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上海中学高二期中考(2015.11)


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上海中学高二上学期期中数学试卷
2015.11 一. 填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1. 在平面直角坐标系中,经过原点和点 (1, ? 3) 的直线的倾斜角 ? ? 2. 设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb ,若 b ? c ,则实数 k 的值

等于 3. 直线 (m ? 3) x ? my ? 2 ? 0 与直线 mx ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直,则实数 m ? ; ; ;

?

?

?

?

?

?

?

4
4. 行列式 ?3

2 5

k 4 中,第 2 行第 1 列元素的余子式的值为10 ,则实数 k ?
? ?


?1 1 ?2
5. 直线 l 的一个方向向量 d ? (1, 2) ,则 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的夹角为 三角函数值表示) 6. 增广矩阵 ? ; (结果用反

? 3 m ?1? ?x ? 1 的二元一次方程组的实数解为 ? ,则 m ? n ? ? ? n 1 0 ? ?y ? 2

; ;

7. 过三点 A(1,3) 、 B(4, 2) 、 C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 | MN | ?

? 1 x ? ? 1 1? 8. 规定矩阵 A ? A ? A ? A ,若 ? ? ?? ? ,则 x 的值为 ? 0 1 ? ? 0 1?
3

3



9. 手表的表面在一平面上,整点1, 2,...,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为

上,从整点 i 到整点 i ? 1 的向量记作 ti ti ?1 ,则 t1t2 ? t2 t3 ? t2t3 ? t3t4 ? ... ? t12t1 ? t1t2 ?

???? ?

??? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???

2 的圆周 2


?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 10. 设关于 x, y 的不等式组 ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P ( x0 , y0 ) ,满足 ?y ? m ? 0 ?

x0 ? 2 y0 ? 2 ,则实数 m 的取值范围是 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11. 平面向量 a, b, e 满足 | e | ? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b | ? 2 ,则 a ? b 的最小值
为 ;

12. 在如图所示的平面中,点 C 为半圆的直径 AB 延长线上的一点, AB ? BC ? 2 ,过动点 P 作半 圆的切线 PQ ,若 PC ? 积的最大值为 ;

2 PQ ,则 ?PAC 的面

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 4 分,共 16 分) 资料整理

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13. 关于 x, y 的二元一次方程组 ? 的( ) B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

?mx ? y ? ?1 的系数行列式 D ? 0 是该方程组有解 ?3mx ? my ? 2m ? 3

A. 充分非必要条件 C. 充要条件

14. 如果命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) ? 0 的解”是正确的,则下列命题中 正确的是( )

A. 曲线 C 是方程 f ( x, y ) ? 0 的曲线 B. 方程 f ( x, y ) ? 0 的每一组解对应的点都在曲线 C 上 C. 不满足方程 f ( x, y ) ? 0 的点 ( x, y ) 不在曲线 C 上 D. 方程 f ( x, y ) ? 0 是曲线 C 的方程 15. 若对任意的实数 x ,都有 a cos x ? b sin x ? 1 ,则( A. )
2

1 1 ? ?1 a 2 b2

B.

1 1 ? ?1 a 2 b2

C. a ? b ? 1

2

D. a ? b ? 1

2

2

16. ?ABC 中, AB ? 5 , AC ? 7 , ?ABC 的外接圆圆心为 O ,对于 AO ? BC 的值,下列 选项正确的是( A. 12 ) B. 10 C. 8 D. 不是定值

???? ??? ?

三. 解答题(本大题共 5 题,共 8+8+10+10+12=48 分) 17. 已知点 A(1, 2) 、 B(5, ?1) ,且 A, B 两点到直线 l 的距离都为 2 ,求直线 l 的方程;

18. 已知 | a | ?

?

? ? ? ? ? ? ? 2 , | b | ? 1 , a 与 b 的夹角为 45? ,求使向量 (2a ? ? b) 与 (? a ? 3b) 的夹

角是锐角的实数 ? 的取值范围;

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?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 x ? y ?1 ? 19. 已知 x, y 满足条件: ? x ? 7 y ? 11 ? 0 求: (1) 4 x ? 3 y 的最小值; (2) 的取 x ? 5 ?4 x ? y ? 10 ? 0 ?
值范围;

20. 在平面直角坐标系中,设点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,称 d ( P 1, P 2 ) ? max{| x1 ? x2 |,| y1

? y2 |} (其中 max{a, b} 表示 a 、 b 中的较大数)为 P ; 1、P 2 两点的“切比雪夫距离”
(1)若 P(3,1) 、Q 为直线 y ? 2 x ? 1 上的动点,求 P, Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值; (2)定点 C ( x0 , y0 ) ,动点 P( x, y ) 满足 d (C , P) ? r (r ? 0) ,请求出 P 点所在的曲线所围 成图形的面积;

21. 定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 ? ; (1)设圆 C0 : x 2 ? y 2 ? 1 ,求过 P(2, 0) 的直线关于圆 C0 的距离比 ? ? 3 的直线方程; (2)若圆 C 与 y 轴相切于点 A(0,3) ,且直线 y ? x 关于圆 C 的距离比 ? ? 的方程; (3)是否存在点 P ,使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆 C1 : ( x ? 1) 2 ?

2 ,求此圆 C

y 2 ? 1 与 C2 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 的距离比始终相等?若存在,求出相应的 P 点坐标;若
不存在,请说明理由;

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