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广东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:三角函数


广东省 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练 三角函数
一、选择、填空题 1、(2016 年全国 I 卷高考)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 ,

cos A ?
(A)

2 ,则 b= 3

2 (B) 3 (C)2(D)3

>
π 1 2、(2016 年全国 I 卷高考)将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数 6 4 为 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 3、(2016 年全国 II 卷高考)函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则( )

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

4、(2016 年全国 II 卷高考)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6cos( (A)4 (B)5

π ? x) 的最大值为( 2



(C)6

(D)7 )

5、(2016 年全国 III 卷高考)若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? ( 3
4 (D) 5

4 (A) 5 ?

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

6、(2016 年全国 III 卷高考)在 △ABC 中, B = (A)

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = 4 3
5 5

3 10

(B)

10 10

(C)

(D)

3 10 10

7、(2015 年全国 I 卷)函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为

( )

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) (k? ? 8、(广东省 2016 届高三 3 月适应性考试)三角函数 f ( x) ? sin( 周期分别为( A. 3, ) B. 3, ? C. 2,

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正

?
2

?
2

D. 2, ?

9 、(广东佛山市 2016 届高三二模)已知函数 y ? sin(2x ? ? )在 x ?

?
6

处取得最大值,则函数

y ? cos(2x ? ? )的图象( ? 0) 对称 A.关于点 ( , 6 ? C.关于直线 x ? 对称 6

) B.关于点 (

?
3

, 0) 对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

10、(广东广州市 2016 届高三二模)已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? (A) 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? (B) 函数 f ? x ? 的图象关于点 ?

? ?

??

? ,则下列结论中正确的是 4?

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ?
? 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8

(C) 由函数 f ? x ? 的图象向右平移 (D) 函数 f ? x ? 在区间 ?

? ? 5? ? , ? 上单调递增 ?8 8 ?

11、 (广东深圳市 2016 届高三二模)若直线 x ? 一条对称轴,则 ? 的值为( A. ? ) C.

?
3

是函数 y ? sin(2 x ? ? ) (其中 ? ?

? )的图象的 2

?
3

B. ?

?
6

? 6

D.

? 3

12、 (广东珠海市 2016 届高三二模) 已知 sin(? ? 等于( )

?
3

) ? sin ? ? ?

5? 4 3 ? , ? ? ? ? 0, 则 sin(?? ? ) 6 5 2

A. ?

4 5 3 C. 5

3 5 4 D. 5
B. ?

13、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟)已知 sin( A、

?
4

? x) ? 16 25

4 ,则 sin 2 x =( 5



18 25

B、

7 25

C、-

7 25
=(

D、- )

14、 (清远市 2016 届高三上学期期末)cos A. B. C.

D.

15、 (汕头市 2016 届高三上学期期末)已知 cos ? A.

?? ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? ,且 ? ? ? , ?2 ? 5 ?2 2
3 4

? ? ,则 tan ? ? ( ?
3 4



4 3

B.

3 4

C. ?

D. ?

16、(汕尾市2016届高三上学期调研)下列选项中是函数

的零点的是 ( )

17、(韶关市 2016 届高三上学期调研)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正 周期是 ? ,将函数 f ( x ) 图象向左平移

? 个单位长度后所得的函数图象过点 P(0,1) ,则函数 3

f ( x) ? sin(? x ? ? ) (
A.在区间 [ ? C.在区间 [ ?

) B.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? ? ? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递减 3 6

? ? ? ?

, ] 上单调递增 6 3 , ] 上单调递增 3 6

18、(湛江市 2016 年普通高考测试(一))函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? A、关于直线 x ? C、关于点(

?

?
6

对称

B、关于直线 x ? ?

?
12

6

) 的图象

对称

2? ,0)对称 3

D、关于点( ? ,0)对称

19、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? sin ?

?? ? ?? ? ? ?2 ?

(A)

2 5

(B)

2 5

(C)

2 3

(D)

2 3

二、解答题 1、(2016 年江苏省高考)在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6 4 π ,C = . 5 4

2、(2016 年山东高考)设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向 左平移

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6

3、(2015 年全国 I 卷)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90? ,且 a ?

2, 求 ?ABC 的面积.

4、(广东佛山市 2016 届高三二模)已知 A 、 B 、 C 、 D 为同一平面上的四个点,且满足 AB ? 2 , BC ? CD ? DA ? 1 ,设 ?BAD ? ? , ?ABD 的面积为 S , ?BCD 的面积为 T . (1)当 ? ? 时,求 T 的值; 3 (2)当 S ? T 时,求 cos ? 的值;

?

5、(广东广州市 2016 届高三二模) 在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,

2b s i n B? ? 2 a? ? c sin A ? ?
(Ⅰ) 求 B 的大小;

c 2 ?? a

s. iC n

(Ⅱ) 若 b ? 3 , A ?

? , 求△ ABC 的面积. 4

6、(广东深圳市 2016 届高三二模)在 ?ABC 中,点 M 是 BC 上的一点, BM =3 , AC ? 2 10 ,

?B ? 45? , cos ?BAM ?

3 10 . 10

A

(1)求线段 AM 的长度; (2)求线段 MC 的长度.

B

M

C

7 、(广东珠海市 2016 届高三二模)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边,且

(a2 ? b2 ? c2 ) tan C ? 2ab .
⑴ 求角 C 的大小; ⑵ 若 c ? 2 , b ? 2 2 ,求边 a 的值及△ABC 的面积.

8、(惠州市2016届高三第三次调研)如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 ,

CD ? 3 , cos B ?

3 . 3
B

A

D

(Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

C

9、(揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, 且 3c sin A ? a cos C . (I)求 C 的值; (II)若 c ? 7a , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

10、(汕头市 2016 届高三上学期期末)在 ??? C 中,角 ? 、 ? 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,

b ? 2 , c ? 1 , cos ? ?
(I)求 sin C 的值; (II)求 ??? C 的面积.

3 . 4

参考答案 一、选择、填空题 1、D
2 【解析】由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去),选 D. 3 3

2、D 【解析】函数 y ? 2sin(2 x ?

? ? 1 ) 的周期为 ? ,将函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个周期即 6 6 4 ? ? ? ? 个单位,所得函数为 y ? 2sin[2( x ? ) ? )] ? 2sin(2 x ? ) ,故选 D. 4 4 6 3

3、A 4、B 5、D 6、D 7、【答案】D

【解析】

? ?1 ? +? ? ? ? ? ? 2 ,解得 ? =? , 试题分析:由五点作图知, ? 4 ? = ,所以 f ( x) ? cos(? x ? ) ,令 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
2 k? ? ? x ?

?

4 3 2k ? ), k ? Z ,故选 D. 4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 1 < x < 2k ? , k ? Z ,故单调减区间为( 2k ? , 4 4 4

8、B 9、 【答案】A 【解析】∵ 2 ?

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? 2k? ?

?
6

,k ?Z ,

∴ y ? cos(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? 2k? ?

?

) ? cos(2 x ? ) , 6 6

?

当x?

?
6

时, y ? cos(2 ?

?

? ) ? 0 ,故选A. 6 6

?

10、C 11、【答案】B 【解析】∵ 2 ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? k? ?

?
6

, k ? Z ,∵ ? ?

?
2

,∴ ? ? ?

?
6



12、【答案】A 【解析】因为 sin(? ? ) ? sin ? ? 诱导公式可知 sin(? ? 13、C 17、B 14、C 18、A

? 3

3 3 ? 4 3 ,利用互补角的 sin ? ? cos ? ? 3 sin(? ? ) ? ? 2 2 6 5

? 4 ? 5? 4 ) ? ? ? sin(? ? ( ? ?) ? sin( ? ?) ,因此所求的值为 ? ,选 A. 6 5 6 6 5
16、D

15、B 19、A

二、解答题 1、解(1)因为 cos B ? ,0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? ,

4 5

4 5

3 5

2 6? AC AB AC ? sin C 2 ? 5 2. ? 由正弦定理知 ,所以 AB ? ? 3 sin B sin C sin B 5
(2)在三角形 ABC 中 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? ? ? ( B ? C ). 于是 cosA ? ? cos(B? C) ? ? cos( B ?

, 4 4 4 4 3 4 2 3 2 2 又 cos B ? ,sin B ? , ,故 cos A ? ? ? ? ? ?? 5 5 5 2 5 2 10 7 2 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 10 ? ? ? 2 3 7 2 1 7 2? 6 因此 cos( A ? ) ? cos A cos ? sin A sin ? ? ? ? ? ? . 6 6 6 10 2 10 2 20
2、解析:( ? )由 f ? x ? ? 2 3 sin ?? ? x ? sin x ? ? sin x ? cos x ?
2

?

) ? ? cos B cos

?

? sin B sin

?

? 2 3 sin 2 x ? ?1 ? 2sin x cos x ? ? 3 ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1
? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ?1

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 1, 3? ?

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?
?
12

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? (或 ( k? ?

? ?

, k? ?

5? ? ?k ? Z ?, 12 ? ?

?
12

, k? ?

5? ) ?k ? Z ? ) 12

( ? )由( ? )知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1, 3?

把 y ? f ? x ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1 的图象, 3?

再把得到的图象向左平移

? 个单位,得到 y ? 2sin x ? 3 ?1 的图象, 3

即 g ? x ? ? 2sin x ? 3 ? 1. 所以

? ?? ? g ? ? ? 2sin ? 3 ? 1 ? 3. 6 ?6?
1 (II)1 4

3、【答案】(I) 【解析】

试题分析:(I)先由正弦定理将 sin 2 B ? 2sin A sin C 化为变得关系,结合条件 a ? b ,用其中一 边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值;(II)由(I)知 b 2 = 2ac ,根据勾 股定理和即可求出 c,从而求出 ?ABC 的面积. 试题解析:(I)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B = (II)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 .

a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4

故 a 2 + c 2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以三角形 ABC 的面积为 1. 4、【解析】(1)在 ?ABC 中,由余弦定理得

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos?
? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? 1 ?3, 2

在 ?BCD 中,由余弦定理得

cos ?BCD ?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 2 BC ? CD

?

12 ? 12 ? ( 3)2 1 ?? , 2 ? 1? 1 2
?

∵ ?BCD ? (0? ,180? ) ,∴ cos ?BCD ? 60 . ∴T ?

1 1 3 3 . BC ? CD sin ?BCD ? ?1?1? ? 2 2 2 4
1 AD ? AB sin ?BCD ? sin ? . 2

(2) S ?

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos? ? 5 ? 4cos ? ,

cos ?BCD ?
T?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 4cos ? ? 3 ? , 2 BC ? CD 2

1 1 BC ? CD sin ?BCD ? sin ?BCD , 2 2 1 ∵ S ? T ,∴ sin ? ? sin ?BCD , 2
∴ 4sin ? ? sin ?BCD ? 1 ? cos ?BCD ? 1 ? (
2 2 2

4 cos ? ? 3 ), 2

∴ cos ? ?

7 . 8

5、(Ⅰ)解: ∵ 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C , 由正弦定理得, 2b ? ? 2a ? c ? a ? ? 2c ? a ? c , ……………………………………1 分
2

化简得, a ? c ? b ? ac ? 0 .
2 2 2

……………………………………………………2 分

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ?ac 1 ? ? ? . …………………………………………………4 分 2ac 2ac 2

∵0 ? B ? ?, ∴B ?

2? . 3

……………………………………………………5 分

(Ⅱ)解:∵ A ? ∴ sin C ? sin ?

? ? 2? ? ? ? ? . …………………………………6 分 , ∴C ? ? ? ? 4 4 3 3 4
…………8 分

? ? ? ? 6? 2 ?? ?? . ? ? ? sin cos ? cos sin ? 3 4 3 4 4 ?3 4?

由正弦定理得,

c b ? , ……………………………………………………9 分 sin C sin B
2? , 3
………………………………………………………10 分

∵b ? 3 , B ? ∴c ?

b sin C 6? 2 . ? sin B 2

∴△ ABC 的面积 S ?

? 3? 3 1 1 6? 2 . ………12 分 bc sin A ? ? 3 ? ? sin ? 4 2 2 2 4

6、【解析】(1)∵ cos ?BAM ?

3 10 , ?BAM ? (0? ,180? ) , 10 10 . 10

∴ sin ?BAM ? 1 ? cos ?BAM ?
2

∵ sin ?ABM ?

BM AM 2 ? , BM =3 , , sin ?BAM sin ?B 2

BM ? sin ?B ? ∴ AM ? sin ?BAM

3?

2 2 ?3 5. 10 10

(2) cos ?AMC ? cos(?BAM ? ?B) ? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B

? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B ?
2 2 2

3 10 2 10 2 5 ? ? ? ? , 10 2 10 2 5

∵ AC ? 2 10 , AC ? MC ? AM ? 2MC ? AM ? cos ?AMC , ∴ (2 10) ? MC ? (3 5) ? 2 MC ? 3 5 ?
2 2 2

5 , 5

∴ MC ? 6MC ? 5 ? 0 ,
2

∴ MC ? 1 ,或 MC ? 5 .

7、【解析】⑴ 由已知得,

a 2 ? b2 ? c 2 2 tan C ? 2ab 2

则 cos C ? tan C ? ∴C=

2 2 ? sin C ? 2 2
…………6 分

3? ? 或 C= . 4 4

(2)∵ c ? 2 , b ? 2 2 ,∴ C =

c 2 ? a 2 ? (2 2) 2 ? 2a ? 2 2 ? cos

?
4

? ,由余弦定理 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 得 4

2 整理得 a ? 4a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2 ,

△ABC 面积为 S ?

1 1 ac ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

…………12 分

8、【解析】(Ⅰ)因为∠D=2∠B, cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

3 , 3
(2 分)

1 3

A

D

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

2 2 , (4 分) 3

B

C

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 . (6 分) 2
2 2 2

(Ⅱ)在△ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .
2 2

(8 分)
2

在△ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 把已知条件代入并化简得: AB ? 4 AB ? 0
2

(10 分)

因为 AB≠0,所以 AB = 4

(12 分)

9、解:(I)∵ A 、 C 为 ?ABC 的内角,

由 3c sin A ? a cos C 知 sin A ? 0,cos C ? 0 ,结合正弦定理可得:

3 sin A a sin A ------------------------------------------------------------3 分 ? ? cos C c sin C

? tan C ?
∵0 ? C ??

3 ,-----------------------------------------------------------------4 分 3
∴C ?

?
6

.--------------------------------------------------------5 分

(II)解法 1:∵ c ? 7a , b ? 2 3 , 由余弦定理得: 7a ? a ? 12 ? 4 3a ?
2 2
2

3 ,----------------------------------------7 分 2

整理得: a ? a ? 2 ? 0 解得: a ? 1 或 a ? ?2 (不合舍去)--------------------------9 分 ∴ a ? 1 ,由 S?ABC ?

1 ab sin C 得 2

1 1 3 ?ABC 的面积 S?ABC ? ?1? 2 3 ? ? .--------------------------------------12 分 2 2 2
【解法 2:由 c ? 7a 结合正弦定理得: sin A ?

1 7 ,---------------------6 分 sin C ? 14 7
3 21 ,-----------------------------7 分 14

∵ a ? c, ∴ A ? C ,

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

∴ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos A sin C =
由正弦定理得: a ?

7 3 3 21 1 21 ? ? ? ? . ----------------------------9 分 14 2 14 2 7

b sin A ? 1 ,-------------------------------------------------10 分 sin B

∴ ?ABC 的面积 S?ABC ?

1 1 3 ? 1? 2 3 ? ? .------------------------------------12 分】 2 2 2

10、解:(Ⅰ)在△ABC 中,由 cos B ?

7 3 且 0 ? B ? ? ,得 sin B ? ,……3 分 4 4

又由正弦定理:

14 c b ? 得: sin C ? .……6 分 sin C sin B 8

2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B 得: 2 ? a ? 1 ? 2a ?
2

3 , 4

即a ?
2

1 3 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? - (舍去),………………4 分 2 2

所以, S? ABC ?

1 1 7 7 ? a ? c ? sin B ? ?1? 2 ? ? ……………………6分 2 2 4 4


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