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1.2.1任意角的三角函数课件(一)123


学习目标
知识与能力
掌握任意角的三角函数的定义;

已知角α终边上一点,会求角α的各三角函 数值;

过程与方法
? 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义;

? 2、树立映射观点,正确理解三角函数是以 实数为自变量的函数;

情感态度与价值观
? 1、积极参与知识的形成过程,经历知识 的“发现”过程,获得发现的经验,培养 合情猜测能力 2、学习划归的思想,培养严谨治学、一 丝不苟的科学精神。

?

学习重点难点 重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义

难点
用角终边上的点的刻画三角函数

4.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a

sin ? ?

O

?
b

cos? ?
tan ? ?

M

a c b c a b

新课

导入

4.在直角坐标系中如何表示锐角?
P
a

O y

?
b

M

x

新课

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5.在直角坐标系中如何用锐角终边上点的坐标表示锐角 三角函数? 其中 : MP b sin ? ? ? OM ? a OP r MP ? b OM a cos ? ? ? OP r OP ? r ? a 2 ? b 2 MP b y ﹒P?a, b? tan ? ? ? OM a
?﹒
M

o

x

新课

导入

5.在直角坐标系中如何用锐角终边上点的坐标表示锐角 三角函数? 其中 : MP b y sin ? ? ? ? OM ? a ? x OP r r MP ? b ? y OM a x cos ? ? ? ? OP r r OP ? r ? a 2 ? b 2 MP y y ﹒P?a, b? tan ? ? ? OM x
?﹒
M

o

x

定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? r y y ? ?x ? 0? tan ? ? ③ x 叫做 的正弦,即 x

例1 已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4),求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 于是,
y 4 sin ? ? ? ? ; r 5 x 3 cos ? ? ? ? ; r 5
y 4 tan ? ? ? x 3

OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5

巩固


提高

练习 1、已知角

?

的终边过点

P?? 12,5? ,

?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

2、已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ?a ? R且a ? 0?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0?
2 2

?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17 a 17 ?15a 15

根据三角函数的定义 ,研究三 角函数值在各个象限的符号
y sin ? ? r x cos ? ? r
+

y tan ? ? ?x ? 0? x

y

y

y

+ O

x

+
O

x

+
O

-

-

+

+

-

x

sin ?

cos?

tan ?

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以坐标或坐标的 比值为函数值的函数, 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是以实数为自变量,以实数为函数值的函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.
三角函数 定义域

cos ? tan ?

sin ?

R R
? ? ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

练习 3
角α 弧度 数 sinα
cosα tanα

0° 90° 180° 270° 360° 30° 45° 60° 0

?
2

?

3 ? 2

2?

?
6

?
4

?
3

角α 弧度 数 sinα
cosα tanα

0° 90° 180° 270° 360° 30° 45° 60° 0 0
1 0

?
2

?
0
-1 0

3 ? 2

2?
0
1 0

?
6
1 2

?
4
2 2 2 2
1

?
3
3 2
1 2

1
0 不存 在

-1
0 不存 在

3 2

3 3

3

终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一
sin ?? ? k ? 2? ? ? sin ? cos ?? ? k ? 2? ? ? cos ? tan ?? ? k ? 2? ? ? tan ? 其中k ? Z .

角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现

可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值.

例 求下列三角函数值
?

9? 11? ? ?1? sin1480 10?; ? 2? cos ; ? 3? tan ? ? 4 ? 6 ? ? ? ? 解:?1? sin1480 10? ? sin ? 40 10 ? 4 ? 360 ? ? ? sin 40 10? ? 0.6451

? ?. ?

9? ?? ? ? 2 ? 2 ? cos ?cos ? ? 2? ? ? cos ? 4 ?4 ? 4 2

? 11? ? 3? tan ? ? ? 6

? ? ? ? ? 3 ? ? tan ? ? 2? ? ? tan ? ? ?6 ? 6 3


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