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2016年广州一模理科数学试题及答案


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2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名和考 生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x x ? x ? 0 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?

(A) x ?1 ? x ? 1 (2)已知复数 z ?

?

?

(B) x 0 ? x ? 1

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 0 ? x ? 1

?

?

3?i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数 z 所对应的点在 1? i
(D)第四象限

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (3)执行如图所示的程序框图,如果输入 x ? 3 ,则输出 k 的值为 开始 输入 x

k ?0

x ? 2x ? 3

k ?k?2

x ? 100 ?




输出 k

结束

(A)6

(B)8

(C)10

(D)12

(4)如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? (A)3

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 6 ,则 ? 的值为 6?
(C)12 (D)24

(B)6

(5)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a7 ? a12 ? 24 ,则 S13 ? (A)52 (B)78
2

(C)104

(D)208

C : y ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, xn , F (6)如果 P 1,P 2 ,?, P n 是抛物线
是抛物线 C 的焦点,若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 10 ,则 PF ? P2 F ? ?? Pn F ? 1 (A) n ? 10 (B) n ? 20 (C) 2 n ? 10 (D) 2n ? 20

nBC (7)在梯形 ABCD 中, AD ? BC ,已知 AD ? 4 , BC ? 6 ,若 CD ? mBA ?
(A) ?3 (B) ?

??? ?

??? ?

??? ?

? m, n ? R ? ,则

m ? n

1 3

(C)

1 3

(D) 3

理科数学试题 第 1 页(共 22 页)

? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 2 (8)设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? ? y ? 2 ? 的取值范围是 ? x ? ?1, ?
(A) ? ,17 ? 2

?1 ?

? ?

(B) ?1,17?

(C) ?1, 17 ?

?

?

(D) ?

? 2 ? , 17 ? ? 2 ?

(9)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 1 ,顶点都在同一个球面上,则该 球的体积为 (A) ??? (11)已知下列四个命题:

(B)

20 5? 3

(C) 5?

(D)

5 5? 6

p1 :若直线 l 和平面 ? 内的无数条直线垂直,则 l ? ? ;
p2 :若 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,则 ?x ? R , f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;

p3 :若 f ? x ? ? x ?

1 ,则 ?x0 ? ? 0, ?? ? , f ? x0 ? ? 1 ; x ?1

p4 :在△ ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B .
其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(11)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是 某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为 (A) 8 ? 8 2 ? 4 6 (C) 2 ? 2 2 ? 6 (B) 8 ? 8 2 ? 2 6

(D)

1 2

?

2 2

?

6 4

(12)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形” . 1 2 3 4 5 ? 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ???? 4027 4029 4031 8 12 16 ??????? 8056 8060 20 28 ?????????? 16116 ???????????????? 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅 有一个数,则这个数为 (A) 2017 ? 2
2015

(B) 2017 ? 2

2014

(C) 2016 ? 2

2015

(D) 2016 ? 2

2014

理科数学试题 第 2 页(共 22 页)

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)一个总体中有 60 个个体,随机编号 0,1,2,?,59,依编号顺序平均分成 6 个小组,组号依 次为 1,2,3,?,6.现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本,若在第 1 组随机抽取的号码 为 3,则在第 5 组中抽取的号码是 (14) 已知双曲线 C : .

??? ? ??? ? x2 y 2 A F ? ? 1 的左顶点为 , 右焦点为 , 点 , 且 BA ? BF ?0, a ? 0, b ? 0 B 0, b ? ? ? ? a 2 b2

3

则双曲线 C 的离心率为

(15) x ? x ? 2 的展开式中, x 的系数为
2

?

?

4

. (用数字填写答案) 则函数 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? 2 的零点个数为
x

(16)已知函数 f ? x ? ? ?

?1 ? x ? 1 , ? 2 ? ? x ? 4 x ? 2,

x ? 1,

x ? 1,

个.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , C

AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2 AD .
(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求△ ABC 的面积. (18) (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的质量指标值, 由测量结果得到如图所示的频 率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为 4:2:1 . (Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间
频率 组距 0.030

A

D

B

?75,85? 内的频率;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的 这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产 品中质量指标值位于区间 ? 45,75? 内的产 品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.

0.019 0.012

0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值

理科数学试题 第 3 页(共 22 页)

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD , 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 1

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值.
?

D1 A1 B1

C1

D O A B

C

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F , 0? ,点 B 2, 2 在 1? ?2 椭圆 C 上, 直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E ,F 两点, 直线 AE ,AF 分别与 y 轴交于点 M ,N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

?

?

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
x +m

? x3 , g ? x ? ? ln ? x ?1? ? 2 .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0? 处的切线斜率为 1 ,求实数 m 的值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,证明: f ? x ? ? g ( x) ? x3 .

?

?

理科数学试题 第 4 页(共 22 页)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D ,过点 D 作

DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E .
(Ⅰ)求证: DE ? AE ?BE ;
2

F O . E A

B

(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长. D C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 出点 D 的直角坐标.

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R )的距离最短,并求 y ? ? 3 t ? 2 ? ?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ?

1 的解集; 2

(Ⅱ)若对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

理科数学试题 第 5 页(共 22 页)

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2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一.选择题 (1)D (7)A 二.填空题 (13) 43 三.解答题 (17)(Ⅰ) 解法一: 在△ ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ? x ? 0 ? ,则 BD ? 2 x . 在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2 x , 所以 cos ?CDB ? (14) (2)D (8)A (3)C (9)D (4)B (10)B (5)C (11)A (6)A (12)B

5 ?1 2

(15) ? 40

(16) 2

CD 5 .?????????????????????2 分 ? BD 2 x

在△ ACD 中,因为 AD ? x , CD ? 5 , AC ? 5 3 , 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 ? . ???4 分 2 ? AD ? CD 2? x ?5

因为 ?CDB ? ?ADC ? ? , 所以 cos ?ADC ? ? cos ?CDB , 即

x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 ? ? .?????????????????????5 分 2? x ?5 2x

解得 x ? 5 . 理科数学试题 第 6 页(共 22 页)

所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分 解法二: 在△ ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ? x ? 0 ? ,则 BD ? 2 x . 在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2 x , 所以 BC ? 4x2 ? 25 . 所以 cos ?CBD ?

BC 4 x 2 ? 25 .?????????????????2 分 ? BD 2x

在△ ABC 中,因为 AB ? 3x , BC ? 4x2 ? 25 , AC ? 5 3 , 由余弦定理得 cos ?CBA ?

AB2 ? BC 2 ? AC 2 13x 2 ? 100 .????4 分 ? 2 ? AB ? BC 6 x ? 4 x2 ? 25

所以

4 x 2 ? 25 13x 2 ? 100 .??????????????????5 分 ? 2x 6 x ? 4 x 2 ? 25

解得 x ? 5 . 所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 .??????8 分 所以 cos ?CBD ? 所以 S?ABC ?
?

1 BC 3 ,从而 sin ?CBD ? .??????????10 分 ? 2 BD 2

1 ? AB ? BC ? sin ?CBA 2
1 1 75 3 ? 15 ? 5 3 ? ? .?????????????????12 分 2 2 4

解法二:由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4x2 ? 25 ? 5 3 .??????8 分 因为 AC ? 5 3 ,所以△ ABC 为等腰三角形. 因为 cos ?CBD ?

BC 3 ? ,所以 ?CBD ? 30 .???????????10 分 ? BD 2
1 5 3 BC ? . 2 2

所以△ ABC 底边 AB 上的高 h ? 所以 S ?ABC ?

1 ? AB ? h 2

1 5 3 75 3 ? ?15 ? ? .?????????????????12 分 2 2 4
理科数学试题 第 7 页(共 22 页)

解法三:因为 AD 的长为 5 , 所以 cos?CDB = 所以 S?ADC ?

CD 5 1 ? = ? ,解得 ?CDB ? .???????????8 分 3 BD 2 x 2

1 2? 25 3 . ? AD ? CD ? sin ? 2 3 4

1 ? 25 3 .??????????????10 分 S?BCD ? ? BD ? CD ? sin ? 2 3 2
所以 S?ABC ? S?ADC ? S?BCD ?

75 3 .?????????????????12 分 4

(18)解: (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x .??????????1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 ,??????3 分 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .??????????????????4 分 (Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由(Ⅰ)得,区间 ? 45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 .?????????????????????5 分 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,????????????????6 分
0 1 2 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 , 2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为:

X P

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

?????????10 分

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 . 理科数学试题 第 8 页(共 22 页)

(或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )?????12 分 (19) (Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , 1

D1 A1

BD ? 平面 ABCD ,
所以 A1O ? BD .??????1 分 因为 ABCD 是菱形, 所以 CO ? BD .??????2 分 因为 AO 1 ? CO ? O ,
B1

C1

D O B

C

A

所以 BD ? 平面 A1CO .???????????????????????3 分 因为 BD ? 平面 BB1D1D , 所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO .???????????????????4 分 1 (Ⅱ)解法一:因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方 1 向为 x , y , z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.?????????5 分 因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

???

??? ?

??? ?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?

AA12 ? OA2 ? 1 .??????6 分

则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A 1 ? 0,0,1? , 所以 BB1 ? AA1 ? 0, 3,1 , OB1 ? OB + BB1 ? 1, 3,1 .?????????7 分 设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 因为 OB ? ?1, 0, 0 ? , OB1 ? 1, 3,1 , 所以 ?

?

?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

??? ? ????

z
A1

?

?

D1

C1

???

??? ?

?

?

B1

? ? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0.

D O A B

C x

y

令 y ? 1,

得 n ? 0,1, ? 3 .??????????????????????9 分 同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .????????????10 分

?

?

理科数学试题 第 9 页(共 22 页)

所以 cos ? n, m ??

3 6 .???????????????????11 分 ? 4 2 2

因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?

6 4

.??????????????12 分

解法二:由(Ⅰ)知平面 ACO ? 平面 BB1D1D , 1 连接 AC 1 1 与 B1 D1 交于点 O1 ,
A1

D1
O1

C1 B1

连接 CO1 , OO1 , 因为 AA1 ? CC1 , AA1 // CC1 , 所以 CAA1C1 为平行四边形.

H D O B

K

C

A
因为 O , O1 分别是 AC , A1C1 的中点, 所以 OA1O1C 为平行四边形.且 O1C ? OA1 ? 1 . 因为平面 ACO ? 平面 BB1D1D ? OO1 , 1

过点 C 作 CH ? OO1 于 H ,则 CH ? 平面 BB1D1D . 过点 H 作 HK ? OB1 于 K ,连接 CK ,则 CK ? OB1 . 所以 ?CKH 是二面角 B ? OB1 ? C 的平面角的补角.???????????6 分 在 Rt?OCO1 中, CH ?

O1C ? OC OO1

?

1? 3 2

?

3 2

.????????????7 分

? A1 B1 ,所以 OB1 ? 在 ?OCB1 中,因为 AO 1

OA12 ? A1 B12 ? 5 .

因为 A1 B1 ? CD , A1B1 // CD , 所以 B1C ? A1 D ?

A1O 2 ? OD 2 ?

2.

因为 B1C 2 ? OC 2 ? OB12 ,所以 ?OCB1 为直角三角形.???????????8 分 所以 CK ?

CB1 ? OC OB1

?

2? 3 5

?

6 5

.????????????????9 分

理科数学试题 第 10 页(共 22 页)

所以 KH ? CK 2 ? CH 2 ?

3 2 5

.???????????????????10 分

所以 cos ?CKH ?

KH CK

?

6 4

.????????????????????11 分

所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?

6 4

.??????????????12 分

(20) (Ⅰ)解法一:设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2 因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a2 ? b2 ? 4 .???????????1 分 1? ?2
设椭圆的右焦点为 F2 ? 2, 0? ,已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上, 由椭圆的定义知 BF 1 ? BF 2 ? 2a , 所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 .?????????????????????2 分 所以 a ? 2 2 ,从而 b ? 2 .?????????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为

?

?

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????4 分 8 4
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
2 2

解法二:设椭圆 C 的方程为

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a ? b ? 4 . 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以

①???????1 分 ②???????2 分

?

?

4 2 ? ? 1. a 2 b2

由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 .???????????????????3 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????4 分 8 4

(Ⅱ)解法一:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .????5 分 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

?

?

设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .
? y ? kx, 8 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y 得 x2 ? . 1 ? 2k 2 ?1 ? ? 4 ?8

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

理科数学试题 第 11 页(共 22 页)

所以 x0 ?

2 2 1 ? 2k 2

,则 y0 ?

2 2k 1 ? 2k 2



所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 2k 2

? x ? 2 2 ? .???????????6 分
? ? ? .????????7 分 ?

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 令x ? 0得 y ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

,即点 M ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

同理可得点 N ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

? ? ? .???????????????????8 分 ?

所以 MN ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k
2

?

2 2k 1 ? 1 ? 2k
2

?

2 2 ?1 ? 2k 2 ? k

.???????9 分

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

? ? ?

2? ? .??????????10 分 k ? ?
2

2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?1 ? 2k ? ? 2 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? , ? ? ? ?? ? k k ? ? ? ? ? ?

即x ?y ?
2 2

2 2 y ? 4 .??????????????????????11 分 k
2

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 . 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? .?????????12 分 解法二:因为椭圆 C 的左端点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .?????5 分

?

?

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 8 4 设点 E( x0 , y0 ) ,则点 F (? x0 , ? y0 ) .
所以直线 AE 的方程为 y ?

y0 x0 ? 2 2

? x ? 2 2 ? .????????????6 分

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M , 令x ? 0得 y ?

? 2 2 y0 2 2 y0 ? ,即点 M ? 0, ? x ?2 2 ? ? .???????????7 分 x0 ? 2 2 0 ? ?
理科数学试题 第 12 页(共 22 页)

同理可得点 N ? 0,

? ? ?

2 2 y0 ? ? .????????????????????8 分 x0 ? 2 2 ? ?

所以 MN ?

2 2 y0 2 2 y0 16 y ? ? 2 0 . x0 ? 8 x0 ? 2 2 x0 ? 2 2

因为点 E( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以

x0 2 y0 2 ? ?1 . 8 4

所以 MN ?

8 .??????????????????????????9 分 y0
? ? ? 2 x0 ? ? .?????????10 分 y0 ? ?
2

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

? 2 x0 ? 16 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? . ? ? ? y0 ? y0 2 ? ?
2

即 x2 ? y 2 +

2 2 x0 y ? 4 .?????????????????????11 分 y0
2

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 . 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? .?????????12 分 解法三:因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .?????5 分 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

?

?

设点 E 2 2 cos ? , 2sin ? ( 0 ? ? ? ? ) ,则点 F ?2 2 cos ? , ?2sin ? . 所以直线 AE 的方程为 y ?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

?

?

2sin ? x ? 2 2 .?????????6 分 2 2 cos ? ? 2 2

?

?

因为直线 AE 与 y 轴交于点 M , 令x ? 0得 y ?

2 sin ? ? 2sin ? ? ,即点 M ? 0, ? .????????????7 分 cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ?

同理可得点 N ? 0,

? ?

2sin ? ? ? .?????????????????????8 分 cos ? ? 1 ?

理科数学试题 第 13 页(共 22 页)

所以 MN ?

2sin ? 2sin ? 4 .???????????????9 分 ? ? cos ? ? 1 cos ? ? 1 sin ? ? ? 2cos ? sin ?
2

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

? ? .?????????10 分 ?

4 2cos ? ? ? 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ? ? sin 2 ? , sin ? ? ?
2

即x ? y ?
2 2

4 cos ? y ? 4 .?????????????????????11 分 sin ?
2

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 . 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? .?????????12 分

(21) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? e x +m ? x3 , 所以 f ?( x) ? e x +m ? 3x2 .???????????????????????1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0? 处的切线斜率为 1 ,
m 所以 f ? ? 0? ? e ? 1,解得 m ? 0 .???????????????????2 分

?

?

(Ⅱ)证法一:因为 f ( x) ? e

x +m

? x3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 ,
x +m

所以 f ? x ? ? g ( x) ? x3 等价于 e 当 m ? 1 时, e 要证 e
x +m x +m

? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 .

? ln ? x ?1? ? 2 ? ex?1 ? ln ? x ?1? ? 2 .

? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 ,只需证明 ex?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 .??????4 分

以下给出三种思路证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 . 思路 1:设 h ? x ? ? e
x ?1 设 p ? x? ? e ?

x?1

? ln ? x ?1? ? 2 ,则 h? ? x ? ? e x ?1 ?

1 . x ?1

1 1 ,则 p? ? x ? ? e x ?1 ? ?0. 2 x ?1 ? x ? 1? 1 在 ? ?1 , +?? 上单调递增.???????6 分 x ?1

x ?1 所以函数 p ? x ? ? h? ? x ? ? e ?

1? 1 ? 因为 h? ? ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 , h? ? 0? ? e ?1 ? 0 , ? 2?
理科数学试题 第 14 页(共 22 页)

所以函数 h? ? x ? ? e

x ?1

?

1 ? 1 ? 在 ? ?1 , +?? 上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? ? , 0 ? . x ?1 ? 2 ?
????????????8 分

因为 h? ? x0 ? ? 0 ,所以 e

x0 +1

?

1 ,即 ln ? x0 ? 1? ? ? ? x0 ? 1? .??????9 分 x0 ? 1

当 x ? ? ?1, x0 ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, h? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? x0 时, h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? .???????????????10 分 所以 h ? x ? ? h ? x0 ? = e 0 ? ln ? x0 ? 1? ? 2 ?
x ?1

1 ? ? x0 ? 1? ? 2 ? 0 . x0 ? 1

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) ? x3 . ??????????????12 分 思路 2:先证明 e 设 h ? x? ? e
x?1
x ?1

? x ? 2 ? x ? R ? .?????????????????5 分

? x ? 2 ,则 h? ? x ? ? ex +1 ?1 .

因为当 x ? ?1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1 时, h? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? ?1 时,函数 h ? x ? 单调递减,当 x ? ?1 时,函数 h ? x ? 单调递增. 所以 h ? x ? ? h ? ?1? ? 0 . 所以 e
x ?1

? x ? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取等号) .?????????????7 分

所以要证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 , 只需证明 ? x ? 2? ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 .??????????????????8 分 下面证明 x ? ln ? x ?1? ? 0 . 设 p ? x ? ? x ? ln ? x ?1? ,则 p? ? x ? ? 1 ?

1 x ? . x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, p? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, p? ? x ? ? 0 , 所以当 ?1 ? x ? 0 时,函数 p ? x ? 单调递减,当 x ? 0 时,函数 p ? x ? 单调递增. 所以 p ? x ? ? p ? 0? ? 0 .

理科数学试题 第 15 页(共 22 页)

所以 x ? ln ? x ? 1? ? 0 (当且仅当 x ? 0 时取等号) .???????????10 分 由于取等号的条件不同, 所以 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 . 综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) ? x3 . ??????????????12 分 (若考生先放缩 ln ? x ? 1? ,或 e 、 ln ? x ? 1? 同时放缩,请参考此思路给分! )
x

思路 3:先证明 e x?1 ? ln( x ? 1) ? 2 ? 0 .
t 令 t ? x ? 1 ,转化为证明 e ? ln t ? 2 ? t ? 0? .??????????????5 分

因为曲线 y ? et 与曲线 y ? ln t 关于直线 y ? t 对称, 设直线 x ? x0 ? x0 ? 0? 与曲线 y ? et 、 y ? ln t 分别交于点 A 、 B ,点 A 、 B 到直线 y ? t 的距离分别 为 d 1 、 d2 , 则 AB ? 2 ? d1 ? d2 ? . 其中 d1 ?
e x0 ? x0 2

, d2 ?

x0 ? ln x0 2

? x0 ? 0 ? .

①设 h ? x0 ? ? ex0 ? x0 ? x0 ? 0 ? ,则 h? ? x0 ? ? ex0 ? 1 . 因为 x0 ? 0 ,所以 h? ? x0 ? ? ex0 ? 1 ? 0 . 所以 h ? x0 ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,则 h ? x0 ? ? h ? 0? ? 1 . 所以 d1 ?
e x0 ? x0 2 ? 2 . 2 1 x0 ? 1 ? . x0 x0

②设 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 ? x0 ? 0 ? ,则 p? ? x0 ? ? 1 ?

因为当 0 ? x0 ? 1 时, p? ? x0 ? ? 0 ;当 x0 ? 1 时, p? ? x0 ? ? 0 , 所以当 0 ? x0 ? 1 时,函数 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 单调递减; 当 x0 ? 1 时,函数 p ? x0 ? ? x0 ? ln x0 单调递增. 所以 p ? x0 ? ? p ?1? ? 1 . 所以 d 2 ?
x0 ? ln x0 2 ? 2 . 2

理科数学试题 第 16 页(共 22 页)

? 2 2? 所以 AB ? 2 ? d1 ? d 2 ? ? 2 ? ? ? 2. ? 2 ? 2 ? ? ?
综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) ? x3 .??????????????12 分 证法二:因为 f ( x) ? e x +m ? x3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 , 所以 f ? x ? ? g ( x) ? x3 等价于 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 .??????????4 分 以下给出两种思路证明 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 . 思路 1:设 h ? x ? ? ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ,则 h? ? x ? ? e 设 p ? x? ? e
x +m x +m

?

1 . x ?1

?

1 1 ,则 p? ? x ? ? e x +m ? ? 0. 2 x ?1 ? x ? 1?
x +m

所以函数 p ( x) ? h? ? x ? ? e 因为 m ? 1 , 所以 h? ?1 ? e

?

1 在 ? -1, +?? 上单调递增.??????6 分 x ?1

?

?m

??e

?1? e? m +m

? em ? em e?1?e ? 1 ? 0 , h? ? 0? ? em ?1 ? 0 .
?m

?

?

所以函数 h? ? x ? ? e

x +m

?

1 在 ? -1, +?? 上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? ?1 ? e ? m , 0 ? . x ?1
???????8 分

因为 h? ? x0 ? ? 0 ,所以 e

x0 +m

?

1 ,即 ln ? x0 ?1? ? ?x0 ? m .??????9 分 x0 ? 1

当 x ? ? 0, x0 ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, h? ? x ? ? 0 . 所以当 x ? x0 时, h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? .??????????????10 分 所以 h ? x ? ? h ? x0 ? ? e 0
x +m

? ln ? x0 ?1? ? 2 ?

1 ? x0 ? m ? 2 x0 ? 1

?

1 ? ? x0 ? 1? ? m ? 3 ? 0 . x0 ? 1

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) ? x3 .??????????????12 分 思路 2:先证明 e ? x ? 1( x ? R) ,且 ln( x ? 1) ? x ( x ? ?1) .???????5 分
x

设 F ( x) ? e ? x ?1 ,则 F ?( x) ? e x ?1 .
x

理科数学试题 第 17 页(共 22 页)

因为当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , 所以 F ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增. 所以当 x ? 0 时, F ( x) 取得最小值 F (0) ? 0 . 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 ex ? x ? 1( x ? R) .?????????????7 分 所以 ln( x ? 1) ? x (当且仅当 x ? 0 时取等号) .?????????????8 分 再证明 ex +m ? ln ? x ?1? ? 2 ? 0 . 由 ex ? x ? 1( x ? R) ,得 e 因为 x ? ?1 , m ? 1 ,且 e 所以 e
x +m
x ?1

? x ? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取等号) .????9 分 ? x ? 2 与 ln( x ? 1) ? x 不同时取等号,

x ?1

? ln ? x ?1? ? 2 ? em?1 ? ex?1 ? ln ? x ?1? ? 2
? em?1 ( x ? 2) ? x ? 2 ? (em?1 ?1)( x ? 2) ? 0 .

综上可知,当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) ? x3 .??????????????12 分

(22) (Ⅰ)证明:因为 AD 是⊙ O 的切线, 所以 ?DAC ? ?B (弦切角定理) .??????1 分 因为 DE ? CA ,

F O . E A

B

所以 ?DAC ? ?EDA .???????????2 分 所以 ?EDA ? ?B . 因为 ?AED ? ?DEB (公共角) , D

C

所以△ AED ∽△ DEB .???????????????????????3 分 所以

DE BE
2

?

AE DE



即 DE ? AE ?BE .?????????????????????????4 分 (Ⅱ)解:因为 EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 的割线, 所以 EF ? EA?EB (切割线定理) .?????????????????5 分
2

理科数学试题 第 18 页(共 22 页)

因为 EF ? 4 , EA ? 2 ,所以 EB ? 8 , AB ? EB ? EA ? 6 .???????7 分 由(Ⅰ)知 DE ? AE ?BE ,所以 DE ? 4 .???????????????8 分
2

因为 DE ? CA ,所以△ BAC ∽△ BED . ???????????????9 分 所以

BA BE

?

所以 AC ?

. ED BA ? ED

AC

BE

?

6? 4 8

? 3 . ???????????????????10 分

(23) (Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? , 可得 ? 2 ? 2? sin ? .?????????????????????????1 分 因为 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? sin ? ? y ,???????????????????2 分
2 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x ? ? y ? 1? ? 1 ) . ????4 分 2

(Ⅱ)解法一:因为直线的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 . ??????????????5 分
2 因为曲线 C : x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

设点 D ? x0 , y0 ? ,且点 D 到直线 l : y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y ? ? 3x ? 5 平行. 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 ? 1 ,即
2 因为 x0 ? ? y0 ? 1? ? 1 , 2

y0 ? 1 ? ? 3 ? ?1.??????7 分 x0

?

?

解得 x0 ? ?

3 3 或 x0 ? . 2 2
? ? ? 3 1? ? 3 3? , ?或? ,? ? ? .??????????????9 分 2 2? ? ? 2 2?

所以点 D 的坐标为 ? ?

由于点 D 到直线 y ? ? 3x ? 5 的距离最短,

理科数学试题 第 19 页(共 22 页)

所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ? ? 2 , ? .????????????????????10 分 2 ? ? ? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2

解法二:因为直线 l 的参数方程为 ?

消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .??????????????5 分
2 因为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? .???7 分

?

?

所以点 D 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? .????????????8 分 3? ?
因为 ? ??0, 2?? ,所以当 ? ? 此时 D ? ?

? 时, dmin ? 1 .?????????????9 分 6

? 3 3? ? 3 3? ,? ,所以点 D 的坐标为 ? ? ? ? 2 , ? .???????????10 分 2 2 2 ? ? ? ?

(24) (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ?

1 1 等价于 x ? 1 ? x ? .????????1 分 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 2 4 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 .??????????3 分 2
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .????????????4 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max .???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 思路 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x ? ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? ? a ? 1? a < 0 .
理科数学试题 第 20 页(共 22 页)

当?

a ? x ? 1? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? 2x ? a ? 1? a
? 2 1- a + a -

1- a = a + 1- a .

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

思路 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1? a

? a ? 1? a ,
当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号. 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集, 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?

?

? max .?????????????????????8 分

以下给出三种思路求 g ? a ? ? 思路 1:令 g ? a ? ?

a ? 1 ? a 的最大值.

a ? 1? a ,

所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

1 时等号成立. 2

2.

所以 b 的取值范围为 思路 2:令 g ? a ? ?

?

2, +? .???????????????????10 分

?

a ? 1? a ,
2

因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ? 则 g ? a? ?

? ?

?? ?, 2?

?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 4? ?

理科数学试题 第 21 页(共 22 页)

当且仅当 ? ?

? 时等号成立. 4

所以 b 的取值范围为 思路 3:令 g ? a ? ?

?

2, +? .???????????????????10 分

?

a ? 1? a ,
a, 1- a ,
则 x2 + y 2 = 1 (0 #x

ì ? ? x= 0 ? a ? 1 因为 ,设 í ? ? ? y=

1,0 #y 1) .
y

问题转化为在 x2 + y 2 = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2
所以 b 的取值范围为

O

x

?

2, +? .???????????????????10 分

?

理科数学试题 第 22 页(共 22 页)


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