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22二次函数y=ax2的图象和性质教案1


22.1.2 二次函数 y=ax 的图象和性质教案 1
教学目标: 1、使学生会用描点法画出 y=ax 的图象,理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数 y=ax 图象 性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好 思维习惯 重点难点: 重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数 y=ax 的图象是教学的 重点。 难点:用描点法画出二次函数 y=ax 的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2. 我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以, 应先研 究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象) 3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么? 二、探索图象 例 1、画二次函数 y=x 的图象。 解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对应值表: x y … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
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(2)在直角坐标系中描点: 用表里各组对应值作为点的坐标, 在平面直角坐标系中描点 (3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数 y=x 的图象,如图所示。 提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? 让学生观察,思考、讨论、交流,归结为:它有一条对称 轴,且对称轴和图象有一个交点。 抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
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三、做一做 1.在同一直角坐标系中,画出函数 y=x 与 y=-x 的图象,观察并比较两个图象,你发 现有什么共同点?又有什么区别? 2.在同一直角坐标系中,画出函数 y=2x 与 y=-2x 的图象,观察并比较这两个函数的 图象,你能发现什么? 3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么? 对于 1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨 论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论、 交流,让学生发表不同的意见,达成共识:两个函数的图象都是抛物线,都关于 y 轴对称, 顶点坐标都是(0,0),区别在于函数 y=x 的图象开口向上,函数 y=-x 的图象开口向下。 对于 2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点,教师可引导 学生类比 1 得出。 对于 3,教师可引导学生从 1 的共同点和 2 的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛 物线,都关于 y 轴对称,它的顶点坐标都是(0,0). 四、归纳、概括 函数 y=x 、y=-x 、y=2x 、y=-2x 是函数 y=ax 的特例,由函数 y=x 、y=-x 、y=2x 、y=-2x 的图象的共同特点,可猜想: 函数 y=ax 的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。 如果要更细致地研究函数 y=ax 图象的特点和性质,应如何分类?为什么? 让学生观察 y=x 、y=2x 的图象,填空; 当 a>0 时,抛物线 y=ax 开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称 轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察下图,回答以下问题; (1)XA、XB 大小关系如何?是否都小于 0? (2)yA、yB 大小关系如何? (3)XC、XD 大小关系如何?是否都大于 0? (4)yC、yD 大小关系如何? (XA<XB,且 XA<0,XB<0;yA>yB;XC<XD,且 XC>0,XD>0,yC<yD) 其次,让学生填空。
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当 X<0 时, 函数值 y 随着 x 的增大而______, 当 X>O 时, 函数值 y 随 X 的增大而______; 当 X=______时,函数值 y=ax (a>0)取得最小值,最小值 y=______ 以上结论就是当 a>0 时,函数 y=ax 的性质。 思考以下问题: 观察函数 y=-x 、y=-2x 的图象,试作出类似的概括,当 a<O 时,抛物线 y=ax 有些什 么特点?它反映了当 a<O 时,函数 y=ax 具有哪些性质? 让学生讨论、交流,达成共识:当 a<O 时,抛物线 y=ax 开口向下,在对称轴的左边, 曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点是抛物线上位置最高的点。 图象的这些特点,反映了当 a<O 时,函数 y=ax 的性质:当 x<0 时,函数值 y 随 x 的增大而 增大;与 x>O 时,函数值 y 随 x 的增大而减小,当 x=0 时,函数值 y=ax 取得最大值,最 大值是 y=0。 五、课堂练习:
2 练习 1、在同一坐标系中,画出函数 y ? - x , y ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 x 和函数 y ? -2x 2 的图象并考虑这 2

些抛物线有什么共同点和不同点。 教师问: 在同一坐标系内, 抛物线 y ? x 2 和抛物线 y ? ? x 2 的位置有什么关系?如果在同一 个坐标系内画二次函数 y ? ax2 和 y ? ?ax2 的图象怎样画更简便? (抛物线 y ? x 与抛物线 y ? ? x 关于 x 轴对称,只要画出 y ? ax 与 y ? ?ax 中的一条抛
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物线,另一条可利用关于 x 轴对称来画)
2 练习 2:已知二次函数 y ? ax ( a ? 0 )的图象经过点(-2,-3) 。

(1) 求 a 的值,并写出这个二次函数的解析式。 (2) 说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。 六、谈收获 1.二次函数 y ? ax (a≠0)的图象是一条抛物线.
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2.图象关于 y 轴对称,顶点是坐标原点 3.当 a>0 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当 a<0 时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点 4、抛物线的开口与 a 的大小关系。 七、作业: 1.如何画出函数 y=ax 的图象? 2.函数 y=ax 具有哪些性质? 3.谈谈你对本节课学习的体会。
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