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授课2——立体几何中的向量法(1)


授课教案
学员姓名:_____________ 授课教师:_ 所授科目: 学员年级:__________ 上课时间:____年__月__日____时___分至____时___分共___小时 教学标题 教学目标 教学重难点 授课内容: 一 复习上次课内容: 二 知识点梳理 (一)基础知识过关 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这

个基底叫单位正交基底, 用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以 点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 它们都叫坐标轴. 我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz , 点O z 轴, 叫原点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数 组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? y j ? z k ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3、设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= (4) a∥b ? 。 (2) ? a= ;a ? b ?
2 2 2
x k i O j y z

授课 2——立体几何中的向量法(1) 1、理解空间向量坐标的概念;空间向量的坐标运算; 掌握用直角坐标计算空间向量数 量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 2、掌握用向量法求空间异面直线所成角,线面角

A(x,y,z)

.(3) a?b= .



(5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |? (6)夹角公式: cos a ? b ?

a ? a ? a1 ? a2 ? a3 .

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
2 2 2 2

(7)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) (8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = AB 的中点 M 的坐标为 , AB ? . .

练习:1、已知 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 A. ( ,? , )
7 2 1 5 2 2

AC 1 = ,则 C 点的坐标为( AB 3

)

B. ( ,? 3, 2)

8 3

C. (

10 7 ,? 1, ) 3 3

D. ( ,? , )

5 2

7 3 2 2

非直角空间坐标系的应用 2、如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两 两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 解 记 AB =a, AD =b, AA1 =c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a?b=b?c=c?a= . (1)| AC1 | =(a+b+c) =a +b +c +2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2 ( + + )=6, ∴| AC1 |= 6 ,即 AC1 的长为 6 . (2) BD1 =b+c-a, AC =a+b,∴| BD1 |= 2 ,| AC |= 3 , ? (a+b)=b -a +a?c+b?c=1.∴cos〈 BD1 , AC 〉= BD1 ? AC =(b+c-a)
6 . 6
2 2 2 2 2 2 2

1 2

?

1 2

1 2

1 2

BD1 ? AC BD1 AC

=

6 . 6

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 三 典型例题 (二)空间中各种角的求法 4、直线的方向向量的定义为 5、平面的法向量的定义为

。如何求直线的方向向量? 。如何求平面的法向量?

6、用向量法求异面直线所成的角(范围: ? ? (0,

?
2

])

设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 a 和 b , 问题 1: 当 a 与 b 的夹角不大于 90°时,异面直线 a、b 所成 的角 ? 与 a 和 b 的夹角的关系?
a
O

?
b

? ?? a, b ?
b

问题 2: a 与 b 的夹角大于 90°时, ,异面直线 a、b 所成的角

a
O

? 与 a 和 b 的夹角的关系?

?

? ? ? ? ? a, b ?

2

结论:异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 cos ? ?| cos ? m, n ?|?

| m?n | | m || n |
z D1 F1
A1
D

例 1:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E1 与 F1 分别为 A1 B1 、

C1 B1
y

C1 D1 的四等分点,求异面直线 DF1 与 BE1 的夹角余弦值?
解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
x

E1

C
B

A

例 2 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 和 CB1 所成的角. 解:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则

A1

Z
1

3 1 3 1 A(0,0,0), C1 (? a, a, 2a), C (? a, a,0), B1 (0, a, 2a) 2 2 2 2

A
D

CB 1 B
1

C1

C

1

A

C

?

3 1 3 1 AC1 ? (? a, a, 2a) , CB1 ? ( a, a, 2 a ) 2 2 2 2

x

A

B

3 2 a AC1 ? CB1 1 2 即 cos ? AC1 , CB1 ?? ? ? 2 2 | AC1 || CB1 | 3a

x

D

y y B

? AC1 和 CB1 所成的角为

? 3

7. 用向量法求直线与平面所成的角(范围: ? ? [0,

?
2

])

思考:设平面 ? 的法向量为 n ,则 ? n, BA ? 与 ? 的关系?

A

n
O

A

A

? B

?

? B
?? ?

?

O

(图 1)

? B
n

?

O

(图 2)

?
2

? ? n, BA ?
3

? ? ?? n, BA ? ?

?
2

据图分析可得:结论: sin ? ?| cos ? n, AB ?| 例 3、如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 和 面AA1 B1 B 所成角的正弦 值. 解题步骤:直线与平面所成的角步骤: 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角

AC1 ? (?

3 1 a , a , 2a ) 2 2

解:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 AA 1 ? (0,0, 2a), AB ? (0, a,0),

AC1 ? (?

3 1 a, a, 2 a ) 2 2
A1

设平面 AA 1 B1 B 的法向量为 n ? ( x, y, z)

? ?n ? AA1 ? 0 ? 2az ? 0 ? y ? 0 由? ?? ?? ? ?z ? 0 ?ay ? 0 ?n ? AB ? 0
取 x ? 1 ,? n ? (1,0,0)

Z
1

A
D

CB 1 B
1

C1

C

1

A

C

x
3 2 ? a AC1 ? n 1 2 ? cos ? AC1 , n ?? ? ?? 2 2 3a | AC1 || N |
1 ? AC1 和 面AA1 B1 B 所成角的正弦值 . 2

A

B

x

D

y y B

练习:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 E 、 F 分别为 CD 、 DD1 的中点.求直线 B1C1 与平面 z

AB1C 所成的角的正弦值.
B1

A1
C1

D1

AA
x
B B

D

y

C

四 课堂小结 五 下次课内容:用向量法求二面角 课后作业: 签字确认 学员_____________ 学员课堂表现: 教师_____________
4

用向量法求空间角和距离练习题 1
1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且

1 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

2.如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小. 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点.(Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.

5

4.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 .
(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 A E C 的距离. 1 F

E 在棱 AD 上移动. 5.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点
(1)证明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

6

AB ? 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 上异于 C , C1 的一点, 6 .如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

EA ? EB1 ,已知 AB ? 2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?
(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.

?
3

,求:

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 一点, PF ? EC . 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 2

求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; ? D (Ⅱ)二面角 E ? P C 的大小.

8.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E,F 分别 CD、 PB 的中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大 小。

7


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