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人教版数学必修四:2.2.3向量的数乘(2)学案(教师版)


课题:§2.2 .3 向量的数乘(2) 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 (1)理解向量共线含义,掌握向量共线定理,会判断两个向量是否共线 (2)学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理,证明简单的几何问 题. 【重点难点】 重点:向量共线定理, C 难点:向量共线定理的证明和应用。 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈: 如图:D、E 分别为Δ ABC 的边 AB、AC 的中点. 问题 1: BC 与 DE 共线吗? E B A D 问题 2: DE 能用 BC 线性表示吗? 学生活动 通过解答以上的问题,我们看到,如果两个向量共线,那么其中的一个向量可以由另 一个(非零)向量的数乘来表示,即线性表示。 二、知识建构与应用: 向量共线定理:如果有一个实数λ ,使 b ? ? a(a ? 0) ,那么 b 与 a 是共线向量;反之, 如果 b 与 a(a ? 0) 是共线向量,那么有且只有一个实数λ ,使 b ? ? a 。 定理的证明(证明要从两方面来进行) 。 让学生体会定理中的 a ? 0 的含义。 三、例题 例 1 如图,Δ OAB 中,C 为直线 AB 上一点, AC =λ CB (λ ≠-1). 求证: OC ? OA ? ? OB 1? ? A C B O 提问:上例中,当λ =1 时,你能得到什么结论? 提问:当λ >0,λ <0 时点 C 分别在直线 AB 的什么位置上? 提问:当 C 与 A 重合时λ 的值是多少? C 与 B 能重合吗? 探究 例 1 的结论也可写成 OC ? 1 ? OA ? OB ,其中两个系数之和是常数 1,我 1? ? 1? ? 们发现如果满足以下的要求,则 A, B, C 三点共线。 (1) 存在确定的实数λ 使 AC =λ CB (λ ≠-1). (2)平面上另有一点 C ,若存在两个实数 s , t 且 s ? t ? 1 ,使 OC ? sOA ? t OB . 两者等价(证明选讲) 例 2 判断下列各题中的向量是否共线: 2 1 (1) a ? 4e1 ? e 2 , b ? e1 ? e 2 ;其中 e1 , e2 不共线 5 10 (2) a ? e1 ? e2 , b ? 2e1 ? 2e2 ,其中 e1 , e2 共线. 提问:以上的例题中, “ e1 , e2 不共线”有什么意义? 四、巩固练习 1.已知 a, b 都是非零向量,且 2a ? 3b ? 0, 求证: a // b . 2.已知向量 a ? 2e1 ? 2e2 , b ? ?3(e2 ? e1 ) ,求证: a 与 b 是共线向量。 3.已知 MP ? 4e1 ? 2e2 , PQ ? 2e1 ? e2 ,求证: M , P, Q 三点共线。 五、回顾反思 六、作业批改情况记录及分析

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