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二次函数综合练习题(含答案)


二次函数综合练习题
一、选择题 1. (2013 江苏苏州,6,3 分)已知二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一 个交点为(1,0),则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是( ) . A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 【答案】B. 【解析】∵二次函数 y=x2-3x+m 的图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ,∴0=12-3+m, 解得 m=2,∴二次函数为 y=x2-3x+2.设 y=0,则 x2-3x+2=0.解得 x2=1,x2=2, 这就是一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根.所以应选 B. 【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与 x 轴交点的关系.当 b2-4ac≥0 时, 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两 个根. 【易错警示】因审题不严,容易错选;或因解方程出错而错选.
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2. (2013 江苏扬州,8,3 分)方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的根可视为函数 y ? x ? 3 的图象与函数
2

1 3 的图象交点的横坐标,则方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的实根 x0 所在的范围是( ) . x 1 1 1 1 1 1 A. 0 ? x0 ? B. ? x0 ? C. ? x 0 ? D. ? x 0 ? 1 4 4 3 3 2 2 y?
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【答案】C. 【解析】首先根据题意推断方程 x3+2x-1=0 的实根是函数 y=x2+3 与 y ?

1 的图象交点的 x

横坐标, 再根据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式,找出抛物线的图象在反比例函数上 方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x3+2x-1=0 的实根 x0 所在 范围. 解:依题意得方程 x3+2x-1=0 的实根是函数 y=x2+2 与 y ? 个函数的图象如图所示,它们的交点在第一象限.

1 的图象交点的横坐标,这两 x

1 1 1 时,y=x2+2=2 , y ? =4,此时抛物线的图象在反比例函数下方; 4 16 x 1 1 1 当 x= 时,y=x2+2=2 , y ? =3,此时抛物线的图象在反比例函数下方; 3 9 x 1 1 1 当 x= 时,y=x2+2=2 , y ? =2,此时抛物线的图象在反比例函数上方; 2 4 x
当 x=

-1-

1 =1,此时抛物线的图象在反比例函数上方. x 1 1 3 所以方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的实根 x0 所在的范围是 ? x0 ? . 3 2
当 x=1 时,y=x2+2=3, y ? 所以应选 C. 【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们 要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势. 【易错警示】不会得出函数解析式,不会观察图象而出错. 3. (2013 重庆市(A),12,4 分)一次函数 y=ax+b(a≠0) 、二次函数 y=ax2+bx 和反比

k (k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示,A 点的坐标为(-2,0).则下列结 x 论中,正确的是( )
例函数 y=

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A.b=2a+k B.a=b+k C.a>b>0 D.a>k>0 【答案】D. 【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点 A 的坐标为(-2,0) ,∴-2a+b=0,∴b= 2a. 又∵抛物线开口向上,∴a>0,则 b>0.而反比例函数图象经过第一、三象限,∴k>0. ∴2a+k>2a,即 b<2a+k.故 A 选项错误. 假设 B 选项正确,则将 b=2a 代入 a=b+k,得 a=2a+k,a=-k.又∵a>0,∴-k>0, 即 k<0,这与 k>0 相矛盾,∴a=b+k 不成立.故 B 选项错误. 再由 a>0,b=2a,知 a,b 两数均是正数,且 a<b,∴b>a>0.故 C 选项错误. 这样,就只有 D 选项正确. 【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象,属于图象共存型问题.解 决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质, 能根据图象所在象限的位置准确判 断出各系数的符号.上面解法运用的是排除法,至于 D 为何正确,可由二次函数 y=ax2+
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bx 与反比例函数 y=

k b 2a b2 (k≠0)的图象,知当 x=- =- =-1 时,y=-k>- =- x 2a 2a 4a

4a 2 =-a,即 k<a.又因为 a>0,k>0,所以 a>k>0. 4a 【易错警示】二次函数 a、b、c 的符号的确定与函数图象的关系混淆不清.
4. (2013 湖南益阳,7,4 分)抛物线 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 的顶点坐标是( A.(3,1) 【答案】 :A B.(3,-1)
2

) D.(-3,-1)

C.(-3,1)

【解析】抛物线 y ? a( x ? h) ? k 的顶点是(h,k)

-2-

【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方,再得到顶点坐标;也可以利用顶 点公式 (?

b 4ac ? b2 , ) 求顶点坐标。 2a 4a
2

4. (2013?徐州,28,10 分)如图,二次函数 y=x +bx-的图象与 x 轴交于点 A(-3,0) 和点 B,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E. (1)请直接写出点 D 的坐标: (-3,4) ; (2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值, 求出这个最大值; (3) 是否存在这样的点 P, 使△ PED 是等腰三角形?若存在, 请求出点 P 的坐标及此时△ PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
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考点: 二次函数综合题. 分析: (1)将点 A 的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点 B 的坐标即 可求得正方形 ABCD 的边长,从而求得点 D 的纵坐标; (2)PA=t,OE=l,利用△ DAP∽△POE 得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数, 求最值即可; (3)分点 P 位于 y 轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积. 解答:解: (1) (-3,4) ;
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(2)设 PA=t,OE=l, 由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△ DAP∽△POE, ∴ , ∴当 t=时,l 有最大值 ∴l=- + =-(t-) +
2

, ;
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即 P 为 AO 中点时,OE 的最大值为

(3)存在. ①点 P 点在 y 轴左侧时,P 点的坐标为(-4,0) 由△ PAD∽△OEG 得 OE=PA=1,∴OP=OA+PA=4。 ∵△ADG∽△OEG,∴AG:GO=AD:OE=4:1
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-3-

∴AG=


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∴重叠部分的面积=



②当 P 点在 y 轴右侧时,P 点的坐标为(4,0) , 此时重叠部分的面积为

点评: 本题考查了二次函数的综合知识,与二次函数的最值结合起来,题目的难度较大.
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5. (2013·鞍山,18,2 分)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销 售,每月能卖出 3 万件;若按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/件)之间满足一次函数关系. (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 考点:二次函数的应用. 分析: (1)利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式; (2)根据“利润=(售价-成本)×售出件数”,可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数 关系式,然后求出其最大值. 解答:解: (1)由题意,可设 y=kx+b,
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把(5,30000) , (6,20000)代入得:

,解得:



-4-

所以 y 与 x 之间的关系式为:y=-10000x+80000; (2)设利润为 W,则 W=(x-4) (-10000x+80000)
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[

=-10000(x-4) (x-8)=-10000(x -12x+32)=-10000[(x-6) -4] 2 =-10000(x-6) +40000 所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元. 答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元. 点评:本题主要考查利用函数模型(二次函数与一次函数)解决实际问题的能力.要先根据 题意列出函数关系式,再代数求值.解题关键是要分析题意根据实际意义求解.注意:数学 应用题来源于实践用于实践, 在当今社会市场经济的环境下, 应掌握一些有关商品价格和利 润的知识.

2

2

6. (2013?东营,24,12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A(2,0) ,与 y 轴的交点为 B(0,-1) . y
O B A
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x

(第 24 题图)

(1)求抛物线的解析式;

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(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C,使以 BC 为 直径的圆经过抛物线的顶点 A.并求出 点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标. (3)在(2)的基础上,设直线 x=t(0<t<10)与抛物线交于点 N,当 t 为何值时,△BCN 的面 积最大,并求出最大值.
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分析: (1)已知抛物线的顶点坐标,可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.
0 (2)设 C 点坐标为(x,y) ,由题意可知 ?BAC ? 90 .过点 C 作 CD ? x 轴于点 D,连

接 AB,AC.易证 ?AOB ? ?CDA ,根据对应线段成比例得出 x, y 的关系式 y ? ?2 x ? 4 , 再根据点 C 在抛物线上得 y ? ?

1 2 x ? x ? 1 ,联立两个关系式组成方程组,求出 x, y 的值, 4

再根据点 C 所在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点,取 OD 中点 H,连 PH,则 PH

-5-

为梯形 OBCD 的中位线.可得 OH ?

1 OD ? 5 ,故点 H 的坐标为(5,0)再根据点 P 在 2
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BC 上,可求出直线 BC 的解析式,求出点 P 的坐标。 (3)根据 S?BCN ? S?BMN ? S?CMN ,得 S ?BCN ?

1 MN ? 10 ? 5MN ,所以求 S?BCN 的最大值 2
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就是求 MN 的最大值,而 M,N 两点的横坐标相同,所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标,从而形成关于 MN 长的二次函数解析式,利用二次函数的最值求解。 解:(1) ∵抛物线的顶点是 A(2,0),设抛物线的解析式为 y = a( x - 2)2 . 由抛物线过 B(0,-1) 得 4 a = - 1 ,∴ a = ∴抛物线的解析式为 y = 即y =-

1 .????????2 分 4

1 ( x - 2) 2 . 4
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1 2 x + x - 1 .????????????3 分 4
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(2)设 C 的坐标为(x,y). y
O B A H D

x

P

C (第 24(2)答案图)

∵A 在以 BC 为直径的圆上.∴∠BAC=90°. 作 CD⊥x 轴于 D ,连接 AB、AC. ∵ ?BAO ? ?DAC ? 90 , ?DAC ? ?DCA ? 90 ∴ ?BAO ? ?DCA
0 0

∴ △AOB∽△CDA.?????????4 分 ∴ ∴OB·CD=OA·AD. 即 1·y =2(x-2).∴ y =2x-4. ∵点 C 在第四象限. ∴ y = - 2 x + 4 ????????????5 分
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OB OA = AD CD

[w^*]

-6-

ì y = - 2 x + 4, 祆 x1 = 10 x2 = 2 ? 镲 由í 解得 眄 . , 1 2 y1 = 10 y2 = 0 ? y = - x +x - 1 镲 铑 ? 4
∵点 C 在对 称轴右侧的抛物线上.

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∴点 C 的坐标为 (10,-16).????????6 分 ∵P 为圆心,∴P 为 BC 中点.
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取 OD 中点 H,连 PH,则 PH 为梯形 OBCD 的中位线. ∴PH=

1 17 (OB+CD)= .????????7 分 2 2

∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -

17 ). 2

故点 P 坐标为(5, -

17 ).??????????8 分 2
骣 1 2 t + t - 1 ,直线 x=t(0<t<10)与直线 BC 交于点 M. 桫 4

t, (3)设点 N 的坐标为 琪 琪

S DBMN =

1 1 MN ? t , SDCMN = MN ? (10 t ) 2 2
x=t

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y
O B A

N

x

M

C (第 24(3)答案图)

所以 SDBCN = SDBMN + SDCMN =

1 MN ? 10 ?????????9 分 2

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设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)

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-7-

ì 3 ì b = - 1, ?k =- , ? 所以 í 成立,解得: í 2 ??????????10 分 ? ? 10k + b = - 16 ? ?b =-1
所以直线 BC 的解析式为 y = -

骣 3 3 x - 1 ,则点 M 的坐标为. 琪 琪 t, - t-1 2 桫 2

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MN= 琪 琪

骣1

骣3 1 5 t 2 +t - 1 - 琪 - t - 1 = - t 2 + t ?????????11 分 琪 4 2 桫4 桫2

1 1 5 SDBCN = (- t 2 + t ) ? 10 2 4 2
=-

5 2 25 5 125 t + t = - (t - 5) 2 + 4 2 4 4

所以,当 t=5 时, SDBCN 有最大值,最大值是

125 .??????????12 分 4
2

点拨: (1)已知抛物线的顶点坐标(h,k)一般可设其解析式为 y ? a ? x ? h ? ? k .(2)求 最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.
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7. (2013·济宁,23,?分)如图,直线 y=- x+4 与坐标轴分别交于点 A、B,与直线 y=x 交于点 C.在线段 OA 上,动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运 动,同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动,当点 P、Q 其中一点停止运动时,另一点 也停止运动.分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线,交直线 AB、OC 于点 E、F,连接 EF.若运动 时间为 t 秒,在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形(点 P、Q 重合除外) . (1)求点 P 运动的速度是多少? (2)当 t 为多少秒时,矩形 PEFQ 为正方形? (3)当 t 为多少秒时,矩形 PEFQ 的面积 S 最大?并求出最大值.
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-8-

[w*ww.z@% z~s tep.c^om]

考点:一次函数综合题. 分析: (1)根据直线 y=- x+4 与坐标轴分别交于点 A、B,得出 A,B 点的坐标,再利用 EP∥BO,得出 = = ,据此可以求得点 P 的运动速度;
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(2)当 PQ=PE 时,以及当 PQ=PE 时,矩形 PEFQ 为正方形,分别求出即可;

(3)根据(2)中所求得出 s 与 t 的函数关系式,进而利用二次函数性质求出即可. 解答:解: (1)∵直线 y=- x+4 与坐标轴分别交于点 A、B, ∴x=0 时,y=4,y=0 时,x=8, ∴ = = ,

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当 t 秒时,QO=FQ=t,则 EP=t, ∵EP∥BO,∴ = = ,
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∴AP=2t,

∵动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动, ∴点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度; (2)如图 1,当 PQ=PE 时,矩形 PEFQ 为正方形, 则 OQ=FQ=t,PA=2t,
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∴QP=8-t-2t=8-3t,∴8-3t=t,解得:t=2,
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如图 2,当 PQ=PE 时,矩形 PEFQ 为正方形,

∵OQ=t,PA=2t,∴OP=8-2t,∴QP=t-(8-2t)=3t-8, ∴t=3t-8,解得:t=4;
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(3)如图 1,当 Q 在 P 点的左边时, ∵OQ=t,PA=2t,∴QP=8-t-2t=8-3t,
[ [ 来源@:

∴S 矩形 PEFQ=QP?QF=(8-3t)?t=8t-3t2, 当 t=- = 时,

S 矩形 PEFQ 的最大值为:

=4,
-9-

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如图 2,当 Q 在 P 点的右边时, ∵OQ=t,PA=2t,∴QP=t-(8-2t)=3t-8, ∴S 矩形 PEFQ=QP?QE=(3t-8)?t=3t2-8t, ∵当点 P、Q 其中一点停止运动时,另一点也停止运动, ∴0≤t≤4,
网#%] [ 来#% 源:中*国 教育出^ 版网~][ 来^% 源 :中教 网#~*]

当 t=-

= 时,S 矩形 PEFQ 的最小,

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∴t=4 时,S 矩形 PEFQ 的最大值为:3× 42-8× 4=16,

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综上所述,当 t=4 时,S 矩形 PEFQ 的最大值为:16.

点评:此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用,得出 P,Q 不同的位置进行分类讨 论得出是解题关键.

8. (2013 河 北 省 ,25,12 分) 某公司在固定线路上运输,拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩. Q = W + 100, 而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x(km/h)有关(不考虑其他因素) ,W 由两部分的 和组成:一部分与 x 的平方成正比,另一部分与 x 的 n 倍成正比.试行中得到了表中的数 据. (1)用含 x 和 n 的式子表示 Q; (2)当 x = 70,Q = 450 时,求 n 的值; (3)若 n = 3,要使 Q 最大,确定 x 的值;
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- 10 -

(4)设 n = 2,x = 40,能否在 n 增加 m%(m>0) 同时 x 减少 m%的情况下,而 Q 的值仍为 420,若能,求出 m 的值;若不能,请 说明理由.[中~国&^教育出#*版网]
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参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(- 次数n 速度x 指数Q 2 40 420 1 60 100

2 b 4ac-b , ) 2a 4a

解析: (1)设 W ? k1 x 2 ? k2 nx ,∴ Q ? k1 x 2 ? k2 nx ? 100

1 ? 2 ? ?k1 ? ? ?420 ? 40 k1 ? 2 ? 40k2 ? 100 由表中数据,得 ? ,解得 ? 10 2 ? ? ?100 ? 60 k1 ? 1? 60k2 ? 100 ?k2 ? 6
1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 x ? 6nx ? 100 · 10 1 (2)由题意,得 450 ? ? ? 702 ? 6 ? 70n ? 100 10
∴Q ? ? ∴n=2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (3)当 n=3 时, Q ? ? 由a ? ?

1 2 x ? 18 x ? 100 10

1 18 =90 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 0 可知,要使 Q 最大, x ? ? 1 10 2 ? (? ) 10

(4)由题意,得

1 · · · · · · · · · · · · 10 分 [40(1 ? m%)]2 ? 6 ? 2(1 ? m%) ? 40(1 ? m%) ? 100 · 10 1 2 即 2(m%) ? m% ? 0 ,解得 m% ? ,或 m% =0(舍去) 2 420 ? ?
∴m=50 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 9. (2013 湖北省鄂州市,23,10 分)某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是 30 元, 根据市场调查:在一段时间内,销售单价是 40 元时,销售量是 600 件,而销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元(x>40) ,请你分别用 x 的代数式来表示销售 量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元,并把结果填写在表格中: x 销售单价(元) 销售量 y(件) 1000﹣10x 销售玩具获得利润 w(元) ﹣10x2+1300x﹣30000

- 11 -

(2)在(1)问条件下,若商场获得了 10000 元销售利润,求该玩具销售单价 x 应定为多少 元. (3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元,且商场要完成不 少于 540 件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
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考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)由销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣(x﹣40)x=1000﹣x, 2 利润=(1000﹣x) (x﹣30)=﹣10x +1300x﹣30000; 2 (2)令﹣10x +1300x﹣30000=10000,求出 x 的值即可; 2 (3)首先求出 x 的取值范围,然后把 w=﹣10x +1300x﹣30000 转化成 y=﹣10(x﹣ 2 65) +12250,结合 x 的取值范围,求出最大利润. 解答: 解: (1) x 销售单价(元)
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销售量 y(件) 1000﹣10x 销售玩具获得利润 w(元)﹣10x2+1300x﹣30000 (2)﹣10x +1300x﹣30000=10000 解之得:x1=50,x2=80 答:玩具销售单价为 50 元或 80 元时,可获得 10000 元销售利润, (3)根据题意得 解之得:44≤x≤46 2 2 w=﹣10x +1300x﹣30000=﹣10(x﹣65) +12250 ∵a=﹣10<0,对称轴 x=65 ∴当 44≤x≤46 时,y 随 x 增大而增大. ∴当 x=46 时,W 最大值=8640(元) 答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元. 点评: 本题主要考查了二次函数的应用的知识点, 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解,此题难度不大. 10. (2013 湖北省咸宁市, 1,9 分) 为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策: 由政府协调, 本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售, 成本价与出厂价之间的差 价由政府承担. 李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯. 已知这种节能灯的 成本价为每件 10 元,出厂价为每件 12 元,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的 关系近似满足一次函数:y=﹣10x+500. (1) 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元, 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元?
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(2)设李明获得的利润为 w(元) ,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

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(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元.如果李明想要每月获得的利润 不低于 300 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

考点: 二次函数的应用. 分析: (1)把 x=20 代入 y=﹣10x+500 求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂 价之间的差价; (2)由利润=销售价﹣成本价,得 w=(x﹣10) (﹣10x+500) ,把函数转化成顶点坐 标式,根据二次函数的性质求出最大利润; (3)令﹣10x +600x﹣5000=3000,求出 x 的值,结合图象求出利润的范围,然后设 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值. 解答: 解: (1)当 x=20 时,y=﹣10x+500=﹣10× 20+500=300, 300× (12﹣10)=300× 2=600, 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元.
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(2)依题意得,w=(x﹣10) (﹣10x+500) =﹣10x2+600x﹣5000 =﹣10(x﹣30)2+4000 ∵a=﹣10<0,∴当 x=30 时,w 有最大值 4000. 即当销售单价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000.

(3)由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得:x1=20,x2=40. ∵a=﹣10<0,抛物线开口向下,

∴结合图象可知:当 20≤x≤40 时,w≥3000.

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又∵x≤25, ∴当 20≤x≤25 时,w≥3000. 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元, ∴p=(12﹣10)× (﹣10x+500) =﹣20x+1000. ∵k=﹣20<0. ∴p 随 x 的增大而减小, ∴当 x=25 时,p 有最小值 500. 即销售单价定为 25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元. 点评: 本题主要考查了二次函数的应用的知识点, 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解,此题难度不大.

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