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第20届全国中学生物理竞赛预赛试卷(2003年)


第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷(2003 年)
全卷共七题,总分为 140 分.
一、 (20 分)两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置,如图所示.已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距 f2=—f,两透镜间距离也是 f. 小物体位于物面 P 上, 物距 u1 = 3f. (1)小物体经这两个透镜所成的像 在 L2 的__________边, L2

的距离 到 为_________,是__________倍(虚 或实) 、____________像(正或倒) , 放大率为_________________。 (2)现在把两透镜位置调换,若还 要给定的原物体在原像处成像, 两透 镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________.这个新的 像 是 ____________ 像 ( 虚 或 实 ) ______________ 像 ( 正 或 倒 ) 放 大 率 为 、 ________________。

三、(20 分)在野外施工中,需要使质量 m=4.20 kg 的铝合金构件升温。除了 保温瓶中尚存有温度 t= 90.0℃的 1.200 kg 的热水外,无其他热源.试提出一 个操作方案,能利用这些热水使构件从温度 t0=10℃升温到 66.0℃以上(含 66.0 ℃ ) 并 通 过 计 算 验 证 你 的 方 案 . 已 知 铝 合 金 的 比 热 容 c = 0.880 × , 3 l0 J·(Kg·℃)-1,水的比热容 c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1,不计向周围环境散 失的热量。

四、 (20 分)从 z 轴上的 O 点发射一束电量为 q(>0) 、质量为 m 的带电粒 子,它们速度统方向分布在以 O 点为顶点、z 轴为对称轴的一个顶角很小的 锥体内(如图所示) ,速度的大小都等于 v.试设计一种匀强磁场,能使这束 带电粒子会聚于 z 轴上的另一点 M,M 点离开 O 点的经离为 d.要求给出该 磁场的方向、磁感应强度的大小和最小 值. 不计粒子间的相互作用和重力的作用.

二、(20 分)一个氢放电管发光,在其光谱中测得一条谱线的波长为 4.86× 10-7m.试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级(用量子数 n 表 示)跃迁时发出的?已知氢原子基态(n=1)的能量为 El=一 13.6eV=-2.18 - ×10-18J,普朗克常量为 h=6.63×10 34J·s。

五、(20 分)有一个摆长为 l 的摆(摆球可视为质点,摆线的质量不计) ,在过 悬挂点的竖直线上距悬挂点 O 的距离为 x 处(x<l)的 C 点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会 受到钉子的阻挡.当 l 一定而 x 取不同值时,阻挡后摆 球的运动情况将不同.现将摆拉到位于竖直线的左方 (摆球的高度不超过 O 点) 然后放手, , 令其自由摆动, 如果摆线被钉子阻挡后,摆球恰巧能够击中钉子,试求 x 的最小值.

六、(20 分)质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块,以速率 v0 沿与水平面 成 a 角的方向向前跳跃(如图) .为了能跳得更远一点,运动员可在跳远全过 程中的某一位置处,沿某一方向把物块抛出.物块抛出时相对运动员的速度的 大小 u 是给定的,物块抛出后,物块和运动员都在同一竖直平面内运动. (1)若运动员在跳远的全 过程中的某时刻 to 把物块沿 与 x 轴负方向成某 θ 角的方 v0 向抛出,求运动员从起跳到 落地所经历的时间. (2)在跳远的全过程中, 运动员在何处把物块沿与 x 轴负方向成 θ 角的方向抛 出,能使自己跳得更远?若 v0 和 u 一定,在什么条件下可跳得最远?并求出 运动员跳的最大距离.

七、 (20 分)图预 20-7-1 中 A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、 加上周期为 T 的交流电压, 在两板间产生交变的匀强电场. 己知 B 板电势为零, A 板电势 UA 随时间变化的规律如图预 20-7-2 所示, 其中 UA 的最大值为的 U0, 最小值为一 2U0.在图预 20-7-1 中,虚线 MN 表示与 A、B 扳平行等距的一个 较小的面,此面到 A 和 B 的距离皆为 l.在此面所在处,不断地产生电量为 q、 质量为 m 的带负电的微粒,各个时刻产生带电微粒的机会均等.这种微粒产 生后,从静止出发在电场力的作用下运动.设微粒一旦碰到金属板,它就附在 板上不再运动,且其电量同时消失,不影响 A、B 板的电压.己知上述的 T、 U0、l,q 和 m 等各量的值正好满足等式

3 U0q ? T ? l ? ? ? 16 2m ? 2 ?
2

2

若在交流电压变化的每个周期 T 内,平均产主 320 个上述微粒, 试论证在 t=0 到 t=T/2 这段时间内产主的微粒中,有多少微粒可到达 A 板(不计重力,不 考虑微粒之间的相互作用) 。

第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准
一、参考解答 (1) 右 f 实 倒 1 。 (2) 左 2f 实 倒 1 。 评分标准:本题 20 分,每空 2 分。 二、参考解答 波长 ? 与频率? 的关? ? 光子的能量为

E5 ? ?
比较以上数据,发现

1 k ? ?8.72 ?10?20 J。 2 5
(6)

E? ? E4 ? E2 ? 4.09 ?10?19 J。

c

?



(1) (2)

E? ? h? ,

所以,这条谱线是电子从 n ? 4 的能级跃迁到 n ? 2 的能级时发出的。 评分标准:本题 20 分。 式(3)4 分,式(4)4 分,式(5)4 分,式(6)及结论共 8 分。 三、参考解答 1. 操作方案:将保温瓶中 t ? 90.0 ℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒 出一部分,与温度为 t0 ? 10.0 ℃的构件充分接触,并达到热平衡,构件温度已 升高到 t1 ,将这部分温度为 t1 的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水,再次与 温度为 t1 的构件充分接触,并达到热平衡,此时构件温度已升高到 t 2 ,再将这 些温度为 t 2 的水倒掉。 然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为 t 2 的构件 升温??直到最后一次,将剩余的热水全部倒出来与构件接触,达到热平衡。 只要每部分水的质量足够小,最终就可使构件的温度达到所要求的值。 2. 验证计算: 例如, 1.200kg 热水分 5 次倒出来, 将 每次倒出 m0 =0.240kg, 在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中,水放热为

由式(1)(2)可求得产生波长 ? ? 4.86 ? 10?7 m 谱线的光子的能量 、

E? ? 4.09 ?10

?19

J

(3)

氢原子的能级能量为负值并与量子数 n 的平方成反比:

En ? ?k

1 , n ? 1,2,3,? n2

(4)

式中 k 为正的比例常数。氢原子基态的量子数 n ? 1,基态能量 E1 已知,由式 (4)可得 k ? ? E1 (5)

把式(5)代入式(4) ,便可求得氢原子的 n ? 2,3,4,5,? 各能级的能量, 它们是

1 k ? ?5.45 ?10?19 J, 22 1 E3 ? ? 2 k ? ?2.42 ?10?19 J, 3 1 E4 ? ? 2 k ? ?1.36 ?10?19 J, 4 E2 ? ?

Q1 ? c0 m0 (t ? t1 )
构件吸热为 Q1? ? cm(t1 ? t0 )

(1) (2)

由 Q1 ? Q1? 及题给的数据,可得 t1 =27.1℃ (3) 同理,第二次倒出 0.240kg 热水后,可使构件升温到

t 2 =40.6℃

(4)

小。粒子由 O 点射出就进入了磁场,可将与 z 轴成 ? 角的速度分解成沿磁场方 向的分速度 vZ 和垂直于磁场方向的分速度 v? (见图预解 20-4-1) ,注意到 ? 很

依次计算出 t1 ~ t5 的数值,分别列在下表中。 倒水次数/次 平衡温度/℃ 可见 t5 =66.0℃时,符合要求。 附:若将 1.200kg 热水分 4 次倒,每次倒出 0.300kg,依次算出 t1 ~ t 4 的值,如 下表中的数据: 倒水次数/次 平衡温度/℃ 1 30.3 2 45.50 3 56.8 4 65.2 1 27.1 2 40.6 3 51.2 4 59.5 5 66.0

小,得

vZ ? v cos? ? v
(1)

v? ? v sin? ? v?
(2) 粒子因具有垂直磁场方向的分速度,在洛仑兹力作用下作圆周运动,以 R 表示 圆周的半径,有

qBv? ? m
圆周运动的周期

2 v? R

由于 t 4 =65.2℃<66.0℃,所以如果将热水等分后倒到构件上,则倒出次数不 能少于 5 次。 评分标准:本题 20 分。 设计操作方案 10 分。操作方案应包含两个要点:①将保温瓶中的水分若干次 倒到构件上。 ②倒在构件上的水与构件达到热平衡后, 把与构件接触的水倒掉。 验证方案 10 分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同,但必需满足两条: ①通过计算求出的构件的最终温度不低于 66.0℃。②使用的热水总量不超过 1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这 10 分。例如,把 1.200kg 热水分 4 次倒,每次倒出 0.300kg,尽管验算过程中的计算正确,但因构件最终温度低 于 66.0℃,不能得分。

T?
由此得

2? R v?

T?
(3)

2? m qB

可见周期与速度分量 v? 无关。 粒子因具有沿磁场方向的分速度,将沿磁场方 向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在,粒 子将沿磁场方向作螺旋运动,螺旋运动螺距为

v?
四、参考解答 设计的磁场为沿 z 轴方向的匀强磁场, O 点和 M 点都处于这个磁场中。下面我们 根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大

v

? vz

vz

h ? v T? v T Z

(4)

由于它们具有相同的 v ,因而也就具有相同的螺距;又由于这些粒子是从同一 点射出的,所以经过整数个螺距(最小是一个螺距)又必定会聚于同一点。只 要使 OM 等于一个螺距或一个螺距的 n(整数)倍,由 O 点射出的粒子绕磁场 方向旋转一周(或若干周后)必定会聚于 M 点,如图 20-4-2 所示。所以 d ? n h n =1,2,3,? , (5) 由式(3)(4)(5)解得 、 、

摆受阻后,如果后来摆球能击中钉子,则必定在某位置时摆线开始松弛, 此时 T =0,此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度

v ? v0 ,摆线与竖直线的夹角 ? ? ? 0 ,由式(1)得
2 v0 ? g (l ? x)cos?0



B?

2? mvn , n =1,2,3,? qd

(6)

(3) 代入(2)式,求出

这就是所要求磁场的磁感应强度的大小,最小值应取 n =1,所以磁感应强度 的最小值为

2l cos? ? 3( x ? l )cos? 0 ? 2 x
(4) 要求作斜抛运动的摆球击中 C 点,则应满足下列关系式:

B?

2? mv 。 qd

(7) (5)

(l ? x)sin ?0 ? v0 cos?0t



评分标准:本题 20 分。 磁场方向 2 分,式(3)(4)各 3 分,式(5)5 分,求得式(6)给 5 分,求 、 得式(7)再给 2 分。

1 (l ? x)cos?0 ? ?v0 sin ?0t ? gt 2 2
(6) 利用式(5)和式(6)消去 t ,得到

五、参考解答 摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动,若摆球的质量 为m, 则摆球受重力 mg 和摆线拉力 T 的作用, 设在这段时间内 任一时刻的速度为 v ,如图预解 20-5 所示。用 ? 表示此时摆线 与重力方向之间的夹角,则有方程式 (7) 由式(3)(7)得到 、

2 v0 ?

g (l ? x)sin 2 ? 0 2cos? 0

mv 2 (1) l?x 运动过程中机械能守恒,令 ? 表示摆线在起始位置时与竖直方 向的夹角,取 O 点为势能零点,则有关系 1 (2) ?mgl cos? ? mv2 ? mg[ x ? (l ? x)cos? )] 2 T ? mg c o ? ? s

cos? 0 ?
(8) 代入式(4) ,求出

3 3

? ? arccos ?

? x(2 ? 3) ? l 3 ? ? 2l ? ?

x p ? v0 cos? t0 ,

(3) (4)

(9) ? 越大, cos ? 越小, x 越小, ? 最大值为 ? / 2 ,由此可求得 x 的最小值:

1 2 y p ? v0 sin?t0 ? gt0 2

设在刚抛出物块后的瞬间, 运动员的速度 V 的分量大小分别为 V px 、V py , 物块相对运动员的速度 u 的分量大小分别为 u x 、 u y ,方向分别沿 x 、负 y 方

x(2 ? 3) ? 3l ,
所以 向。由动量守恒定律可知

x ? (2 3 ? 3)t ? 0.464l
(10) 评分标准:本题 20 分。 式(1)1 分,式(2)3 分,式(3)2 分,式(5)(6)各 3 分,式(8)3 分, 、 式(9)1 分,式(10)4 分。

MVpx ? m(Vpx ? ux ) ? (M ? m)v px
(5)



MVpy ? m(Vpy ? u y ) ? (M ? m)v py
(6) 因 u 的方向与 x 轴负方向的夹角为 ? ,故有

六、参考解答 (1)规定运动员起跳的时刻为 t ? 0 ,设运动员在 P 点(见图预解 20-6)抛出 物块,以 t 0 表示运动员到达 (7) Vpy ux v0 Vpx

u x ? u cos?

P 点的时刻,则运动员在 P
y 点的坐标 xP 、 P 和抛物前的
速度 v 的分量 v px 、 v py 分别 为

u y ? u sin?
(8) 解式(1)(2)(5)(6)和式(7)(8) 、 、 、 、 ,得

?

uy

Vpx ? v0 cos? ?
(9)

mu cos? M ?m mu sin? M ?m

v px ? v0 cos?
(1)

, (10)

Vpy ? v0 sin? ? gt0 ?

v py ? v0 sin? ? gt0

(2)

抛出物块后,运动员从 P 点开始沿新的抛物线运动,其初速度为 V px 、 V py 。

在 t 时刻( t ? t0 )运动员的速度和位置为

方程的根为

Vx ? Vpx
(11)



t?

v0 sin ? ?

mu sin ? mu sin ? 2 mu sin ? ? (v0 sin ? ? ) ? 2g t0 M ?m M ?m M ?m g

Vy ? Vpy ? g (t ? t0 )
(12)



(18) 式(18) 给出的两个根中, 只有当 ? ”取 “ “+”时才符合题意, 因为从式 (12) 和式(10) ,可求出运动员从 P 点到最高点的时间为式

x ? x p ? Vpx (t ? t0 ) ? (v0 cos? ?
(13)

mux mux )t ? t0 M ?m M ?m



? mu sin ? ? v0 sin ? ? ? ? ? M ?m ? g
而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大, 故从起跳到落地所经历 的时间为

1 y ? y p ? Vpy (t ? t0 ) ? g (t ? t0 )2 2
(14) 由式(3)(4)(9)(10)(13)(14)可得 、 、 、 、 、

mu cos? ? mu cos? ? x ? ? v0 cos? ? t0 ?t ? M ?m ? M ?m ?
(15)

t?
(19)

v0 sin ? ?

mu sin ? mu sin ? 2 mu sin ? ? (v0 sin ? ? ) ? 2g t0 M ?m M ?m M ?m g

mu sin ? ? y ? 2 ? v0 sin ? ? M ?m ?
(16) 运动员落地时,

2mu sin ? ? 2 t0 ? t ? gt ? M ?m ?

(2)由式(15)可以看出, t 越大, t 0 越小,跳的距离 x 越大,由式(19)可 以看出,当

t 0 =0
y?0
时, t 的值最大,由式(3)和式(4)可知,抛出物块处的坐标为

由式(16)得

xp ? 0
mu sin ? ? 2mu sin ? ? gt 2 ? 2 ? v0 sin ? ? t0 ? 0 ?t ? M ?m ? M ?m ?




yp ? 0

(17)

(20) 即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出,运动员可跳得远一点。由式(19)可 以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为

T ?2

v0 sin ? m u sin ? ?2 g M ?m g

3 ?T ? l ? a0 ? ? 16 ? 2 ?

2

把 t0 ? 0 和 t ? T 代入式(15) ,可求得跳远的距离,为

x?
(21) 可见,若

2 v0 sin 2? 2mv0u m2u 2 ? sin(? ? ? ) ? sin 2? g ( M ? m) g ( M ? m)2 g

(1) 现在分析从 0 到 T / 2 时间内, 何时产生的微粒在电场力的作用下能到达 A 板,然后计算这些微粒的数目。 在 t ? 0 时产生的微粒,将以加速度 a0 向 A 板运动,经 T / 2 后,移动的距 离 x 与式(1)相比,可知

sin 2? ? 1, sin(? ? ? ) ? 1, sin 2? ? 1 ,

? ?? /4 , ? ?? /4 即 (22) 时, x 有最大值,即沿与 x 轴成 45?方向跳起,且跳起后立即沿与负 x 轴成 45? 方向抛出物块,则 x 有最大值,此最大值为
xm ?
2 v0 2mv0u m2u 2 ? ? g ( M ? m) g ( M ? m ) 2 g

1 ?T ? x ? a0 ? ? ? l 2 ?2?
(2) 即 t ? 0 时产生的微粒,在不到 T / 2 时就可以到达 A 板。在 U A ? U 0 的情况下, 设刚能到达 A 板的微粒是产生在 t ? t1 时刻,则此微粒必然是先被电压 U 0 加速 一段时间 ?t1 ,然后再被电压 ?2U 0 减速一段时间,到 A 板时刚好速度为零。 用 d 1 和 d2 分别表示此两段时间内的位移,v1 表示微粒在 ?t1 内的末速,也等于 后一段时间的初速,由匀变速运动公式应有

2

(23) 评分标准:本题 20 分。 第一小问 13 分:求得式(15)(16)各 3 分,式(17)2 分,求得式(19) 、 并说明“ t ”取“+”的理由给 5 分。第二小问 7 分:式(20)2 分,式(22) 2 分,式(23)3 分。

1 d1 ? a0 (?t1 )2 2
(3)

七、参考解答 在 电 压 为 U 0 时 , 微 粒 所 受 电 场 力 为 U 0 q / 2l , 此 时 微 粒 的 加 速 度 为 (4) 又因

0 ? v12 ? 2(?2a0 )d2

a0 ? U 0 q / 2lm 。将此式代入题中所给的等式,可将该等式变为

v1 ? a0 ?t1



(5)

为加速时的两倍,故经过 T / 8 微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在

d1 ? d2 ? l
(6)



U A ? ?2U 0 的电场作用下向 B 板运动的时间为

t1 ? ?t1 ?
(7) 由式(3)到式(7)及式(1) ,可解得

T 2

?1 ? T ? T ? T ? ? T
, 由于 ? 1 ? ? ,故在 t ? T / 4 时产生的微粒最终将到达 B 板(确切地说,应当是

1 2

1 8

3 8

3 1 2 4

t ? T /4) ,不会再回到 A 板。
, 在 t 大于 T / 4 但小于 T / 2 时间内产生的微粒,被 U A ? U 0 的电场加速的时 间小于 T / 4 ,在 U A ? ?2U 0 的电场作用下速度减到零的时间小于 t ? T / 8 ,故 可在 U A ? ?2U 0 的电场作用下向 B 板运动时间为

t1 ?
(8)

T 2

这就是说,在 U A ? U 0 的情况下,从 t ? 0 到 t ? T / 4 这段时间内产生的微粒都 可到达 A 板(确切地说,应当是 t ? T / 4 ) 。 为了讨论在 T / 4 ? t ? t / 2 这段时间内产生的微粒的运动情况, 先设想有一 静止粒子在 A 板附近,在 U A ? ?2U 0 电场作用下,由 A 板向 B 板运动,若到 达 B 板经历的时间为 ? ,则有

? ? ? T ? T ? ?1
所以这些微粒最终都将打到 B 板上,不可能再回到 A 板。 由以上分析可知,在 t ? 0 到 t ? T / 2 时间内产生的微粒中,只有在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间内产生的微粒能到达 A 板,因为各个时刻产生带电微粒的机会均 等,所以到达 A 板的微粒数为

1 2

1 8

1 2l ? (2a0 )? 2 2
根据式(1)可求得

??

3 1 ? T 2 4

1 N ? 320 ? ? 80 4
(9) 评分标准:本题 20 分。 论证在 t ? 0 到 t ? T / 4 时间内产生的微粒可能到达 A 板给 10 分; 论证 t ? T / 4 到 t ? T / 2 时间内产生的微粒不能到达 A 板给 6 分。求得最后结果式(9)再 给 4 分。

由此可知,凡位于 MN 到 A 板这一区域中的静止微粒,如果它受 U ? ?2U 0 的 电场作用时间大于 ? ,则这些微粒都将到达 B 板。 在 t ? T / 4 发出的微粒,在 U A ? U 0 的电场作用下,向 A 板加速运动,加 速的时间为 T / 4 ,接着在 U A ? ?2U 0 的电场作用下减速,由于减速时的加速度


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