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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第93炼 算法—多项循环体


第十二章

第 93 炼 含多次循环的程序框图

其它高考考点

第 93 炼 含多次循环的程序框图
一、基础知识: 1、如果在框图运行中,循环次数过多,则不易一一列举,费时费力,则要通过列举出的前 几个例子找到规律,并推断出循环临近结束时各变量的值 2、找规律:在多次循环的框图中,变量的取值通常呈现出以下几点

规律: (1)与数列的求和相关:框图中某个变量与求和相关,且在每次循环中所加上的项具备特 点,如同数列的通项公式。那么则可通过归纳出数列的通项公式从而判断求和方法 (2)与周期性相关:框图经过几次循环后,某个变量的值存在周期性,那么可通过周期性 即可判断出循环临近结束后,变量的取值。 (3)计数变量:在较多次的循环中,往往会有一个变量,在每次循环时,它的值都加 1, 则该变量的值可代表循环的次数,这样的变量称为计数变量。由于多次循环不能一一列出, 所以需要在前几次的列举中发现输出变量与计数变量间的” 对应关系 “以便于在最后一次循 环时,可通过计数变量的值确定输出变量的取值或者是在求和中最后一次加上的项 二、典型例题: 例 1: 右图是表示分别输出 1 ,1 ? 3 ,1 ? 3 ? 5 ,?,1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2011 的值的过程的
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

一个程序框图,那么在图中①②处应分别填上( A. i ≤ 2011? , i ? i ? 1 C. i ≤ 2011? , i ? i ? 2

)

B. i ≤ 1006? , i ? i ? 1 D. i ≤ 1006? , i ? i ? 2

思路: 通过框图可发现 S 代表求和, 而变量 i 是成为求和中的 每一项,依题意,每项的底数为奇数(相差 2) ,所以在执行 框②中填入的应该是 i ? i ? 2 ,在判断框①中,只要不满足 ①的条件则结束循环,从选项中可判断是关于 i 的条件,且最
2 后一次输出 S 前,所加的项为 2011 ,然后 i ? 2013 ,所以

判断框中应填写 i ? 2011? ,故选 C 答案:C 例 2: 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 S 的值是 ( A. ? 3 B. ? )

1 2

C.

1 3

D. 2

思路:从判断框中发现循环次数较多,所以考虑进行几次循环, 并寻找规律:

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① S ? ?3, i ? 2 ③ S?

② S ? ? ,i ? 3 ④ S ? 2, i ? 5

1 2

1 ,i ? 4 3

⑤ S ? ?3, i ? 6 由 此 可 发 现 S 的 值 呈 周 期 性 变 化 , 且 周 期 为 4 , 最 后 一 次 循 环 i ? 2015 , 所 以

2015 ? 4 ? 503??3 ,所以 S 的值与②相同,即 S ? ?
答案:B

1 2

例 3:某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(



A. ? 3

B.

1? 3 2

C.

1? 3 2

D.

3 2

思路:程序运行中变量变化如下: ① s ? sin

?
3

?

3 ,n ? 2 2

② s ? s ? sin

2? ? 3, n ? 3 3

③ s ? s ? sin ? ? 3, n ? 4 ④ s ? s ? sin ⑤ s ? s ? sin

4? 3 ? ,n ? 5 3 2
5? ? 0, n ? 6 3

⑥ s ? s ? sin 2? ? 0, n ? 7 ⑦ s ? s ? sin

7? 3 ? ,n ? 8 3 2

可发现 s 的取值以 6 为周期,当 n ? 2015 时,循环结束,因为 2015 ? 6 ? 335 ??5 ,故此 时 s 的值与 n ? 5 时的一致,所以 s ? 答案:D

3 2

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例 4:如果执行右边框图,输入 N ? 2012 ,则输出的数 s 等于 ( )
2013

A. 2011 ? 2 C. 2011 ? 2

?2 ?2

B. 2012 ? 2 D. 2012 ? 2

2012

?2 ?2

2012

2013

思路:可先进行几次循环观察规律: ① m ? 1? 2 , s ? 1? 2 , k ? 2
1 1

② m ? 2 ? 2 , s ? 1? 2 ? 2 ? 2 , k ? 3
2 1 2

③ m ? 3 ? 2 , s ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 , k ? 4
3 1 2 3

通过三次循环即可观察到 s 为数列 ?an ?(其中 an ? n ? 2n )进行求和,即考虑在第 n 次循环
n 时 s 的通式,通过 n ? 2 通项公式特征可用错位相减法求和:

?

?

s ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

2s ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? n ? 1? ? 2n ? n ? 2n ?1
??s ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 n n ?1

?

2 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n ? 2n ?1

? s ? ? n ? 1? ? 2n ?1 ? 2
再考虑最后一次循环时 k ? 2013 ,按照前面的对应关系,循环的序数为 n ? k ? 1 ? 2012 , 代入可得: s ? 2011 ? 2 答案:A 例 5: 执行如图的程序框图, 如果输入的 t ? 0.01 , 则输出的 n ? ( A. )
2013

?2

5

B.

6

C.

7

D.

8

思路:可先执行几次循环:

1 ,n ? 1 2 1 1 ② S ? 1 ? ? ,n ? 2 2 4 1 1 1 ③ S ? 1 ? ? ? , n ? 3 ,依次类推可得: 2 4 8
① S ?1?

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1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? 1 1 1 第 n 次循环中, S ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? 1 2 4 2 1? 2
n

n

? ? n ? ? ??1? ? ? ?2?

1 ?1? 若输入的 t ? 0.01 ,则考虑 ? ? ? 时, n ? 7 ,故当 n ? 7 时,跳出循环,所以输出的 ? 2 ? 100
n?7
答案:C 例 6:若执行右边的程序框图,输出 S 的值为 4,则判断框中应填入的条件是( A. k ? 14 B. k ? 15 C. k ? 16 D. k ? 17 )

思路:可先通过几次循环寻找规律: ① S ? log2 3, k ? 3 ② S ? log2 3 ? log3 4, k ? 4

③ S ? log2 3 ? log3 4 ? log4 5, k ? 4 由 此 可 发 现 : 第

n









S ? log2 3 ? log3 4 ??? logn ?1 ? n ? 2?, k ? n ? 2 ,且
S ? log2 3 ? log3 4 ? ? ? logn ?1 ? n ? 2 ? ? lg ? n ? 2 ? lg ? n ? 2 ? lg3 lg4 ? ? ?? ? ? log2 ? n ? 2 ? lg2 lg3 lg ? n ? 1? lg2

即 S ? log2 k ,因为输出 S ? 4 ,所以 log2 k ? 4 ,解得 k ? 16 ,所以应该在 k ? 16 后结束 循环,判断框应填入 k ? 16 答案:C 例 7:某算法的程序框图如图,输入 n ? 1 ,若输出结果 S 满足 S ? 的最大值是___________ 思路: 通过流程图可观察到 S 可视为数列通过裂

2011 ,则输入正整数 m 2012

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 项相消求和 m ?1 m m ? 2 m ?1
得到。即

S?
?

1 1 1 ? ??? m ? m ? 1? ? m ? 1?? m ? 2 ? 2 ?1

1 1 1 1 1 ? ? ? ???1? m ?1 m m ? 2 m ?1 2

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1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? 2 2 3 m ?1 m m 1 2011 ?1 ? ? 解得 m ? 2012 ,从而输入 m 的最大值为 m ? 2011 m 2012 ?1?
答案: m ? 2011 例 8 阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序(其中,

" r ? a mod 4 表示“ r 等于 a 除以 4 的余数” )输出 S 值等于
_________ 思路:通过 " r ? a mod 4 可知框图的关键为 a 除以 4 的余数, 且输出的 S 为一个求和,先做几个循环寻找规律: ① r ? 0 , S ? ?1 , a ? 5 ② r ? 1 , S ? ?1 ? 1 , a ? 6 ③ r ? 2 , S ? ?1 ? 1 ? 2 , a ? 7 ④ r ? 3 , S ? ?1 ? 1 ? 2 ? 3 , a ? 8 ⑤ r ? 0 , S ? ? ?1 ? 1 ? 2 ? 3? ? 1, a ? 9 由此可得: r 的取值呈周期性。最后一次循环是 a ? 2013 ,而 2013 ? 4 ? 503?1 ,所以

a ? 2013 时, r ? 0 ,且共进行了 ? 2013 ? 5? ? 4 ? 502 次循环,所以

S ? 502 ? ? ?1 ? 1 ? 2 ? 3? ? ? ?1? ? 2509
答案: 2509 例 9:如图,程序框图运算的结果为________ 思路:由于 i ? 100 ,经历的循环次数较多,所以考虑 求和中的规律。先通过几次循环寻找: ① S ?1
2

i?2
2

② S ?1 ? 2
2 2

i?3
2

③ S ?1 ? 2 ? 3
2

i?4

…… 可观察到 S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 100 ,从
2 2 2 2 2 2

而联想到数列求和。很难从通项公式入手,观察到相邻两项存在平方差特点,所以考虑两两

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n2 ? ?

1? n? ? ?
2

?
9 9

? ? n 1? ? n? ?? ??

?

?

1n

?

? ,2 ?? n

? 则 1

?n

?

S?

?3 ?

? 7 ?

?

3? 1 ?1 9? 2

9 ?

?

5

0 ?

5?

0?

5

0

答案: ?5050 例 10:阅读右面的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是( A. 2450,2500 C. 2500,2550 思路:通过几次循环观察特点: ① S ? 100, n ? 99, T ? 99, n ? 98 ② S ? 100 ? 98, n ? 97, T ? 99 ? 97, n ? 96 ③ S ? 100 ? 98 ? 96, n ? 95, T ? 99 ? 97 ? 95, n ? 94 通过三次循环便可发现, S 为偶数和, T 为奇数和,从而寻找 最后一次循环,则 B. 2550,2450 D. 2550,2500 )

S ? 100 ? 98 ? 96 ? ? ? 2 ? 2550, T ? 99 ? 97 ? 95 ? ? ? 3 ? 1 ? 2500
答案:D 三、历年好题精选 1、执行如图所示的程序框图,输出 P 的值为( A. - 1 B. 1 C. 0 ) D. 2016

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2、21.(2015,湖南)执行如图 1 所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? ( A.

)

6 7

B.

3 7

C.

8 9

D.

4 9

3、 (2015,北京)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(



开始

2? A. ? ?2 ,

0? B. ? ?4 ,

C. ? ?4 ,? 4 ?

? 8? D. ? 0 ,

x=1,y=1,k=0

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

k=k+1 否 k≥3 是 输出(x,y)

结束

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4、 (2015,福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输 出的结果为( A.2 D. ? 1 ) B.1 C.0

5、 (2015,陕西)根据右边的图,当输入 x 为 2006 时,输出的 y ? ( A.28 B.10 C.4 D.2



6、 (2015,天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ( A. ) -10 B. 6 C. 14 D. 18

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7、 ( 2015 ,山东)执行右边的程序框图,输出的 T 的值 为 .

8、 (2014,北京)当 m ? 7, n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A.



7

B.

42

C.

210

D.

840

9、 (2014,湖北)设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三 位数. 将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I ? a ? , 按从 大 到 小 排 成 的 三 位 数 记 为 D ? a ? ( 例 如 a ? 815 , 则

I? a , ?? a ? ?1 5 8 D ?

) 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程 51

序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.

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10、执行如图所示的程序框图,输出 S ? 应填( )

2015 ,那么判断框内 2016

A. k ? 2015? C. k ? 2015? 答案:A

B. k ? 2016? D. k ? 2016?

11 、 定 义 某 种 运 算 M ? a ? b , 运 算 原 理 如 图 所 示 , 则 式 子

?? ? ? ? ? ? 1? ? ? 2tan ? ? sin ? ? 4cos ? ? ? ? 的值为( 4? 2 ? 3 ? ? 3? ?
A.4 B.8 C.11 D.13

?1



12、下图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 S ? 720 ,则在判断框中应填入关于 k 的判断条件是( ) A. k ? 6? B. k ? 7 ? C. k ? 8? D. k ? 9 ?

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习题答案: 1、答案:C 解析:执行的程序流程如下: ① P ? ?1, i ? 2 ② P ? 0, i ? 3 ③ P ? ?1, i ? 4

??可知周期为 2, 且 i 为奇数时,P ? ?1 ,i 为偶数时,P ? 0 ; 最后一次循环时 i ? 2017 , 此时的 P ? 0 2、答案:B

1 ,i ? 2 1? 3 1 1 ? ,i ? 3 ② S ?0? 1? 3 2 ? 4 1 1 1 ? ? , i ? 4 ,满足 i ? n ,结束循环 ② S ?0? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
解析:① S ? 0 ?

?S ?

1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1? 3 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 2 ? 3 3 5 5 7 ? 7

3、答案:B 解析:① s ? 0, t ? 2, x ? 0, y ? 2, k ? 1 ② s ? ?2, t ? 2, x ? ?2, y ? 2, k ? 2 ③ s ? ?4, t ? 0, x ? ?4, y ? 0, k ? 3 ,满足 k ? 3 ,结束循环

?? x, y ? ? ? ?4,0?
4、答案:C 解析:① S ? 0, i ? 2 ④ S ? ?1 ? 1 ? 0, i ? 5 5、答案:B 解析:① x ? 2004 ;② x ? 2002 ;③ x ? 2000 ,…,以此类推下去,可知第 1003 次 运 行 时 , x ? 0 ; 第 1004 次 运 行 时 , x ? ?2 , 不 满 足 x ? 0 , 结 束 循 环 , 所 以
2 y ? 3? x ? 1 ? 3 ?1 ? 1 0

② S ? ?1, i ? 3

③ S ? ?1, i ? 4

⑤ S ? 0, i ? 6 ,满足 i ? 5 ,结束循环

6、答案:B 解析:① i ? 2, S ? 18 ② i ? 4, S ? 14

③ i ? 8, S ? 6 ,满足 i ? 5 ,结束循环

?S ? 6

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7、答案:

11 . 6

1 3 xdx ? x 2 1 ,n ? 2 0 ? 0 2 2 1 3 1 3 1 3 1 11 2 ,n ? 3 ② T ? ? ? x dx ? x 0 ? ? ? 0 2 3 2 3 6
解析:① T ? 1 ?

?

1

此时 n ? 3 不成立,结束循环

?T ?

11 6

8、答案:C 解析:由已知可得: k 的初始值为 7 ,循环结束判断条件为: k ? 7 ? 3 ? 1 ? 5 ,循环过程 如下: ① S ? 1 ? 7 ? 7, k ? 6 ② S ? 7 ? 6, k ? 5 ③ S ? 7 ? 6 ? 5 ? 210, k ? 4 ,此时满足 k ? 5 ,循环结束

? S ? 210
9、答案:495 解析:本题循环结束的条件并非大于(或小于)一个值,所以要读懂此程序的过程和结束的 条件。 b 为 D ? a ? , I ? a ? 的差,循环结束时意味着 D ? a ? ? I ? a ? ? a ,即 D ? a ? , I ? a ? 的差与 原数相等。设 a ? cde ,若 e 最大,则 D ? a ? ? I ? a ? 的个位不是 e 与 D ? a ? ? I ? a ? ? a 矛盾; 若 c 最大,则 D ? a ? ? I ? a ? 的百位不是 c 也与 D ? a? ? I ? a? ? a矛盾;所以 d 最大。当

c ? e ? d 时, D ? a ? ? I ? a ? ? dec ? ced ,可得: dec ? ced ? cde ,由 c ? d 可得 d ? 9 ,
进而可推断出 c ? 4, e ? 5 ,从而 b ? 495 10、答案:A 解析:通过观察框图可得 S 表示一个数列的求和,且数列的通项公式为 ak ?

1 ,从 k ? k ? 1?

而考虑裂项相消进行求和,则 ak ?

1 1 1 ? ? ,所以 k ? k ? 1? k k ? 1

2015 1 ? k ? 1? ? 1 1? ?1 ,结果为 S ? ,可知求和时的 S ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2016 ? 2? ? 2 3? ? k k ?1? k ?1
k ? 2015 ,但由于在求和后 k ? k ? 1 ,所以循环结束后的 k ? 2016 ,所以判断框应填入的

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其它高考考点

是 k ? 2015? 11、答案:D 解析:由框图可知运算的关键在于 a , b 的大小,先计算 ? 2 tan

? ?

??

? ? sin ? 2 ? 1 ,即 4? 2

?

a ? 2, b ? 1, a ? b ,所以

?? ? ? ? 2 tan ? ? sin ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 1? ? 4 4? 2 ?
?1













? ? ?1? ? ? 4cos ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 1? ? 3 ? 9 ,所以式子的和为 13 3 ? ? 3? ?
12、答案:C 解析:执行循环程序结果如下: ① s ? 10, k ? 9 ② s ? 90, k ? 8

③ s ? 720, k ? 7

此时循环应该终止,所以可知判断条件为 k ? 8 ,可终止循环


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