2

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错解:∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 。则

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数 2bc

且 cos90° ? 0,∴A ? 90° 又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边,造成解题 错误。 正解:由上面的解法,可得 A<90°。 又∵a 为最大边,∴A>60°。因此得 A 的取值范围是(60°,90°) 。

例题 2 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ? 由余弦定理,得 a ?

3 ,又 S △ABC

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C 1 1 ? bc sin A ,∴ 3 ? c sin 60° ,解得 c=4。 2 2

3 ,求

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13

又由正弦定理,得 sin C ?

6 3 , sin B ? 。 39 2 39



a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 。 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c ? 4,a ? 13 。由正弦定理,得

2R ?

a ?b?c 2 39 a 13 2 39 ? 2R ? 。∴ 。 ? ? sin A ? sin B ? sin C 3 sin A sin 60° 3

例题 3 在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。 错解:由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos15°
2 2 2

? 4 ? 8 ? 2× 2× 2 2×

6? 2 ? 8?4 3 4

∴c ?

6 ? 2。

9

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又由正弦定理,得 sin A ?

a sin C 1 ? c 2

=30 或A ? 150 。 而 0 ? A ? 180 ,∴A
0 0 0 0

辨析:由题意 b ? a ,∴ B ? A 。因此 A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时,要 善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。 正解:同上 c ?

6 ? 2 , sin A ?

1 ,∵b ? a ,∴B ? A,且00 ? A ? 1800,∴A ? 300 。 2

例题 4 在△ABC 中, ? cos A ? b cos B ,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ∴ sin 2 A ? sin 2 B,∴2 A ? 2 B且2 A ? 2 B ? 180° ∴A=B 且 A+B=90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例 5 若 a,b,c 是三角形的三边长,证明长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。 错解:不妨设 0 ? a ? b ? c ,只要考虑最大边的对角θ 为锐角即可。

cos? ?

( a )2 ? ( b)2 ? ( c)2 a ? b ? c 。 ? 2 a b 2 ab

由于 a,b,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有 a ? b ? c ,即 cos? ? 0 。 ∴长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角。显然 错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得 cos? ? 0 又∵ a ? b ? c ?

( a ? b ? c )( a ? b ? c ) a? b? c

?

( a ? b )2 ? c a?b?c 2 ab ? ? ?0 a? b? c a? b? c a? b? c
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即长为 a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。

1.△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于( A. 30° B.45° C.60°

) D.120° ( )

2.已知△ABC 中, sinA:sinB:sinC =1∶ 3 ∶2,则 A∶B∶C 等于 A.1∶2∶3 C.1∶3∶2 B.2∶3∶1 D.3∶1∶2

2 3.在 ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则 ABC 一定是

( D、等边三角形 )



A、锐角三角形

B、钝角三角形

C、等腰三角形

5.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A.12 B.

21 2

C.28

D. 6 3 )

6.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=( A. 90
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

7.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A. ?

1 5

B. ?

1 6

C. ?

1 7

13 ,则最大角的余弦是( 14 1 D. ? 8
) C. 16 D. 4



8.三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根, 则三角形的另一边长为( A. 52 B. 2 13

13.在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

14.在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是

15. .在△ABC 中,∠C=60°,a、b、c 分别为∠A、∠B、.C 的对边,则
17.△A BC 中, AB ?

a b ? =________. b?c a?c

6 ? 2 , ∠C=30 0 ,则 AC+BC 的最大值是________。

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2 19.在△ABC 中, a ? b ? 10 ,cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,求△ABC 周长的最小值。

20.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度
2

数; (2)AB 的长度。

参 考 答 案 : 1C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.A

2.A

3.D

13.4 或 5 14.120° 15.1 16. 4 15 cm 和 4 3 cm

17.4(





:(

(a ? b) ? a ? b ? 2ab
2 2 2

=

c ? 2ab(1 ? cos C)
2



c2 ?

( a ? b) 2 (1 ? cos C ) 2



(a ? b) 2 (1 ?

c2 ( 6 ? 2) 2 1 ? cos C ) ? C 2 ,∴ (a ? b) 2 ? ? ? 16 ,当且仅当 a=b 时,a+b 取到最大值 4. 1 ? cos C 2 3 1? 1? 2 2 1? 2

18.解:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x,根据四边形的内角和有 3x+7x+4x+10x=360°。解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结 BD,得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中,由余弦定理得

BD 2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2 BC ? DC ? cos C ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a ?
∴BD= 3 a.

1 ? 3a 2 , 2

这时 DC ? BD ? BC ,可得△BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形。
2 2 2

??CDB ? 30 , 于是?ADB ? 120 . 在△ABD 中,由正弦定理有
3a ? 3 2 = 3 2a 2 2 2

BD ? sin ?ADB 3a sin ?120? AB= = = sin A sin 45?

∴AB 的长为

3 2a 2
2

19.解:? 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

? x1 ? 2, x 2 ? ?

1 2 ? cos C ? ? 1 2

又? cos C 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根

12

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由余弦定理可得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ? 则: c 2 ? 100? a?10 ? a? ? ?a ? 5? ? 75
2

? 1? 2 ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2?

当 a ? 5 时,c 最小且 c ?

75 ? 5 3

此时 a ? b ? c ? 10 ? 5 3

? △ABC 周长的最小值为 10 ? 5 3
20.解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?

1 2

? C=120°

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2
2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10

13

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人教版高中余弦定理教案_数学_高中教育_教育专区。《余弦定理》教案 一、教材分析 《余弦定理》选自人教 A 版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课 的...
余弦定理题型
余弦定理题型_高一数学_数学_高中教育_教育专区。余弦定理题型第二讲 1.余弦定理 余弦定理 (1)语言叙述:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与...
正余弦定理综合习题及答案
余弦定理综合习题及答案_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理综合训练题及答案 正余弦定理综合 1. (2014 天津) 在 D ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边...
正弦定理和余弦定理 知识点与题型归纳
? 2ab ? 注意:(补充) (1)关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 (2)勾股定理是余弦定理的特例 (3)在 ?ABC 中, a ? b ...
正余弦定理教案
教学目标: 1 知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系 2 过程与方法:通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容,并从具体的 实例掌握正弦...
2014高考数学第一轮复习 正余弦定理
2014高考数学第一轮复习 正余弦定理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法. 2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,...
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