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立体几何中最值问题


立体几何中最值问题求解策略
立体几何中最值问题令许多学生无从下手,本文试做一归纳总结,供同学们复习时参考。

策略一

转化为求函数最值

例 1 已知正方形 ABCD、ABEF 所在平面互相垂直,AB= 2 ,M 为线段 AC 上一 动点,当 M 在什么位置时,M 到直线 BF 的距离最短? 分析:本题是求点

到线距离最值问题,实际上就是求异面直线 AC、BF 间距 离。可用代数中求最值的方法来解决。 解: 作 MH ? AB 于 H,作 HN ? BF 于 N ,易知 MH ? 平面 ABEF. C ? BF. 由三垂线定理可知,MN
D

设 AM=x,则 MH=AH=

1 2 2 2 x,BH= 2 ? HB= 1 ? x x ,HN= 2 2 2 2
A

M

B H N F

E

1 1 3 2 2 ( x ? )2 ? 则 MN2=MH2+HN2= x 2 ? (1 ? x) 2 = 2 2 4 3 3

所以当 AM=

2 6 时,MN 有最小值 。 3 3

A

策略二 借助 均值不等式求最值 例 2 求半径为 R 的球内接正三棱锥体积的最大值。 解:如右图所示,设正三棱锥高 O1 A =h, 底面边长为 a
3 由正三棱锥性质可知 O1B = a ,又知 OA=OB=R 3
B O D O1 C

则在 Rt ?ABC 中, (

3 2 a) ? R 2 ? (h ? R) 2 3

?
?

a2 ? 3h(2R ? h)

?h h ? ? 2 ? 2 ? 2R ? h ? 1 3 2 3 2 hh V= ? a h ? h (2 R ? h) ? 3 ? (2 R ? h) ? 3 ? ? ? 3 22 3 4 4 ? ? ? ?

3

=

h 4 8 3 3 R (当且仅当 ? 2 R ? h ,即 h ? R 时,取等号 ) 2 3 27

? 正三棱锥体积最大值为

8 3 3 R 27

策略三 例3

借助最小角定理建立不等关系

? ? l ? ? 是直二面角, A ??, B ? ? , A ,B 不在 l 上,设 AB 与 ?, ? 成的角分
?

别是 ?1 ,? 2 ,求 ?1 ? ?2 的最大值。 解析:如图所示,过 A 作 L 垂线,垂足为 C,易知 AC ? ?
A

D C L

B

过 B 作 L 垂线,垂足为 D,易知 BD ? ? .所以 ?ABC ? ?2,

?

?BAD ? ?1 ,在 Rt ?ABD 中, ?ABD ?
由最小角定理可知 ? 2 ?

?
2

? ?DAB ?

?
2

? ?1

?
2

? ?BAD ?

?
2

? ?1 ,所以 ?1 ? ? 2 ?

?
2



当 D、C 重合时, ?1 ? ? 2 ? 策略四 例 4

?

2 借助侧面展开图求最短路径

。所以最大值为

? 。 2

D1

C1

长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=6,BC=5, CC1 ? 4, 一只蚂蚁从 A1 出发, A
1

B1

沿长方体表面到达 C 处,求蚂蚁爬过的最短距离。 解:如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种,可由侧面展开的结果 比较而求得最值。
A1 A
A

D

C

B

B

1. A1C ? ( A1 A ? AB) ? BC
2

2



= (6 ? 4) ? 5 ? 125
2 2

(1
D1 D C

2 A1C ? ( AB ? BC )2 ? AA12 = (6 ? 5) 2 ? 42 ? 137

A1

B1

C1

2
A B C

3 A1C ? ( AA1 ? AD) ? DC ? (4 ? 5) ? 6 ? 117
2 2 2 2

A1

B1

A

B

显然第 3 种距离最短 。

3
D C

策略五 利用极限思想 例 5 1 三棱锥 P-ABC 中,若棱 PA=x,其余棱长均为 1,探讨 x 是否有 最值; 2 若正三棱锥底面棱长棱长均为 1,探讨其侧棱否有最值。 解析:如图第 1 题:当 P-ABC 为三棱锥时,x 的最小极限是 P、A 重合,取值为 0,若 ?PBC 绕 BC 顺时针旋转,PA 变大, 最大极限是 P,A,B,C 共面时,PA 为菱形 ABPC 的对角线长度为 3

P

A O B

C

第 2 题:若 P 在底面的射影为 O,易知 PO 越小,侧棱越小。故 P、O 重 合时,侧棱取最小极限值
3 ,PO 无穷大时,侧棱也无穷大。 3

可知两题所问均无最值。


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