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重庆一中2014-2015学年高一第二学期4月月考数学 Word版含解析


2014-2015 学年重庆一中高一(下)4 月月考数学试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.) 2 1.不等式 x ﹣5x﹣6>0 的解集是( ) A. (﹣6,1) B. (﹣1,6) C. (﹣∞,﹣1)∪(6,+∞) D. (﹣∞,﹣6) ∪(1,+∞) 2.函数 y=2sin(2x+ )是( )

A. 周期为 π 的偶函数 B. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的偶函数 D. 周期为 2π 的奇函数

3.已知 =(3,1) , =(x,x﹣1)且 ∥ ,则 x 等于( A. B. ﹣ C. 3 D.



4.下列命题中,正确的是( ) A. 若 a>b,c>d,则 ac>bc B. 若 ac>bc,则 a<b C. 若 ,则 a<b D. 若 a>b,c>d,则 a﹣c>b﹣d

5.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 a5+a6+a7=15,则 S11 为( A. 25 B. 30 C. 35 D. 55



6.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 ﹣ 与 的夹角为( A. B. C. D.



7. 若 a, b, c 为△ ABC 的内角 A, B, C 的对边, 它的面积为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

, 则角 C 等于 (



8.如图,在△ ABC 中,BE:EA=1:2,F 是 AC 中点,线段 CE 与 BF 交于点 G,则△ BEG 的面积与△ ABC 的面积之比是( )

A.

B.

C.

D.

9.若△ PQR 的三个顶点坐标分别为 P(cosA,sinA) ,Q(cosB,sinB) ,R(cosC,sinC) , 其中 A,B,C 是△ ABC 的三个内角且满足 A<B<C,则△ PQR 的形状是( ) A. 锐角或直角三角形 B. 钝角或直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 10.数列{xn}满足:x1= ,xn+1=xn +xn,则下述和数 部分的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2

+

+

+…+

的整数

二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11.已知 tanα=2,求值 tan(α+ )= .

12.已知 a,b∈R 且 0<a<1,2<b<4,则 a﹣b 的范围为



13.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=4, 值是 .

=2



?

=12,则

?



14.小毕喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,他照如图所示摆成了正三角形图案,并把每个图 案中总的石子个数叫做“三角形数”,记为 Tn,则 + + + …+ = .

15.已知 Sn 是正项数列{an}前 n 项和,对任意 n∈N ,总有 Sn= an+

*

,则 an=



三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16.已知| |=2,| |=1, ( ﹣ )?(2 + )=8. (1)求 与 的夹角 θ; (2)求|2 ﹣ |.

17.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+2 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Sn.

18.已知△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 2 ,a=3,求 b,c 的长.

19.设平面向量 =(cosx,sinx) , =(cosx+2 (1)若 ,求 cos(2x+2α)的值;

,sinx) , =(sinα,cosα) ,x∈R.

(2)若 α=0,求函数 f(x)=

的最大值,并求出相应的 x 值.

20.已知 a,b,c 为锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边,满足 acosA+bcosB=c, (1)证明:△ ABC 为等腰三角形; (2)若△ ABC 的外接圆面积为 π,求 的范围.

21. 数列 (1)求 a3,a4 并求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn 试比较|Tn﹣2|与

,n=1,2,3,….

的大小,并说明理由.

2014-2015 学年重庆一中高一(下)4 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.) 1.不等式 x ﹣5x﹣6>0 的解集是( ) A. (﹣6,1) B. (﹣1,6) C. (﹣∞,﹣1)∪(6,+∞) D. (﹣∞,﹣6) ∪(1,+∞) 考点: 一元二次不等式的解法. 分析: 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负,转 化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 解答: 解:因式分解得: (x﹣6) (x+1)>0, 可化为: 或 ,
2

解得:x>6 或 x<1, 则原不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(6,+∞) . 故选:C. 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,是一道基础题.

2.函数 y=2sin(2x+

)是(



A. 周期为 π 的偶函数 B. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的偶函数 D. 周期为 2π 的奇函数 考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的诱导公式将函数进行化简, 结合三角函数的图象和性质即可得到结论. 解答: 解:y=2sin(2x+ 则函数的周期 T= )=2cos2x, ,为偶函数,

故选:A 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键.

3.已知 =(3,1) , =(x,x﹣1)且 ∥ ,则 x 等于( A. B. ﹣ C. 3 D.



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由向量共线可得 3(x﹣1)﹣x=0,解方程可得. 解答: 解:∵ =(3,1) , =(x,x﹣1)且 ∥ , ∴3(x﹣1)﹣x=0, 解得 x= 故选:D 点评: 本题考查平面向量的共线,属基础题. 4.下列命题中,正确的是( ) A. 若 a>b,c>d,则 ac>bc B. 若 ac>bc,则 a<b C. 若 ,则 a<b D. 若 a>b,c>d,则 a﹣c>b﹣d

考点: 不等关系与不等式;命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: 对于选择支 A、B、D,举出反例即可否定之,对于 C 可以利用不等式的基本性质证 明其正确. 解答: 解:A.举出反例:虽然 5>2,﹣1>﹣2,但是 5×(﹣1)<2×(﹣2) ,故 A 不正确; B.举出反例:虽然 5×3>4×3,但是 5>4,故 B 不正确; C.∵ ,∴ ,∴a<b,故 C 正确;

D.举出反例:虽然 5>4,3>1,但是 5﹣3<4﹣1,故 D 不正确. 综上可知:C 正确. 故选 C. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 5.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 a5+a6+a7=15,则 S11 为( A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 考点: 专题: 分析: 解答: ∴S11= )

等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由题意和等差数列的性质可得 a6 的值,而 S11=11a6,代值计算可得. 解:由题意和等差数列的性质可得 a5+a6+a7=3a6=15,解得 a6=5, = =11a6=55

故选:D 点评: 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.

6.若| + |=| ﹣ |=2| |,则向量 ﹣ 与 的夹角为( A. B. C. D.



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知条件得 ,且 | |=| |,由此能求出向量 ﹣ 与 的夹角.

解答: 解:∵| + |=| ﹣ |=2| |, ∴ ,且 | |=| |, ) , >= =﹣

∴cos<(

=﹣

=﹣



∴向量 ﹣ 与 的夹角为



故选:A. 点评: 本题考查向量的夹角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意平面向量数量积的 合理运用.

7. 若 a, b, c 为△ ABC 的内角 A, B, C 的对边, 它的面积为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形面积计算公式及其余弦定理可得 即可. 解答: 解: = = , =

, 则角 C 等于 (



=

,解出

化为 tanC=



C∈(0°,180°) , ∴C=30°, 故选:A. 点评: 本题考查了三角形面积计算公式及其余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

8.如图,在△ ABC 中,BE:EA=1:2,F 是 AC 中点,线段 CE 与 BF 交于点 G,则△ BEG 的面积与△ ABC 的面积之比是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 相似三角形的性质. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 取 AE 的中点 D,则 DF∥EG,确定 E,G 分别是 BD,BF 的中点,即可得出△ BEG 的面积与△ ABC 的面积之比. 解答: 解:取 AE 的中点 D,则 DF∥EG, ∵BE:EA=1:2, ∴E,G 分别是 BD,BF 的中点, ∴△BEG 的面积= △ BFD 的面积, ∵△BFD 的面积= △ ABC 的面积, ∴△BEG 的面积= 故选:B. △ ABC 的面积,

点评: 本题考查△ BEG 的面积与△ ABC 的面积之比,考查中位线的性质,比较基础. 9.若△ PQR 的三个顶点坐标分别为 P(cosA,sinA) ,Q(cosB,sinB) ,R(cosC,sinC) , 其中 A,B,C 是△ ABC 的三个内角且满足 A<B<C,则△ PQR 的形状是( ) A. 锐角或直角三角形 B. 钝角或直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 由题意可得点 P、Q、R 都在以原点 O 为圆心,半径等于 1 的单位圆上,A、B 一定为 锐角,P、Q 一定在第一象限.点 R 可能在第一象限内,也可能在 y 轴或第二象限内,但不论 哪种情况,圆周角∠PQR 所对的弧长都大于半圆的长,可得∠PQR 一定是钝角,从而得到答 案. 2 2 2 解答: 解:由题意可得,OP =OQ =OR =1,故点 P、Q、R 都在以原点 O 为圆心,半径等于 1 的单位圆上.

由于 A,B,C 是△ ABC 的三个内角且满足 A<B<C, ∴A、B 一定为锐角, ∴P(cosA,sinA) ,Q(cosB,sinB)一定在第一象限, 由于角 C 可能是锐角,也可能是直角或钝角, 故点 R 可能在第一象限内,也可能在 y 轴或第二象限内,如图所示: 但不论哪种情况,圆周角∠PQR 所对的弧长都大于半圆的长, 故∠PQR 一定是钝角, 故选 D.

点评: 本题主要考查三角形的形状的判断,圆周角的定义和性质,体现了数形结合的数学思 想,属于中档题. 10.数列{xn}满足:x1= ,xn+1=xn +xn,则下述和数 部分的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 x1= ,xn+1=xn +xn,可得 xn>1.另一方面由 xn+1=xn +xn,可得 + + +…+
2 2 2 2

+

+

+…+

的整数

=xn+1>1,因此数列{xn}单调递增,可得当 n≥4 时, .利用“裂项求和”可得和数 =2+ ,即可得出整数部分的值.

=3﹣

解答: 解:由 x1= ,xn+1=xn +xn,可得 ∴数列{xn}单调递增,可得 x2= ,x3= ∴当 n≥4 时,xn>1. ∴ <1.

=xn+1>1, ,x4= >1,

∵xn+1=xn +xn,∴ ∴和数 + =3﹣ + =2+ +…+ =

2



+

+…+

的整数部分的值为 2.

故选:C. 点评: 本题考查了数列的单调性、“裂项求和”,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属 于中档题. 二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11.已知 tanα=2,求值 tan(α+ )= ﹣3 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和的正切公式计算求得结果. 解答: 解:∵tanα=2,∴tan(α+ )= = =﹣3,

故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 12.已知 a,b∈R 且 0<a<1,2<b<4,则 a﹣b 的范围为 (﹣4,﹣1) . 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: 把 2<b<4,化为﹣4<﹣b<﹣2,利用同向不等式相加,求出 a﹣b 的取值范围. 解答: 解:∵a,b∈R,2<b<4, ∴﹣4<﹣b<﹣2, 又 0<a<1, ∴﹣4+0<a﹣b<﹣2+1, 即﹣4<a﹣b<﹣1, ∴a﹣b 的范围是(﹣4,﹣1) . 故答案为: (﹣4,﹣1) . 点评: 本题考查了不等式的基本性质的应用问题,是基础题目.

13.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=4, 值是 6 .

=2



?

=12,则

?



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知条件便可得到 , ,进行数量积的运算即可得出 解答: 解:根据条件: = = ∴ . ; = . ,从而

故答案为:6. 点评: 考查向量加法的几何意义,共线向量基本定理,相等向量的概念,以及向量数量积的 运算. 14.小毕喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,他照如图所示摆成了正三角形图案,并把每个图 案中总的石子个数叫做“三角形数”,记为 Tn,则 + + +…+ = .

考点: 归纳推理. 专题: 等差数列与等比数列;推理和证明. 分析: 通过观察可归纳出:第 n 个三角形所表示的数为从 1 开始到 n 的自然数的和,利用等 差数列的前 n 项和公式求出 Tn,再利用裂项相消法求出式子的和. 解答: 解:第 1 个三角形表示的数是 1, 第 2 个三角形表示的数是 1+2=3, 第 3 个三角形表示的数是 1+2+3=6, 第 4 个三角形表示的数是 1+2+3+4=10, …, 第 n 个三角形表示的数是 1+2+3+…+n= ∴Tn= ,则 = = ,



∴ =(1 =1﹣ )+( = , . )+…+( )

故答案为:

点评: 本题考查归纳推理,等差数列的前 n 项和公式,裂项相消法求数列的和,考查了观察、 归纳、推理能力,属于中档题. 15.已知 Sn 是正项数列{an}前 n 项和,对任意 n∈N ,总有 Sn= an+ ) .
*

,则 an= 2(



考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过写出前几项的值,猜想通项公式,利用数学归纳法证明即可. 解答: 解:∵Sn= an+ ∴a1=S1= a1+ ∴ =4, , ,

又∵an>0,∴a1=2, ∵a2+a1= a2+ 即 a2+2= , ,

解得 a2=2 ﹣2, ∴S2=a1+a2=2+2 ﹣2=2 ∵S2+a3= 即2 +a3= ﹣2 ﹣ , , ,



解得:a3=2 … 猜测:an=2(

) .

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,显然成立; (2)假设当 n=k(k≥2)时,有 ak=2( ﹣ ) ,

则 Sk= ak+

=

﹣ +ak+1,

+

=2



∴Sk+1=Sk+ak+1=2 又∵Sn= an+ ∴2 ,

+ak+1= ak+1+ ﹣

, =0,

即 ak+1+2 ∴ +4

?ak+1﹣4=0, , , ﹣ )成立,

解得:ak+1= 依题意,ak+1=2 ﹣2 即当 n=k+1 时,ak+1=2( ∴an=2( ﹣ ) .

点评: 本题考查数学归纳法,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.已知| |=2,| |=1, ( ﹣ )?(2 + )=8. (1)求 与 的夹角 θ; (2)求|2 ﹣ |.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)将已知等式展开,利用向量的数量积公式以及模的平方等于向量的平方求夹角; (2)要求向量的模,根据向量的平方等于模的平方,先求平方再开方求值. 解答: 解: (1)因为| |=2,| |=1, ( ﹣ )?(2 + )=8. 所以 2
2



2

﹣ ? =8.

所以 8﹣1﹣2cosθ=8, 解得 cosθ=﹣ , 所以 ;

(2)由(1)得到 ? =﹣1, |2 ﹣ | =4
2 2

+

2

﹣4 ? =16+1﹣4(﹣1)=21,所以|2 ﹣ |=



点评: 本题考查了向量的运算以及求向量的模的方法;根据向量的平方等于向量模的平方, 要求向量的模,一般的先求其平方,再开方求模. 17.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+2 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Sn.

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件利用等差数列通项公式、前 n 项和公式及等比数列性质,求出首项 和公差,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 ,利用分组求和法能求出数列{bn}的前 n 项和.

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,由 a1=2 和 a2,a3,a4+1 成等比数列, 2 得(2+2d) =(2+d) (3+3d) ,解得 d=2,或 d=﹣1,…(2 分) 当 d=﹣1 时,a3=0,与 a2,a3,a4+1 成等比数列矛盾,舍去.∴d=2,…(4 分) ∴an=a1+(n﹣1)d=2+2(n﹣1)=2n, 即数列{an}的通项公式 an=2n.…(6 分) (2)∵ ∴ =(2+4+…+2n)+(4+4 +…+4 ) = = + .
2 n

…(8 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意分组求和法的合理运用. 18.已知△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 2 ,a=3,求 b,c 的长. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变 形,由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可; (Ⅱ)由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积与 sinA 的 值代入求出 bc=6,再利用余弦定理列出关系式,把 a,cosA 的值代入,利用完全平方公式变 形,把 bc 的值代入求出 b+c=5,联立求出 b 与 c 的值即可. 解答:解: (Ⅰ) 由正弦定理化简 3bcosA=ccosA+acosC 化简得: 3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,

整理得:3sinBcosA=sin(A+C)=sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA= ; (Ⅱ)∵cosA= ,A 为三角形内角, ∴sinA= ∴S△ ABC= bcsinA=
2 2

=

, bc=2
2

,即 bc=6①,
2 2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣ bc,即 9=(b+c) ﹣2bc﹣ bc, 把 bc=6 代入得:b+c=5②, 联立①②,解得:b=2,c=3 或 b=3,c=2. 点评: 此题考查了正弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定 理是解本题的关键.

19.设平面向量 =(cosx,sinx) , =(cosx+2 (1)若 ,求 cos(2x+2α)的值;

,sinx) , =(sinα,cosα) ,x∈R.

(2)若 α=0,求函数 f(x)=

的最大值,并求出相应的 x 值.

考点: 两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析:(1) 利用两个向量垂直, 它们的数量积等于 0, 以及二倍角的余弦公式求得 cos (2x+2α) 的值. (2)若 α=0,则 =(0,1) ,由题意化简可得函数解析式:f(x)=1+4sin(x+ 弦函数的有界性求出函数的最值. 解答: 解: (1)若 ∴cosxsinα+sinxcosα=0, ∴sin(x+α)=0, ∴cos(2x+2α)=1﹣2sin (x+α)=1. (2)若 α=0, =(0,1) , 则 f(x)= (sinx﹣2)=1﹣2sinx+2 =(cosx,sinx)?(cosx+2 cosx=1+4sin(x+ (k∈Z) . ) , ,sinx﹣2)=cosx(cosx+2 )+sinx
2

) ,利用正

,则 ? =0,

所以,f(x)max=5,x=2kπ﹣

点评: 本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的 运算,属于基本知识的考查. 20.已知 a,b,c 为锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边,满足 acosA+bcosB=c, (1)证明:△ ABC 为等腰三角形; (2)若△ ABC 的外接圆面积为 π,求 的范围.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosA 与 cosB,代入已知等式整理得到 a=b,即可得证; (2)设三角形 ABC 外接圆半径为 R,由圆的面积公式求出 R 的值,所求式子利用正弦定理 化简,整理为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域确定出范围即可. 解答: (1)证明:由 acosA+bcosB=c,利用余弦定理化简得: a?
2 2

+b?
2 2 2 2

=c,
2 2 2 2

整理得:a (b +c ﹣a )+b (a +c ﹣b )=2abc ,即(a﹣b) =0, 2 2 ∵c<a+b,∴c ≠(a+b) , ∴a=b, 则△ ABC 为等腰三角形; 2 (2)解:设△ ABC 的外接圆半径为 R,由 πR =π,得到 R=1, 由(1)得:A=B, 由正弦定理得: = 10sin(B+θ)+1, 记为 f(B) ,其中 sinθ= > ∵△ABC 为锐角三角形, ,cosθ= ,且 θ∈( , ) , = =6sinB+1+8cosB=





结合 A=B,得到 ∴B+θ∈( ∴f(B)在 当 B=

<B <



,π) , <B< 上单调递减, +θ)+1=10cosθ+1=7;

时,f(B)=10sin(

当 B=

时,f(B)=10sin( +1) ,即

+θ)+1=10×

(sinθ+cosθ)+1=7 +1) .

+1,

∴f(B)∈(7,7

∈(7,7

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理是解本题 的关键.

21. 数列 (1)求 a3,a4 并求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn 试比较|Tn﹣2|与

,n=1,2,3,….

的大小,并说明理由.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 函数的性质及应用;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过将 a1=1、a2=2 代入关系式即得 a3、a4 的值;分 n=2k﹣1、n=2k 两种情况代 入关系式即得该数列中的奇数项构成以首项、公差均为 1 的等差数列、偶数项构成以首项、 公比均为 2 的等比数列,进而可得结论; (2)通过 a2n﹣1=n、a2n=2 可得 bn=
n

=

,利用错位相减法即得 Tn=2﹣

,通过记

An=|Tn﹣2|=

>0,Bn=

>0,令 Cn=

=

,则问题转化为比

较 Cn 与 1 的大小,通过作商法可知:当 n≥3 时,数列{Cn}单调递减,进而计算即得结论. 解答: 解: (1)∵a1=1,a2=2, ∴a3=(1+cos a4=(1+cos
2 2

)a1+sin )a2+sin
2

2

=a1+1=2, =2a2=4,
2

当 n=2k﹣1 时,a2k+1=[(1+cos

)a2k﹣1+sin

2

=a2k﹣1+1,

即数列{a2k﹣1}是以首项、公差均为 1 的等差数列, ∴a2k﹣1=k; 当 n=2k 时,a2k+2=[(1+cos
2

)a2k+sin

2

=2a2k,

即数列{a2k}是以首项、公比均为 2 的等比数列, k ∴a2k=2 ;

综上:数列{an}的通项 an= (2)由(1)知:a2n﹣1=n,a2n=2 ,
n



∴bn=

=



∵Tn=b1+b2+…+bn, ∴Tn= +2× Tn= +2× +3× +3× +…+n× …+n× + + , , …+ ﹣n×

两式相减得: Tn= +

=



=1﹣



, ,

∴Tn=2﹣

记 An=|Tn﹣2|=

>0,Bn=

>0,

令 Cn=

=



则要“比较|Tn﹣2|与

的大小”,

只需比较:“Cn 与 1 的大小”即可. ∵Cn= ,

∴Cn+1=





=





<1,即 n ﹣n﹣4>0,

2

解得:n≥3, ∴当 n≥3 时,数列{Cn}单调递减. 当 n=1 时,C1= = <1,此时 A1<B1,

当 n=2 时,C2=

= >1,此时 A2>B2,

当 n=3 时,C3=

= >1,此时 A3>B3,

当 n=4 时,C4=

=

>1,此时 A4>B4,

当 n=5 时,C5=

=

<1,此时 A5<B5,

∵当 n≥3 时,数列{Cn}单调递减, ∴当 n≥5 时,Cn≤C5<1,即 An<Bn, 综上所述:当 n=2、3、4 时,|Tn﹣2|> ,

当 n=1 或 n≥5 时,|Tn﹣2|<



点评: 本题是一道数列与不等式的综合题,考查求数列的通项、比较大小关系、三角函数等 基础知识,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属 于难题.


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