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2.5等比数列前n项和(二)


第二章

数列

2.5 等比数列的前 n 项和(二)
教学目标
(一) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (二) 过程与能力目标 综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前 n 项和公式解决相关的问题.

教学重点
进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式的理解、推导及

应用.

教学难点
灵活应用相关知识解决有关问题.

教学过程
一、复习引入:

1.等比数列求和公式:

?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

2.数学思想方法:错位相减,分类讨论,方程思想 3.练习题: 求和: 1 ? a ? a ? a ? ? ? a
2 3 n ?1

二、探究 1.等比数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系? {an}是等比数列 ? Sn ? Aqn ? B 其中 A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0 . 练习: 若等比数列{an}中, Sn ? m3n ? 1, 则实数 m= .

2.Sn 为等比数列的前 n 项和, Sn ? 0 ,则 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k (k ? N * ), 是等比数列. 解:设等比数列 ?an ? 首项是 a1 ,公比为 q, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ∵此时, S k ? S 2k ? S k ? S 3k ? S 2k =0. (例如:数列 1,-1,1,-1,…是公比为-1 的等比数列, S 2 ? S 4 ? S 2 ? S 6 ? S 4 S2=0 ) ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k = a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ? 0
k S 2k ? S k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0 2k S3k ? S 2k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0

第二章

数列

? S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )成等比数列.
评述:①注意公比 q 的各种取值情况的讨论, ②不要忽视等比数列的各项都不为 0 的前提条件. 练习: ①等比数列中,S10= 10,S20= 30,则 S30= 70 ②等比数列中,Sn= 48,S2n= 60,则 S3n= 63
*

. .

3.在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S 偶与 S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则 练习: 等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q = 综合应用:

S偶 S奇

?

q .

2 .

例 1: 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn ?1, Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为 -2 解: Sn ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? Sn

.

? ?an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? ?2an ?1 ? q ? ?2 .
例 2:等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,3,3 ,…,3 项组成数列{bn}, 求数列{bn}的通项和前 n 项和 Sn. 解:由题意 an =2n-1, 故 bn ? a3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 1,
2

n-1

Sn=b1+b2+…+bn
=2(1+3+3 +…+3 )-n =3 -n-1. 三、课堂小结: 1.{an}是等比数列 ? S n ? Aq n ? B 其中 A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0 . 2.Sn 为等比数列的前 n 项和,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 一定是等比数列. 3.在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S 偶与 S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则
* 2

n-1

n

S偶 S奇

?q.


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