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3-2-3指数函数与对数函数的关系


第三章

基本初等函数(I)

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

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第三章

基本初等函数(I)

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第三章

基本初等函数(I)

1.当一个

函数是一一映射时,可以把这个函数的因变
量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作 为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为 反函数 . 2.对数函数与 直线y=x 指数函数 对称. 互为反函数,图象关于
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基本初等函数(I)

指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与性质: a>1 0<a<1
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图 象

(1)定义域:R

性 质

(2)值域为(0,+∞) (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数

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基本初等函数(I)

对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质: a>1 0<a<1
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图 象

性 质

(5)定义域为(0,+∞) (6)值域为R (7)过点(1,0),即x=1时,y=0 (8)在(0,+∞)上是增函数 (8)在(0,+∞)上是减函数

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基本初等函数(I)

本节重点:指数函数与对数函数间的关系,互为反函 数的两个函数图象间的关系.

本节难点:反函数概念的理解.
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基本初等函数(I)

1.对数函数的图象与性质又是一重点内容,学习过程 中,要充分发挥数形结合的作用,通过图象来帮助理解和

记忆,另外也要通过对数函数与指数函数的关系来对比学
习.要熟悉底数a>1和0<a<1对对数函数图象和性质的影 响.在解决与对数有关的问题时,应首先考虑定义域.
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2.对于反函数概念的理解要注意以下几点: (1)反函数的定义域与值域恰好是原来函数的值域与定

义域.由此我们在求一个函数的值域(或定义域)时,可改
求它的反函数的定义域(或值域). (2)对于任意一个函数y=f(x)不一定总有反函数,只有 当确定这个函数的映射是一一映射时,这个函数才存在反 函数.y=f(x)只有存在反函数时,才可由y0=f(x0)得出x0=f
-1(y
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)(或由b=f-1(a)得出a=f(b)). 0

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(3)反函数也是函数. (4)若 y=f(x)的反函数为 y=f 1(x), y=f(x)与 y=f 1(x) 则 在各自的定义域内具有相同的单调性. (5)反函数与原函数的图象关于直线 y=x 对称. 1 y (6)y=2x 的反函数为 y= x,不是 x= . 2 2
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- -

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[例1]

设a>0,且a≠1,则函数y=ax 与y=loga(-x)的 ( )

图象只能是图中的

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[答案] B [解析] y=ax 的反函数为y=logax,y=loga(-x)的图
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象与y=logax的图象关于y轴对称,因此,y=loga(-x)的图
象在y轴左侧,从而排除A、C.当a>1时,y=ax是增函数,y =loga(-x)是减函数,当0<a<1时,y=ax为减函数,y= loga(-x)为增函数,从而排除D,应当选B.

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[点评]

注意y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,y

=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)

的图象关于原点对称.y=f(x)与y=f-1(x)(反函数存在时)的
图象关于直线y=x对称.
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指数函数f(x)=(2-a)x和对数函数g(x)=
的图象只能是 ( )
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[答案] A
[解析] 根据指数函数和对数函数的定义,得

?2-a>0 ? ?2-a≠1 ? 1 ? >0 a-1 ? ? 1 ?a-1≠1 ?



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1 解得 1<a<2.∴0<2-a<1, >1. a-1 故函数 f(x)为减函数,函数 g(x)为增函数, 故选 A.

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[例2]

已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)
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的图象经过点Q(5,2),则b=__________. [答案] 1 [解析] 由互为反函数的图象关于直线y=x对称可知, 点Q′(2,5)必在f(x)=2x+b的图象上,∴5=22+b,∴b=1.

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x -1 1 已知函数 f(x)= ,则 f (3)=________. x+2

[答案] 1

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[解析]
-1

x 解法一:由已知条件可得 f(x)= 的反函数为 f x+2
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2x -1 1 (x)= ,∴f (3)=1. 1-x 1 x 解法二:利用互为反函数的性质,令 = ,解得 x=1, 3 x+2

1 故 f (3)=1.
-1

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[例 3]

是否存在实数 a,使得 f(x)=loga(ax- x)在区间
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[2,4]上是增函数?若存在,求出 a 的取值范围.若不存在,说 明理由.

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[解析]

设 t= x,由对数定义有
2

1 ax- x>0,∴at -t>0.∵a>0,t>0,∴t> . a 1 2 1 又知 u=at -t=a(t-2a) -4a
2

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1 在(2a,+∞)上是增函数,故要使 f(x)在[2,4]上单调递增, 1 应有 a>1 且 ≤2,∴a>1. 2a ∴存在实数 a>1 满足题设要求.

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已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0),

(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得 过两点的直线平行于x轴?
[解析] ax a (1)由 a -b >0,得( ) >1,又 a>1>b>0,∴ b b
x x
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>1,∴x>0, 即 f(x)的定义域为(0,+∞).

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(2)任取x1>x2>0,a>1>b>0, 则ax1>ax2,bx1<bx2,∴ax1-bx1>ax2-bx2>0,

即lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),故f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点,A(x1 ,y1)、 B(x2,y2)使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增 函数矛盾,故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点,使
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过这两点的直线平行于x轴.

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[ 例 4] ________.

函 数 y = log2x(x≥1) 的 反 函 数 的 定 义 域 为

[误解]
[辨析] 域. [正解]

R

∵函数y=log2x的反函数为y=2x,∴x∈R.
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误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值 ∵函数y=log2x的反函数的定义域

[0,+∞)

为原函数y=log2x的值域.

又∵x≥1,∴log2x≥0,∴反函数的定义域为[0,+∞).

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一、选择题 1.函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( )
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A.(0,+∞)
C.(0,1) [答案] B [解析]

B.(1,9]
D.[9,+∞)

函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为原函

数的值域,而0<x≤2时,1<3x≤9,∴反函数的定义域为

(1,9],故选B.

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2.若f(10x)=x,则f(5)=

(
A.log510 [答案] B [解析] ∴f(5)=lg5. B.lg5 C.105 D.510

)
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解法一:令u=10x,则x=lgu,∴f(u)=lgu,

解法二:令10x=5,∴x=lg5,∴f(5)=lg5.

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3.(2009· 潍坊模拟)已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, g(a)=1, 若 则实数 a 的值为 ( A.-e 1 B.- e 1 C. e D.e )
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[答案] C
[解析] ∵函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,
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∴f(x)=lnx, 又∵函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, ∴g(x)=-lnx,∴g(a)=-lna=1,∴lna=-1, 1 ∴a= e.

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二、填空题 4.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于

直线y=x对称,则f(x)=__________.
[答案] 3x(x∈R) [解析] ∵函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的 图象关于直线y=x对称,∴函数y=f(x)为函数y=log3x(x>0) 的反函数,∴f(x)=3x(x∈R).
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5.若函数y=1+3 -x 的反函数为y=g(x),则g(10)= __________.

[答案] -2
[解析] 令1+3-x=10,得3-x=9,∴-x=2, ∴x=-2.
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三、解答题 a b 6.若 a >b>a>1,试比较 logab、logba、logba、logab 的大
2

小.
[解析] =1, (lgb-lga)(lgb+lga) ∵logab-logba= >0, lgalgb ∴logab>logba. b a 又∵logb -loga =1-logba-1+logab>0, a b ∵a2>b>a>1,∴lga2>lgb>lga>0,且 logba2>logbb

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b a ∴logb >loga , a b b a2 又∵logba-logba=logb b =logba2-1>0, b ∴logba>logba. b a ∴logab>logba>logb >loga . a b
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