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重庆市万州高级中学2015-2016学年高二上学期期末模拟测试数学(理)试题 Word版含答案


秘密★启用前 重庆市万州高级中学 2015-2016 学年度高二(上)期末模拟测试

数学(理工农医类)试题卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的( ▲ ) ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ?C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π 2. 已知命题 p : ? x∈(0, ),使得 cos x≥x,则该命题的否定 是 ( ▲ ) .. 2 π A. ? x∈(0, ),使得 cos x>x 2 π C. ? x∈(0, ),使得 cos x<x 2 π B. ? x∈(0, ),使得 cos x≥x 2 π D. ? x∈(0, ),使得 cos x<x 2

3.几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 ( ▲ ) A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, 4.如果椭圆 81 25
N 是 MF1 的中点, O 是坐标原点,则线段 ON 的长为( ▲ )
A. 2 B. 4 C. 8 D.

3 2
5 3 D.( , ] 12 4

5. 曲线 y=1+ 4-x2与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是( ▲ ) 5 A.(0, ) 12 5 B.( ,+∞) 12 1 3 C.( , ] 3 4

6.已知两定点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) , P 是平面内一动点,且满足 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差 中项,则动点 P 的轨迹方程是( ▲ ) A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

→ 7. 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点,若BE → → → =AA1+xAB+yAD,则( ▲ ) 1 1 A.x=- ,y= 2 2 1 1 B.x= ,y=- 2 2

1 1 C.x=- ,y=- 2 2 8. 已知 P 是椭圆

1 1 D.x= ,y= 2 2

x2 y2 PF ? PF2 1 ? ? 1 上的点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 1 ? , 25 9 PF1 PF2 2

则 ?PF 1 F2 的面积为( ▲ ) A. 3 3
2

B. 3
2

C. 2 3

D.

3 3

9.方程 mx ? ny2 ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应( ▲ )

A

B
2

C
2

D

10.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 为双曲线 A. 1 ? 2 B. 1 ? 2
0

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 2 a b
C. 3 D. 1 ? 3

经过两曲线交点的直线恰过点 F ,则该双曲线的离心率为( ▲ )

11.四面体 ABCD 中, ?CBD ? 90 , AB ? 面BCD ,点 E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中点, 过点 E 、 F 和四面体 ABCD 的外接球球心 O 的平面将四面体 ABCD 分成两部分,则较小 部分的体积与四面体 ABCD 的体积之比为( ▲ ) A.

1 8

B.

3 16

C.

1 4

D.

27 64

12.已知点 O 为坐标原点, F 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,点 P 、 Q 在椭圆上,点 P 、 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? Q 、 R 满足 OF ? PQ ? 0, QR ? 2PQ ? 0 ,则 3 PF ? OR 的最大值为( ▲ )
A. 6 B. 3(1+ 2+ 3) C. 3 ? 3 2 D. 3 ? 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 13.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、 打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于 ▲ . 14.正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , AA1 ? 1 ,点

E 是 B1C1 的中点,则异面直线 AC1 与 BE 所成角的大小为 ▲ .
15.点 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点,以 a 2 b2

F 为圆心的圆过坐标原点 O ,且与双曲线 C 的两渐近线分别交 于 A 、 B 两点,若四边形 OAFB 是菱形,则双曲线 C 的离心率为 ▲

.

16.设 F 为抛物线 C : y 2 ? ?12 x 的焦点,过抛物线 C 外一点 A 作抛物线 C 的切线,切点为

B .若 ?AFB ? 900 ,则点 A 的轨迹方程为 ▲ .
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 p : 方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根; q : 方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实
2

根,若" p ? q "为真," p ? q "为假,求 m 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3), (Ⅰ)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求 PQ 的斜率; (Ⅱ)若点 M 是圆 C 上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值; b-3 (III)若 N(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出 t= 的最大值. a+2

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四面体 ABCD 中,AB、BC、CD 两两互相垂直, 且 BC=CD=1. (Ⅰ)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的大小; (III)若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30° ,求线段 AB 的长度. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A ? 4,8? 关于直线 l1 : x ? y ? 4 的对称点 B 在抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的准线上.
2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 直线 l2 与 x 轴交于点 D ,与抛物线 C 交于 E、 F 两点. 是否存在定点 D ,使得

1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 D 的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理 2 DE DF 2
由.

21. (本小题满分 12 分) 如图,在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
A1 D G A B D1 C1 B1 C

AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60? .
(Ⅰ)求 AC1 的长;

G, (Ⅱ)设直线 AC1 与平面 A 1DB 交于点
求证: AG ?

1 AC1 . 3

22. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C1 :

x2 x2 y 2 C : ? y 2 ? 1 的离心率相同,且点( 2 ,1) 和椭圆 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 2 2 a b

在椭圆 C1 上. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆 C2 上一点, 过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A、 C 两点, 且 P 恰为弦 AC 的中点. 求 证:无论点 P 怎样变化,△AOC 的面积为常数,并求出此常数。

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数学(理工农医类)参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 13.2 14. 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 A 9 A 10 B 11 A 12 C

? 4

15.2

16. x ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 17.解: 若 p 真,则 ? ? m ?0 ? ? 2

解得: m ? 2

若 q 真,则 ? ? 16(m2 ? 4m ? 4) ?16 ? 0

解得: 1 ? m ? 3

因为 " p ? q" 为真, " p ? q" 为假,则 p 与 q 一真一假 若 p 真, q 假:则 ?

?m ? 2 ?m ? 1或m ? 3
?m ? 2 ?1 ? m ? 3

故m ? 3

若 p 假, q 真,则 ?

故 1? m ? 2

所以 m 的取值范围是

{m | 1 ? m ? 2或m ? 3}
18.解:圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 可化为(x-2)2+(y-7)2=8. (1)点 P(m,m+1)在圆 C 上,所以 m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得 m=4, 故点 P(4,5).所以 PQ 的斜率是 kPQ= 5-3 1 = ; 4+2 3

(2)如图,点 M 是圆 C 上任意一点,Q(-2,3)在圆外, 所以|MQ|的最大值、最小值分别是 |QC|+r,|QC|-r. 易求|QC|=4 2,r=2 2, 所以|MQ|max=6 2,|MQ|min=2 2. (3)点 N 在圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上, t= b-3 表示的是定点 Q(-2,3)与圆上的动点 N 连线 l 的斜率. a+2

设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.

|2k-7+2k+3| 当直线和圆相切时,d=r,即 =2 2,解得 k=2± 3. k2+1 b-3 所以 t= 的最大值为 2+ 3. a+2 19.解: 解法一:(1)∵CD⊥AB,CD⊥BC,

∴CD⊥平面 ABC. 又∵CD? 平面 ACD,∴平面 ACD⊥平面 ABC. (2)∵AB⊥BC,AB⊥CD,∴AB⊥平面 BCD,∴AB⊥BD. ∴∠CBD 是二面角 C-AB-D 的平面角. ∵在 Rt△BCD 中,BC=CD,∴∠CBD=45° . ∴二面角 C-AB-D 的大小为 45° . (3)过点 B 作 BH⊥AC,垂足为 H,连接 DH. ∵平面 ACD⊥平面 ABC,∴BH⊥平面 ACD, ∴∠BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角.∴∠BDH=30° . 在 Rt△BHD 中,BD= 2,∴BH= 又∵在 Rt△BHC 中,BC=1, ∴∠BCH=45° ,∴在 Rt△ABC 中,AB=1. 解法二:(1)同解法一. (2)设 AB=a,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz,则 B(0,0,0)、A(0,0,a)、C(0,1,0)、 → → → D(1,1,0),BD=(1,1,0)、BA=(0,0,a).平面 ABC 的法向量CD=(1,0,0),设平面 ABD 的一个 法向量为 n=(x,y,z), → → 则有BD· n=x+y=0,BA· n=az=0, ∴z=0,取 y=1,则 x=-1,∴n=(-1,1,0). → CD· n 2 → ∴cos〈CD,n〉= =- ,由图可知二面角 C-AB-D 为锐角,∴二面角 C- → 2 |CD||n| AB-D 的大小为 45° . → → → (3)AC=(0,1,-a)、CD=(1,0,0)、BD=(1,1,0). → → 设平面 ACD 的一个法向量是 m=(x′,y′,z′),则AC· m=y′-az′=0,CD· m=x′=0, 令 z′=1,∴y′=a,则 m=(0,a,1). → BD· m a → ∵直线 BD 与平面 ACD 所成角为 30° ,∴cos〈BD,m〉= = 2 =cos60° , → a +1· 2 |BD||m| 解得 a=1,∴AB=1. 2 . 2

? n ?8 ?1 ? ?m ? 4 20.解:⑴设 B ? m, n ? ,则 ? ?m ? 4 ? n ? 8 ? 4 ? ? 2 2
? m ? ?4, n ? 0, ? p ? ?4, p ? 8 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 16 x . 2

⑵设 E ? x1 , y1 ? , F ? x2 , y2 ? , l2 : x ? sy ? t 由?

? x ? sy ? t ? y ? 16 x
2

得y 2 ? 16sy ? 16t ? 0.

? ? ?16 s ? ? 64t ? 0 ,
2

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 DE DF ? x1 ? t ? ? y1 ? x2 ? t ? ? y2 ? s ? 1? y1 ? s ? 1? y22

?y ? y ? ? 1 2

2

?s

2

2 ? 1? y12 y2

? 2 y1 y2

8s 2 ? t 1 t ?8 ? 2 2 ? 2? 2 2 8t ? s ? 1? t 8t ? s ? 1?

1 1 1 ? = . 2 2 DE DF 64 ???? ? ??? ? ??? ? ???? 21.解: (1)? AC1 ? AB ? AD ? AA 1
所以 t ? 8 时,存在定点 D ? 8,0 ? ,使得

???? ?2 ? AC1
???? ? ? AC1 ? 85

??? ? 2 ???? 2 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? AB ? AD ? AA1 ? 2 AB ? AD ? 2 AB ? AA1 ? 2 AD ? AA1

? 85



(2)首先,由 A, G, C1 三点共线知,存在 ? ? R , 使得

???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AG ? ? AC1 ? ?( AB ? AD ? AA 1) ? ? AB ? ? AD ? ? AA 1

其次,由 B, D, A1 , G 四点共面知,存在 x, y, z ? R , 使得

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ,且 A G? x A B ? y A? D 1z A Ax ? y ? z ? 1
???? 1 ???? ? 1 ,? AG ? AC1 3 3

由空间向量基本定理可得 x ? y ? z ? ? ,? ? ?

c 2 2 1 22. 解 : (Ⅰ)由题知, 2 ? 2 ?1 且 ? a 2 a b x2 y2 ? ? 1; 4 2

即 a 2 ? 4, b 2 ? 2 , ? 椭 圆 C1 的 方 程 为

(Ⅱ)当直线 AC 的斜率不存在时,必有 P(? 2 ,0) ,此时 | AC |? 2 , S?AOC ? 2 当直线 AC 的斜率存在时,设其斜率为 k 、点 P( x0 , y0 ) ,则 AC:y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与椭圆 C1 联立,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 )2 ? 4 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 则 x0 ?
2

x1 ? x2 2k ( y0 ? kx 0 ) ?? 2 1 ? 2k 2
2

即 x0 ? ?2ky0

又 x0 ? 2 y0 ? 2

? y0 ?

2

1 1 ? 2k 2

16k 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )[ 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 4] 1 | y ? kx0 | S?AOC ? ? 0 ? 1? k 2 ? 2 1 ? 2k 2 1? k 2
? 2 | y0 ? kx0 | 2(1 ? 2k 2 ) ? ( y0 ? kx0 ) 2 1 ? 2k 2 ? 2 (1 ? 2k 2 ) | y0 | 2(1 ? 2k 2 ) ? (1 ? 2k 2 ) 2 y0 1 ? 2k 2
2

? 2 | y0 | 1 ? 2k 2 ? 2
综上,无论 P 怎样变化, ?AOC 的面积为常数 2 .

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