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正弦定理导学案(2课时)(hxj)


1.1正弦定理(一)
教学目标:1.了解正弦定理的推导过程. 2.理解并掌握正弦定理的内容,能运用正弦定理解决两类解三角形的问题. 3.通过正弦定理的学习,体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想. 重 难 点:1.正弦定理的理解和应用. 点:正弦定理的推导及解三角形的有关问题.

讲授新课: [知识梳理] 1.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边叫作三角形的元素,已知三角形的 几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 2.正弦定理 文字 语言 符号 语言 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等 a b c = = =2R sin A sin B sin C (R 为△ABC 的外接圆半径) [双基自测] 1.在△ABC 中,a=2 015,b=1,则 sin A∶sin B 等于( A.1∶1 B.1∶2 015 C.2 015∶1 ) D.不确定

2.有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一确定的三 角形中, 各边与它所对角的正弦的比是一定值; ④在△ABC 中, sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶ c,其中正确的个数是( A.1 ) C.3 D.4

B.2

3.在△ABC 中,acos A=bcos B,则△ABC 的形状为________. [知识应用] 探究一 利用正弦定理解三角形 [典例 1] 在△ABC 中,已知下列条件解三角形. (1)A=30° ,C=105° ,a=10; (2)B=60° ,C=45° ,b=10; (3)△ABC 中,已知 b= 3,B=60° ,c=1; (4)△ABC 中,已知 c= 6,A=45° ,a=2.

1

方法归纳: (1)已知两角与一边求解三角形的类型,此类问题的基本解法是: ①若所给边是已知角的对边时, 可由正弦定理求另一边, 再由三角形内角和定理求出第三 个角,最后由正弦定理求第三边; ②若所给边不是已知角的对边时, 先由三角形内角和定理求第三个角, 再由正弦定理求另 外两边. (2)已知两边和其中一边的对角解三角形时,可以有两解、一解和无解三种情况,具体步骤 是: ①利用正弦定理求出另一边的对角的正弦; ②利用三角形中“大边对大角”判断解的个数; ③如果有解,再利用三角形内角和定理求出第三个角; ④利用正弦定理求出第三边. 探究二 利用正弦定理解决实际问题 [典例 2] 教材第 46 页例 1 [典例 3] 教材第 46 页例 2 [课堂练习] 1.若△ABC 中,a=4,A=45° ,B=60° ,则边 b 的值为( A. 3+1 B.2 3+1 C .2 6 D.2+2 3 ) )

2.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( A.b=10,A=45° ,C=70° C.a=7,b=8,A=98° B.a=30,b=25,A=150° D.a=14,b=16,A=45°

3.在△ABC 中,B=30° ,AB=2 3,AC=2,则△ABC 的面积为( A.2 3 B. 3 C.2 3或 4 3 [课外作业] 1.已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等于( A.135° B.90° C.45° D.30° ) D. 3或 2 3

)

2.满足 A=45° ,c= 6,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 am 的值为( A.4 B.2 C.1 D.不确定

)

π 3.在△ABC 中,若 b=5,B= ,tan A=2,则 sin A=______;a=________. 4

2

1.2正弦定理(二)
教学目标:1. 通过正弦定理的学习,体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想. 2. 三角形面积公式的应用. 3. 应用正弦定理判断三角形形状 重 难 点:1.求三角形面积及解三角形;2.判断三角形的形状; 点:应用正弦定理判断三角形解的情况

讲授新课: [知识梳理] 1. 三角形常用面积公式 1 (1)S= aha(ha 表示 a 边上的高). 2 2. 应用正弦定理判断三角形解的情况 1 1 1 (2)SΔABC= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2

[知识应用] 探究一 求三角形的面积 π 4 [典例 1] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cos A= ,b= 3. 3 5 (1)求 sin C 的值; 方法归纳: (1)求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的,所以在解题中要有目的地 为具备两边及其夹角的条件作准备. (2)在解三角形时经常用到以下关系式,要记准、记熟,并能灵活运用. (2)求△ABC 的面积.

3

A+B+C=π;sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, sin A+B A+B C C =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

探究二 应用正弦定理判断三角形形状 [典例 2] 已知方程 x2-(bcos A)x+acos B=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ ABC 的两边,A、B 分别为边 a、b 的对角,试判断该三角形的形状. 方法归纳:怎样判断三角形形状 (1)判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手, 从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大 小,从而作出准确判断. (2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三 角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别. [典例 3] 在△ABC 中, 若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B), 试判断△ABC 的形状. 方法归纳: (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形. (2)解决正弦定理与三角恒等变形的综合问题时,注意考虑正弦定理的转化,计算等工 具性的作用,同时不要忽视三角形中一些常见的性质.如 ①.三角形内角和定理 A+B+C=180°;②.三角形任意两边之和大于第三边,任意 两边之差小于第三边;③.大边对大角,大角对大边;④.sin A>sin B?A>B 等. [课堂练习] π 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c= 3,C= ,则 A 3 =________. 2.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b=2 2, 则 c=________. 3.在△ABC 中,a=2,A=30° ,C=45° ,则△ABC 的面积 S△ABC 等于________. 4.在△ABC 中,若 B=30° ,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的周长. 5.在△ABC 中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),试判断△ABC 的形状. [课外作业] 1.在△ABC 中,b=8,c=8 3,S△ABC=16 3,则 A 等于________. 4 2.在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3,cos A=- . 5 (1)求 sin B 的值; π (2)求 sin(2B+ )的值. 6

3.在△ABC 中,角 A,B,C 满足 2B=A+C,B 的对边 b=1.求证:1<a+c≤2.

4


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