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从位移速度、力到向量


A

·

日右翼谋划登我钓鱼岛, 我先进战机迅速飞赴钓鱼岛 领空进行威慑,已知从某基 地至钓鱼岛路程有330千米, 位移是既有 问驾驶员能否只根据这一信 大小又有方向 息,飞至目标地上空? 的量

B

问题:请指出与位移具有同样特征的量。

力、速度也是既有大小 又有方向

的量
(1 )



(2 )

速度

这就是我们这节课要学习的 向量

高中数学必修 4

第二章

平面向量

建构数学

一.向量的相关概念
1.向量的定义:既有大小又有方向的量。 在路程、质量、重力、速度、加速 度、身高、面积、体积这些量中,哪 些是数量,哪些是向量? 数量:路程、质量、身高、面积、体积 向量:重力、速度、加速度

2、向量的表示方法:
用一条有向线段来表示. ①几何表示法: N f 有向线段的长度表示向量的大小,
A 箭头所指的方向表示向量的方向. G B

②字母表示法:
AB 以A为起点、B为终点的向量记作:

或用

? ? ? a、 b ? 、c
a

等小写字母表示;

建构数学

3、向量的大小(模)

向量 AB的大小称向量的长度(或称为 模). 记作 | AB | . ???? ??? ? ???? ??? ? 思考: AB与BA相同吗?AB 与 BA 相同吗?

?
注:零向量的方向是任意的 它的方向如何规定呢?

建构数学

? 单位向量唯一吗? ? 平面直角坐标系内,所有起点在原点的 单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?

零向量与单位向量——这两个量仅从大小上刻画了向量

建构数学

二、向量的关系 1.向量的方向

如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合,则称这两个向量 平行或共线
如:
a b c

换言之: 记作 a ∥b ∥c 平行或 共线向 C A B 量只要 l o 方向相 同或相 规定:0与任一向量平行。 反就可 把一组平行于直线l的向量的起点平移到直以。

.

线l上的 一点O ,这时它们是不是平行向量?

2. 向量的大小和方向 叫做相等向量 。

a

b

相等向量: 长度相等 且方向相同 的向量

长度相等 且方向相反 的向量 相反向量 :
叫做相反向量。 如:

B

??? ? 与 BA

A

思考: 两个向量相等,它们的起点可以 不相同吗?
由此可知:向量是可以平移的

试一试:判断对错
1.若两个向量相等,则它们的起点和终 点分别重合。( ) 2.单位向量都相等。( ) 3.不存在与任意向量都平行的向量。( ) 4.两平行向量方向一定相同。( ) 5. 若|a|>|b| ,则a > b 。( )

6.向量 与 是共线向量,则A、B、C、 D四点必在一直线上。( ) ??? ? ????

6 变 : 向量 与 共线,则 A 、 B 、 C AC AB 4变:两平行向量方向一定相同或相反.( ) 三点必在一直线上.( )

例1.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写 OC 相等的向量. 出图中标出的向量中,与向量 OA、OB 、 练习∶上题中
B O F A

(1)向量OA与FE相等吗?
(2)与向量 OA长度相等的向量 有多少个? 11个 (3)与向量 OA 共线的向量有 哪几个? CB DO FE
C

D

E

例2.已知四边形ABCD中, (1)若AB = DC,则四边形是_______(形状) (2)若AB=DC,且 AB = AD,则四边形是______

分析:
A D C B D

A B

解(1)平行四边形

(2)菱形

C

变式:任意两个相等的非零向量的起点与终 点一定是一平行四边形的四个顶点吗?

? 练一练.下列命题中正确的是 ( C ) ? A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 ? B .向量 a与 b不共线,向量b与 c不共线,则 向 量a与c不共线 ? C .若向量 a与b不共线,则 a与b 都是非零向 量 ? D.有相同起点的两个非零向量不平行

? [答案] C ? [解析] 由于零向量与任一向量都共线,所以A不正
确;B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可, 与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件 以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向 量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线, 不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应 选C.
思考

小结:你学到了什么? 向量
一.知识要点

思考

向量的概念
表 示 方 法 大 小 ( 模 ) 零 向 量

向量的关系 单 位 向 量 向平 量行 ( 共 线 ) 相 等 向 量
相 反 向 量

二.数学思想: 类比思想、数形结合思想、化归思想等

课堂小结

向量及向量符号的由来
? 向量最初被应用于物理学,被称为矢 量.很多物理量,如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 ? 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量.向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 ? 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。

思考题.如图,以1 ? 3方格中的格点为起点 和终点的所有向量中,有多少种大小不同的 模?有多少种不同的方向?

? 思考:飞机从明月山机场( A地)按北
偏西15°的方向飞行1400km到达B地, 再从B地按南偏东75°的方向飞行 1400km到达C地,那么C地在A地什么 方向?C地距A地多远? → 表示飞机从 A 地按北 [解析] 如图所示,AB

→ |=1400km. 偏西 15° 方向飞行到 B 地的位移, 则|AB

思考

→ 表示飞机从 B 地按南偏东 75° 方向飞行到 C 地的 BC → |=1400km. 位移,则|BC → 为从 A 地到 C 地的位移. 所以AC 在△ABC 中,|AB|=|BC|=1400,且∠ABC=75° -15° =60° ,所以∠BAC=60° ,∴|AC|=1400. 所以 C 地在 A 地北偏东 60° -15° =45° ,距离 A 地 1400km.

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作业:


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