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指数式和对数式的运算(简单的)


指数式和对数式的运算
一、 基础知识回顾: 1. n 次方根的含义:一般地, x 表示,式子
n

? a ,那么 x 叫做 a 的
叫根指数,

,其中 n

? 1且 n ? N * ,用符号

叫做根式,其中

叫被开方数。 ;负分数指数幂的意义是

2.正分数指数幂的意义是 。重要关系: (1)

?

n

a

?

n

?
0

n

;(2) n 为奇数时,

an ?
?n

n

; n 为偶数时,

an ?

3.指数幂的运算性质: (1) a (3) a
r

?

(a )

? 0)
(4) ) 。 (

(2) a

?

(a

? 0)


? as ?
r

( (

(a r ) s ?



(5) ( ab)

?

4.对数的含义: log a (2) log a 1 ?

n?b ?


) ;特别的有: (1) log a

a?



5.对数的运算法则: M (3) log a

? 0, N ? 0. (1) log a MN ?
。对数恒等式 a
log a N

; (2) log a 。

M ? N

Mn ?

?

6.对数的换底公式: log a

b?
,(3) log a m

;换底公式的变形形式: (1) log a

b?

1 log b a

,

(2) log a n

bn ?

bn ?

.

二、基础巩固练习: 1. a, b ? R, 下列各式总能成立的是( ) 。
8

A.

? 6 a ?6 b ? ? a ? b ? ? ? ?
4

6

B.

?a

2

? b2

?

8

? a2 ? b2

C.

a4 ?

4

b4 ? a ? b

10

D.

?a ? b?10

? a?b


2.函数

y?

2n x2 n

x

(n ? N ? ) 的定义域是
4. log x (

,值域是

3.设 5

x

? 4,5 y ? 2, 则 5 2 x ? y ?
2

2 ? 1) ? ?1, 则 x ?

5.已知方程 x

? x log 2 6 ? log 2 3 ? 0 的两根为 ? , ?

,则 ?

?1? ?1? ? ?? ? ? ?4? ?4?

?

?



1

三、例题与练习: 例 1.(1)设

x ? 3, 则 x 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9 ?
x ? 2 x ?1
(3)计算: ( a ).



(2)化简:

7 ? 2 10 ? 7 ? 2 10 ;

n

同步练习: (1)探究

n a n ? ? a ? ? 2a 时,实数 a 与自然数 n(n ? N * ) 所满足的条件是什么? ? ? ? ?

n

(2)计算: (0.064 )

?

1 3

? 7? ? ? ? ? ? (?2) 3 ? 8?

0

?

?

?

4 3

? 16

? 0.75

? ? 0.01

1 2



1

1

例 2.(1)已知 x ?

y ? 12, xy ? 9 且 x ? y ,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值;

同步练习: (1) (1 ?

2 ) ?1 ? ( 2 ? 3 ) ?1 ? ( 3 ? 2) ?1 ? ? ? ? ? ?( n ? n ? 1) ?1 ;

(2)设 x

1 2

?x

?

1 2

? 3, 求

x ?x ?2 的值。 x 2 ? x ?2 ? 3

3 2

?

3 2

例 3.计算: (1)

lg 2 ? lg 3 ? lg 10 lg 1.8

; (2) lg 4 ? lg 9 ? 2

(lg 6) 2 ? 1 ? 2 lg 6 ;

(3)已知 log 5

2 ? a, 求2 log 5 10 ? log 5 0.5 的值。

2

同步练习:计算: (1) log (

1
2 ?1)

3? 2 2



(2)

lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 1 lg 0.3 ? lg 2 2



(3)计算: 2

log4 (lg 3?1)

2

?3

1 log81 (lg ? 2 ) 4 3

;

?1? (4) log 9 ? log 9 27 ? ? ? 3 ? 4?

log4

1 16



(5) (log 2

3 ? log 4 9 ? log 8 27 ? ? ? ? ? ? log 2 n 3 n ) ? log 9

n

32 .

6.已知 log 2 7. 已知

x ? 3, 则x

?

1 2

?(

) 。 。

f ( x 6 ) ? log 2 x, 则 f (8) ? ? a, log 2 5 ? b, 则lg 3 ? (
B.

8.已知 log 8 9



A.

a b ?1

3a 2(b ? 1)

C.

3a 2(b ? 1)

D.

3(a ? 1) 2b

3


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