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多面体与球的切接问题


多面体与球的切接问题

基本知识回顾:
一、 球体的体积与表面积

二、球与多面体的接、切

4 3 ① V球 ? ? R 3



S球面 ? 4? R

2

外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1:若一个多面体的各

顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球 。

一、棱柱与球 典例1: 有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一 球过正方体的各顶点,求这三个 球的体积之比.

D A B

C

中截面 O D1 C1

?

A1

B1

球的外切正方体的棱长等于球直径。

D A B

C

中截面

O D1 C1

?

.

A1

B1 正方形的对角线等于球的直径。

D A O D1 A1

C 对角面

B

?

A

C

2R

? ???O
C1

C1

A1

B1

球的内接正方体的对角线等于球直径。

变题:
已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点都在半径为 9 的球 O 的球面上 , 那么长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的表面积的最大 值等于_________。

典例2(2013

长春一模)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧 棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱
9 柱的体积为 8 ,底面周长为 3,则这个球的体积为___________

反馈训练1:
1.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,一球切 于三棱柱的各侧面,一球过三棱柱的各顶点,则这两个球的 表面积之比为________ 2.(2013 太原一模)球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱的各侧 面均相切,则球 O 的表面积为________

小结1 如何求直棱柱的外接球半径呢? (1)先找外接球的球心: 它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点;

(2) 再构造直角三角形,勾股定理求 解。

二、棱锥与球
典例1:正四面体ABCD的棱长为a, 求其内切球半径r与外接球半径R.

难点突破:如何求正四面体的外接球半径

法1.补成正方体
A B A B

O
D C C 正四面体外接球的半径

O
D

正方体外接球的半径

难点突破:如何求正四面体的外接球半径

法2.勾股定理法
P

P

O

?O
C

A

M

D

A M B D

E

难点突破:如何求正四面体的外接球半径

法3.射影定理法
P

O A

?
H D

C

l ?h
2

2R

B
M

变题:

1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2,点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上,则该球的体积为________.
法1.勾股定理法 法2.射影定理法

变题:

2.在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 ,则该三棱锥外接球的体积为( )
?

A.2?

? B. 3

C .4?

4? D. 3

找三棱锥的外接球的球心
(利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性) 可选择以下思路 法1、观察法(适用于较简单的情况)(如以上例2) 法2、可以找两条对棱中垂线的交点,即为三棱锥外 接球球心。(如以上变式1) 法3、可以找两组线面垂直,垂足为三角形的外心, 两个垂线交点即为外接球球心

(2013 哈九中三模) 已知矩形 ABCD 的面积为 8, 典例2: 当矩形周长最小时, 沿对角线 AC 把 ?ACD 折起, 则三棱锥 D-ABC 的外接球的表面积等于( )

A.4?

B.8?

C.16?

D.24?

变题:
1.(2013 期末理)四面体 ABCD 的四个顶点在同一个球面 上,AB=BC=CD=DA=3,AC= 2 3 ,BD= 6 则该球的表面积为 ( )

A.14?

B.15?

C.16?

D.18?

变题:

2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是边长 为 2 的正三角形,PA⊥底面 ABC ,且 PA=2,则此三棱锥 外接球的表面积为___________

已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球 典例3:
? SA ? 平面 ABC , SA ? 2 3 , AB ? 1 , AC ? 2 , ? BAC ? 60 , 面上,

则球 O 的表面积为( )
A.4?

B.12?

C .16?

D.64?

变题:
1.(2013 郑州一模)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在 半径为 1 的球面上, 且满足 PA,PB,PC 两两垂直, 当 PC ? AB 取最大值时,三棱锥 O-PAB(O 为球心)的高为( )
3 A. 3

2 B. 2

C.2

2 D. 3

变题:

2. ( 2013 郑州质检)在三棱锥 A-BCD 中, AB=CD=6 , AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________

总结 求棱锥外接球半径常见的补形有: 正四面体常补成正方体; 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体; 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体; 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱

反馈训练2:

2. 某几何体的三视图如图所示,若该几何体各顶点都在一 球面上,则这个球的表面积为___________

2 1 1

反馈训练2:

3.已知三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上, 若 PA,PB,PC 两两相互垂直 , 则球心到截面 ABC 的距离为 ______________

反馈训练2:

4.三棱锥 S-ABC 中,?SAB ? ?SAC ,AB=AC,SA=SB=2,侧棱 AS
? 60 与底面 ABC 所成的角为 ,经过 S,A,B,C 四点的球的球心

在三棱锥内,求这个球的体积

【设计意图:巩固棱锥外接球半径的求法】

小结2 求棱锥外接球半径的方法: (1)补形法(适用特殊棱锥) (2)射影定理法(适用于侧棱相等即球心落 在高线上的的棱锥) (3)勾股定理法 (通法) 关键是找球心,画出截面图,构造与R有关 的直角三角形。


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