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数学归纳法典型例题分析


数学归纳法
1. 数学归纳法:设 ? pn ? 是一个与自然数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题 成立;(2)在假设 成立的前提下,推出 也成立,那么可以断定,? pn ? 对一切正 时,命题成立 时命题也成立。

整数(或自然数)成立。 2. 数学归纳法证题的步骤:(1)(归纳奠定)证明当 n 第一个值 (2)(归纳假设)假设

(k ? n0 , k ? N *) 时命题成立,证明当

高考题型归纳: 题型 1.证明代数恒等式
例 1.归纳法证明下述等式问题:

1 ? (n 2 ? 12 ) ? 2 ? (n 2 ? 2 2 ) ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ?

1 2 n (n ? 1)( n ? 1) . 4

练习:用数学归纳法证明 1? 4 ? 2 ? 5 ? ? ? n ? n ? 3? ?

1 n ? n ? 1?? n ? 5 ? 3

题型 2.证明不等式
例 2. 用数学归纳法证明下述不等式;

1 1 1 1 9 ? ? ??? ? (n ? N ? , 且n ? 2). n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 10

1 1 1 n?2 , ? n ? N , n ? 2? 练习:用数学归纳法证明 1 ? ? ? ? ? n ? 2 3 2 2

题型 3.证明整除问题
例 3. 用数学归纳法证明: n 3 ? 5n(n ? N ? ) 能被 6 整除.

练习:用数学归纳法证明 62 n ?1 ? 6 能被 7 整除


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